重难点10 轻松解决空间几何体的体积问题（四大题型）（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：直接法
题型二：割补法
题型三：换底法
题型四：祖暅原理
【典型例题】
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）如图，已知在正四棱锥中，，.

(1)求四棱锥的表面积；
(2)求四棱锥的体积.
【解析】（1）连接相交于，连接
过点作于点，连接，则是斜高，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
．
所以正四棱锥的表面积为84．
（2），
所以正四棱锥的体积为；
【典例1-2】（2024·高一·江苏·专题练习）在①平面，②，③点在平面内的射影为的垂心，这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答．在三棱锥中，.若________，求三棱锥的体积．

【解析】若选择①和②，因为，
所以为等边三角形，所以，因为平面，
所以即为点到平面的距离，且，
所以；
若选择①和③，因为平面，
所以点为点在平面内的射影，
又因为点在平面内的射影为的垂心，
所以点即为的垂心，
所以，
因为，所以是等腰直角三角形，所以，
因为平面，
所以即为点到平面的距离，且，
所以；
若选择②和③，因为，
所以为等边三角形，所以，
设的中心为点，则点即为等边的重心、垂心，且，
因为点在平面内的射影为的垂心，即点，
所以平面，所以即为点到平面的距离，且，
所以.
【变式1-1】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在边长为的菱形中，，点分别是边的中点，，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图所示的五棱锥．
(1)在翻折过程中是否总有平面平面?证明你的结论；
(2)在翻折过程中当四棱锥的体积最大时，求此时点到平面的距离；
【解析】（1）证明：在翻折过程中总有平面平面；
证明如下：点分别是边的中点，，
菱形中，，是等边三角形，
是的中点，，；
菱形的对角线互相垂直，，；
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面.
（2）要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
当平面时，点到平面的距离最大为，
又，
；
，
，
设点到平面的距离为，
，解得：，
即点到平面的距离为.
题型二：割补法
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，点在上，且，点为的中点，平面与交于点．

(1)证明：平面平面；
(2)若，求四棱锥的体积．
【解析】（1）解法一：如图，延长与，交于点，因为，点为的中点，
所以．
连接，因为平面与交于点，所以与的交点为，
因为，所以，所以．
取的中点，连接，则为的中点，．
因为，所以，所以．
在直三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面．因为平面，所以平面平面．
解法二：如图，延长与，交于点，连接，
因为，点为的中点，所以，
所以．
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（2）解法一：因为，所以，
所以．连接，
所以．
因为，，
因为，
，
．
解法二：因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因为平面，所以平面，易得．
因为，
所以，则．
连接，
所以，
则
因为，，
因为，
，
．
【典例2-2】（2024·高三·江苏连云港·期中）如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为.
(1)证明：；
(2)若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积.
【解析】（1）
证明：∵，而平面，平面，
∴平面，又∵平面，
平面平面，∴，∴.
（2）∵，，H为中点，∴.
而，∴，∵平面平面.
平面平面，平面，∴平面.
过E分别作交于点I，交于点J，连接.
∴.
【变式2-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）如图，在梯形中，，在平面内过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．
(1)求此旋转体的表面积．
(2)求此旋转体的体积．
【解析】（1）在梯形中，，，且，，，
，
，
．
以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
且圆柱高为，底面半径为，圆锥的母线长为，底面半径为，
圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的底面积，
组合体上底面积，
旋转体的表面积．
（2）由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，
圆柱的体积，
圆锥的体积，
旋转体的体积．
题型三：换底法
【典例3-1】（2024·高二·四川南充·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)三棱锥的体积大小．
【解析】（1）在正方体中，连接，取的中点，连接，
有M为的中点，则，又E为BC的中点，
于是，则四边形是平行四边形，，
又F为CD的中点，则有，即四边形是平行四边形，，
因此，又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
而正方体的棱长为1，平面，则点到平面的距离为到平面的距离1，
所以三棱锥的体积.
【典例3-2】（2024·四川成都·一模）如图，正四棱柱中，M为的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解析】（1）如图，连接.
正四棱柱中，M为的中点，，，
，，
，
又，.
，
.
同理可得.
，平面，平面，
平面.
（2）由（1）知，，且平面.
.
三棱锥的体积为4.
【变式3-1】（2024·高二·宁夏吴忠·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，，求三棱锥的体积
【解析】（1）在四棱锥中，平面，平面，则，
由四边形为正方形，得，而平面，
所以平面.
（2）点为边长为2的正方形的边的中点，则的面积：
，而平面，且，
所以三棱锥的体积.
题型四：祖暅原理
【典例4-1】（2024·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，
设底面中心为，截面中心为，则，，
所以，所以截面为的面积为.
设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为，
底面中心与截面中心之间的距离为，
在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为2，，
所以，所以为等腰直角三角形，
所以，所以四边形边长为，
所以四边形面积为，
所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即.
故选：D.
【典例4-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）
注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】棱锥，
由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥
所以图1中几何体体积为，
所以牟合方盖体积为．
故选：C．
【变式4-1】（2024·高一·辽宁·期末）国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，将底面半径都为b，高都为的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明总成立．据此，图中圆柱体（右侧图）的底面半径b为2，高a为3，则该半椭球体（左侧图）的体积为 ．

