2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高二（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知−4，a1，a2，−1四个实数成等差数列，4，b1，1三个正实数成等比数列，则a2−a1b1=( )
A. 12B. −12C. ±12D. ±2
2.“G= ab”是“G是a、b的等比中项”的条件( )
A. 既不充分也不必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 充要
3.函数f(x)=−xex(a0)的渐近线方程为y=−x，
设直线y=(1+e)x到直线y=−x的角为θ，则tanθ=−1−(1+e)1−1−e=2+ee，
结合图形可知，tan∠MON∈(0,2+ee).
故答案为：(0,2+ee).
作出函数f(x)的图形，求出过点过原点且与函数f(x)=xex+e−e2(x≤0)的图象相切的直线的方程，以及函数f(x)=− 1+x2，x>0的渐近线方程，利用到角公式可得tan∠MON的取值范围．
本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设该等差数列为{an}，则a1=a，a2=4，a3=3a，
由已知有a+3a=8，得a1=a=2，公差d=4−2=2，
所以Sk=ka1+k(k−1)2⋅d=2k+k(k−1)2×2=k2+k，
由Sk=110，得k2+k−110=0，
解得k=10或k=−11(舍去)，
故a=2，k=10；
(2)证明：由(1)得Sn=n(2+2n)2=n(n+1)，
则bn=Snn=n+1，故bn+1−bn=(n+2)−(n+1)=1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn=n(2+n+1)2=n(n+3)2．
【解析】(1)设该等差数列为{an}，由等差中项可得a的方程，解得a，可得首项、公差，再由求和公式可得k；
(2)运用等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求结论．
本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵双曲线C1：x2−y24=1，
∴焦点坐标为( 5,0)，(− 5,0)
设双曲线C2的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4, 3)
∴a2+b2=516a2−3b2=1，解得a=2b=1
∴双曲线C2的标准方程为x24−y2=1
(2)双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=−2x
由y=2xy=x+m，可得x=m，y=2m，∴A(m,2m)
由y=−2xy=x+m，可得x=−13m，y=23m，∴B(−13m,23m)
∴OA⋅OB=−13m2+43m2=m2
∵OA⋅OB=3
∴m2=3
∴m=± 3
【解析】(1)先确定双曲线C1：x2−y24=1的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4, 3)，建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；
(2)直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．
本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，联立方程组是关键．
19.【答案】解：(Ⅰ)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时，
耗油(1128000×403−380×40+8)×2.5=17.5(升)．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
(Ⅱ)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，
设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)=(1128000x3−380x+8)⋅100x=11280x2+800x−154(01，当k∈[−1,0]时，k−csx≤1，k2−cs2x≤1．
由(Ⅱ)知，f(x)在(−∞,1]上是减函数，要使f(k−csx)≥f(k2−cs2x)，x∈R
只要k−csx≤k2−cs2x(x∈R)
即cs2x−csx≤k2−k(x∈R)①
设g(x)=cs2x−csx=(csx−12)2−14，则函数g(x)在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k2−k≥2，即k≥2或k≤−1．
所以，在区间[−1,0]上存在k=−1，使得f(k−csx)≥f(k2−cs2x)对任意的x∈R恒成立．
【解析】(Ⅰ)求出f(2)和f′(2)，利用点斜式写切线方程．
(Ⅱ)求导，令f′(x)=0，再考虑f(x)的单调性，求极值即可．
(Ⅲ)有(Ⅱ)可知当a>3时f(x)为单调函数，利用单调性直接转化为k−csx≤k2−cs2x恒成立，分离参数求解即可．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．x
(−∞,a3)
a3
(a3,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
−
0
+
0
−
x
(−∞,a)
a
(a,a3)
a3
(a3,+∞)
f′(x)
−
0
+
0
−