重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：问题（系数为1）
题型二：问题（系数不为1）
题型三：问题
题型四：问题
题型五：问题
题型六：问题
【知识点梳理】
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
【典型例题】
题型一：问题（系数为1）
【例1】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为
A．B．C．1D．4
【变式1-2】（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A．B．C．D．
题型二：问题（系数不为1）
【例2】（2024·山东潍坊·高一统考期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·山东烟台·统考三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【变式2-2】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型三：问题
【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号）
①存在点P，使得；
②存在点P，使得；
③存在点P，使得；
④存在点P，使得．
【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .
题型四：问题
【例4】（2024·江苏·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为
【变式4-1】（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 .
【变式4-2】（2024·广东惠州·高一校联考阶段练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为( )
A．2B．3C．D．
题型五：问题
【例5】（2024·山西·高一统考期末）已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 .
【变式5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·天津·高三校联考阶段练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 .
题型六：问题
【例6】（2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为 ．
【变式6-1】（2024·福建福州·高三校考期末）在△ABC中，点D满足BD＝BC，当E点在线段AD上移动时，若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三课时练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2024·四川成都·高三阶段练习）在中，为边上任意一点，为的中点，，则的值为
A．B．C．D．
3．（2024·河南南阳·高三统考期末）如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则( )
A．B．C．D．
4．（2024·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
5．（2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .
6．（2024·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 .
7．（2024·江西南昌·统考二模）如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．
8．（2024·四川绵阳·高一统考期中）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
9．（2024·吉林·高一阶段练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为
10．（2024·全国·高三专题练习）如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为 ．
11．（2024·山东潍坊·高三开学考试）在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为 ．
12．（2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是 ．
13．（2024·浙江宁波·高一统考期末）半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则 .
14．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为，点C在AB上，且，若，则 ．
三、解答题
15．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.

（1）当x+y>1或x+y