重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：定值问题
题型二：范围与最值问题
题型三：求参问题以及其它问题
【知识点梳理】
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
【典型例题】
题型一：定值问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】C
【解析】因为是的中点，，是上的两个三等分点，
所以，，
，，
所以，
，
可得，，
又因为，
所以，
故选：C．
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取HF中点O，则 , ，因此，选A.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，
则，
，
因此，
故选：B.
题型二：范围与最值问题
【例2】（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.
【答案】
【解析】如下图所示：
设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
，
当为正方形的某边的中点时，，
当与正方形的顶点重合时，，即，
因此，.
故答案为：.
【变式2-1】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】由题设，，取的中点，连接，，，
则，，
所以.
故答案为：
【变式2-2】（2022·重庆八中模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故选：C
题型三：求参问题以及其它问题
【例3】（2023春·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．
【答案】
【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，
依题意，，
因的最小值为3，则的最小值为2，因此，
在中，，，在中，，，
所以.
故答案为：
【变式3-1】（2022·全国·高一）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.
【答案】C为顶角的等腰三角形
【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示：
，同理，，
，设O为AB的中点，
即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.
故答案为：C为顶角的等腰三角形．
【过关测试】
1．（2024·全国·高一随堂练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，
又
，
且，所以．
设与的夹角为，
则．
因为，所以．
故选：C．
2．（2024·全国·高一假期作业）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接,
则
,
当时，最小，可求得，
结合，得的最小值为，
故选：
3．（2024·河南驻马店·高一校联考期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径∥，点在正六边形的边上运动，则的最大值为（ ）

A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【解析】如图，连接，显然，
，
点在正六边形的边上运动，是其中心，因此的最大值等于其边长4，
所以的最大值为．
故选：D．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ．
【答案】
【解析】由题意知，连接，为的中点，
则，
可得，
又因为，则圆心O到直线CD的距离为，
由点P在线段CD上可知，则，
所以，即的取值范围为.
故答案为：.
5．（2024·福建漳州·高一校联考期中）已知点M是矩形内（包括边界）的一个动点，若，，则的最大值为 .
【答案】5
【解析】设的中点为，连接，
则=
．
∵点点M是矩形内（包括边界）一动点，且,
∴，则，
当点与点或点重合时，取得最大值5.
故答案为：5．
6．（2024·广东深圳·高一校考期中）青花瓷（blue and white prcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 ．

【答案】
【解析】连接，如图所示：
．
根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时，
当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时，
故，即的取值范围是．
故答案为：.
7．（2024·河北保定·高一校联考期中）已知点在棱长为1的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】由题意，正方体外接球的直径，
设点为正方体外接球的球心，则为的中点，
所以且，
则
由，所以的最小值为．
故答案为：
8．（2024·四川成都·高一统考期末）已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
取的中点，连接，则，
所以，
当且仅当时，有最小值，则有最小值，
此时菱形的面积，
最小值为，
因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，
的取值范围为，
故答案为：
9．（2024·云南昆明·高一统考期末）在梯形中，，，，为线段上的动点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】在梯形中，，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、，设点为线段的中点，则，
设，其中，
，
，
则，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
10．（2024·河北石家庄·高一统考期末）已知中，，，点P是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是 ．
【答案】
【解析】设外接圆的半径为，由正弦定理可得，
所以，如图设外接圆的圆心为，为的中点，连接
则，
所以，
因为，
所以，
由圆的性质可知，即，
所以，即取值范围是.
故答案为：.
11．（2024·江苏苏州·高一统考期中）如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为 ，若、分别是边、的中点，则的取值范围是 ．

【答案】 20
【解析】由余弦定理，，
由于，所以.
设是中点，则共线，如图，
，
.
，
.
因为的最大值为，
所以的最大值为.
，
其中，即，
所以，故.
即的取值范围是.
故答案为：；
12．（2024·全国·高三专题练习）如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，， ，则的最小值为 ， 最大值为 .

【答案】 99 148
【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接,，如图所示：
则,，，，即，
，
当时，取得最小值，此时，所以.
当与重合时，，，则，
当与重合时，，，则，
所以，
故答案为：99；148.
13．（2024·山东日照·高二统考开学考试）四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为 ．
【答案】1
【解析】如图所示：
因为，，又点是的中点，
所以，所以，
，
又，所以，又点是的中点，
所以，
因为，
所以，
即，
设，，则，
所以，
所以，
所以当即时，有最大值1，
即有最大值为1．
故答案为：1
14．（2024·广东·高一校联考阶段练习）如图，已知是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，，则的最大值是 ．

【答案】2
【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即与重合时取等号，故的最大值是2．
故答案为：2