重难点专题05 三角形中的范围与最值问题（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：周长问题
题型二：面积问题
题型三：长度问题
题型四：转化为角范围问题
题型五： 倍角问题
题型六：与正切有关的最值问题
题型七：最大角问题
题型八：三角形中的平方问题
题型九：等面积法、张角定理
【方法技巧与总结】
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:
(1)利用基本不等式求范围或最值；
(2)利用三角函数求范围或最值；
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；
(4)根据三角形解的个数求范围或最值；
(5)利用二次函数求范围或最值.
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
(1)求角的最值；
(2)求边和周长的最值及范围；
(3)求面积的最值和范围.
【典例例题】
题型一：周长问题
【例1】（2024·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若，求的周长最小值.
【变式1-1】（2024·江苏南京·高二校考阶段练习）在锐角中，， ，
（1）求角；
（2）求的周长l的范围.
注：在①，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.
【变式1-2】（2024·山西运城·高二校考阶段练习）在锐角中，内角A、B、C，的对边分别是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的范围.
【变式1-3】（2024·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围.
题型二：面积问题
【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长；
(2)若为锐角三角形，求面积的范围.
【变式2-1】（2024·河南开封·高二校联考期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，．且满足：．
(1)求角的大小；
(2)若时，求面积的范围．
【变式2-2】（2024·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【变式2-3】（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
题型三：长度问题
【例3】（2024·江西宜春·高二校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
【变式3-1】（2024·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
【变式3-2】（2024·河南濮阳·高二校联考期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量＝(cs B，cs C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范围．
【变式3-3】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）在中，角所对的边分别是，且满足，则的最大值为 .
【变式3-4】（2024·贵州黔东南·高二统考期末）在中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为 .
题型四：转化为角范围问题
【例4】（2024·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）在，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列.
(1)证明：成等差数列；
(2)求角B的范围.
【变式4-1】（2024·浙江嘉兴·高二校考期中）在中，内角、、所对的边分别为、、.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求角的大小；
（3）求的范围.
【变式4-2】（2024·浙江台州·高一校联考期中）已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．
(1)判断角B与角C的关系，并说明理由；
(2)若，求的范围．
【变式4-3】（2024·山东临沂·高一校考期末）记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的范围.
题型五： 倍角问题
【例5】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的周长的取值范围.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【变式5-2】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
题型六：与正切有关的最值问题
【例6】（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）在中，为边上的高，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值及取最小值时k的值.
【变式6-1】锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型七：最大角问题
【例7】（2024·山东滨州·统考二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为 米时看A，B的视角最大.
【变式7-1】（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶离地面12米，树上另一点离地面8米，若在离地面2米的处看此树，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【变式7-2】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（ ）
A．2abB．C．D．ab
【变式7-3】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）
A．B．
C．D．
题型八：三角形中的平方问题
【例8】（2024·浙江湖州·高三统考期末）已知实数，，满足，则的最小值是
A．B．C．-1D．
【变式8-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）在中，，，所对的边长为，，，的面积为，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2024·全国·高三专题练习）设为的三边，为的面积，若，则的最大值为 ．
【变式8-3】（2024·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）在中，a，b，c为三边，若，则面积的最大值为 .
【变式8-4】（2024·河南郑州·校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为 ．
【变式8-5】（2024·安徽·南陵中学校联考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是 .
题型九：等面积法、张角定理
【例9】（2024·湖北·高一校联考阶段练习）在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为 .
【变式9-1】（2024·新疆伊犁·高一奎屯市第一高级中学统考期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．7
【变式9-2】（2024·云南大理·统考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交于点D，且，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．20D．14
【变式9-3】（2024·重庆云阳·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，．，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．