【答案】
【解析】根据题意，因为总成立，
所以半椭球体的体积为，
由题意知：，，
所以半椭球体的体积为：．
故答案为：．
【同步练习】
1．（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）祖暅（公元前世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖桓晩一千一百多年.如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，若总成立，且图中圆柱体（右侧图）的底面半径为2，高为3，则该几何体（左侧图）的体积是 .
【答案】
【解析】因为总有，圆柱的高为3，底面圆的半径为2，
所以该几何体的体积为，
故答案为：.
2．（2024·高二·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积．
【解析】（1）连接，
因为分别为棱的中点，
所以，
因为正方体的棱长为3，
所以，，
故四边形为平行四边形，
所以，
故；
（2）由题意得，正方形的面积为，
，，
故，
又⊥平面，故⊥平面，
三棱锥的体积为.
3．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为正三角形，点E，F分别在棱，上，且，．

(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【解析】（1）取AC的中点，过点作，交于点，连接BG，EH，如图．
由，且，则，
由，则，所以，
由，且可知，，且，
所以四边形BEHG是平行四边形，所以．
因为为正三角形，点为AC的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）因为，所以，又，
所以．
由（1）知平面，且，
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以．
4．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，且在中，，．
(1)求证：；
(2)若，求四棱锥的体积．
【解析】（1）
如图，取CD的中点E，连接BE．
∵，∴．∵且，
∴四边形ABED是矩形，
∴．
又∵，即，且，平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD．
∵平面PAD，
∴．
（2）由题可得，．
又平面PAD，平面ABCD，∴平面平面ABCD．
∵平面平面，∴过P作于H，则平面ABCD．
∵，，∴．
∴．
故四棱锥的体积为．
5．（2024·高二·安徽·期中）如图，在三棱锥中，平面，为等边三角形，点 为棱的中点，
(1)求证: 平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
因为为等边三角形，点 为棱的中点，所以，
又平面，
所以平面；
（2），，
因为平面，
所以.
6．（2024·高一·辽宁阜新·期末）如图所示，在直三棱柱中，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若D是的中点，求三棱锥的体积.
【解析】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面ABC.
因为平面ABC，
所以.
因为，平面，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，
所以是三棱锥的底面上的高.
因为，
所以.
因为D是的中点，
所以.
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积.
7．（2024·高二·山东烟台·期中）如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是，CD的中点．
(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积．
【解析】（1）连接交于，连接，由E，F分别是，CD的中点，
则且，
由正方体性质：为中点，故，则
又，即，故，
所以为平行四边形，则，
面，面，则平面.
（2）过作交延长线于，又，
故为平行四边形，则，故，
又平面，所以平面，
故到面的距离等于到面的距离，
所以.
8．（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）如图，在三棱锥中，⊥平面，⊥，分别为的中点，且.
(1)证明：平面平面.
(2)求三棱锥的体积.
【解析】（1）因为平面，平面 所以，
又⊥，，所以平面.
因为，分别为的中点，
所以，则平面.
因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面，平面 所以，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
因为⊥，，由勾股定理得，
因为，分别为的中点，所以，
由（1）可得平面，
所以三棱锥的体积.
9．（2024·高三·四川成都·期中）在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积.
【解析】（1）取的中点为E，连结，
∵，∴，
在和中，，
∴，∴，
∵的中点为E，∴，
∵，面，面，∴面，
∵面，∴ .
（2） ，
，
在中由余弦定理得，
，
由（1）知面
.
10．（2024·高二·江西南昌·期中）已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解析】（1）在四棱锥中，底面是菱形，取的中点，连接.
由分别为的中点，得，
又是的中点，则，于是，
因此四边形为平行四边形，即有，而平面平面，
所以平面.
（2）由底面，且，为中点，得点到底面的距离为1，
菱形中，，则，
因此，
所以，即三棱锥的体积为.
11．（2024·高三·上海闵行·期中）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积．
【解析】（1）在正四棱锥中为底面中心，连接，，
则与交于点，且，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面.
（2）因为，，所以，
又为上靠近的三等分点，所以，
则.
12．（2024·高二·上海虹口·期中）已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；
(2)三棱锥的体积．
【解析】（1）长方体中，，，
因此长方体的侧面积，
所以长方体的表面积.
（2）的面积，
显然三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积.
13．（2024·高二·上海徐汇·期中）如图，在正四棱锥中，是棱的中点；

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解析】（1）证明：在正四棱锥中，四边形为正方形，
连接AC交BD于O，则O为AC的中点，
又因为E为PC的中点，所以，
.因为平面，平面，
所以平面.
（2）在正四棱锥中，O为底面的中心，则底面，
所以为直角三角形，
因为E为PC的中点，则点到E平面的距离，
因此，三棱锥的体积.
14．（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）已知正方体中，E是的中点，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为2，求三棱锥的体积．
【解析】（1）在正方体中，连接BD交AC于点O，则O是BD的中点，连接OE，
又E是的中点，于是，而平面，平面，
所以平面.
（2）连接，正方体的对角面是矩形，而是的中点，
则，平面，平面，则有平面，
从而点到平面的距离等于点到平面的距离，而，
平面，因此平面，则，
又平面，平面，于是，即有，
，
所以三棱锥的体积.
15．（2024·高三·内蒙古包头·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．

(1)证明：//平面；
(2)求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：四边形为正方形，为与的交点，
是的中点，
又是的中点，，
又平面平面，
//平面．
（2）平面是的中点，
到平面的距离，
四边形是正方形，，
三棱锥的体积．
16．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解析】（1）连接交于点，连接，
则为的中点，因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）.