2024届广东省大湾区高三下学期联合模拟考试（二）数学试题（原卷版+解析版）

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本卷共6页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合的真子集的个数为（ ）
A 3B. 4C. 7D. 8
2. 的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 10C. D. 40
3. 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
4 已知正实数满足，则（ ）
A. 1B. C. 4D. 1或
5. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. （ ）
A. B. C. D.
7. 拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
8. 法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（ ）
A. B. 26C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知一组数据，，…，是公差不为0等差数列，若去掉数据，则（ ）
A. 中位数不变B. 平均数变小C. 方差变大D. 方差变小
10. 已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 在上具有单调性
11. 如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，分别在棱，上，且分别为的中点，则（ ）
A. 平面
B. 若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为
C. 若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为
D. 过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，为虚数单位，定义，则复数的模为________．
13. 函数的部分图象如图所示，则______．
14. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，与轴正半轴相交于点．若在第一象限内圆弧上存在点，使，则圆的标准方程为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
16. 已知数列为等差数列，，前项和为，满足：当且时，．
（1）求的通项公式；
（2）定义集合且，记的元素个数为，数列的前项和为，求．
17. 一个袋子中装有6个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同．现每次从袋中不放回地随机取出一个球，直到2个白球都被取出为止．以表示袋中还剩下的黑球个数．
（1）记事件表示“第次取出的是白球”，，求；
（2）求分布列和数学期望．
18. 双曲线的焦点为（在下方），虚轴的右端点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线交于点，记的周长为的周长为．
（1）若的一条渐近线为，求的方程；
（2）已知动直线与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，为线段上一点，设为常数．若为定值，求的最大值．
19. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．
（1）证明：当时，；
（2）从图形上看，函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．
①当时，证明：；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．