2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a,b均为单位向量，若a,b夹角为2π3，则|a−b|=( )
A. 7B. 6C. 5D. 3
2.已知复数a−i1+2i是纯虚数，则实数a=( )
A. −1B. 35C. 2D. −2
3.已知cs2α=−12，则sin2α=( )
A. 14B. 12C. 34D. 32
4.在△ABC中，若A=30°,B=45°,BC=2 3，则AC=( )
A. 2B. 3C. 6D. 2 6
5.如图，在矩形ABCD中，M是CD的中点，则( )
A. AC=32AM−12BM
B. AC=32AM−BM
C. AC=AM−32BM
D. AC=12AM+12BM
6.设△ABC的面积为S，若AB⋅AC=2S，则角A=( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
7.若tan2α=43，则4cs2α−3sin2α1−cs2α=( )
A. −12B. 2C. −2或12D. −12或2
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c−b=2bcsA，则ca−b的取值范围是( )
A. (−1,2)B. (32,2)C. (32,3)D. (2,3)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. z⋅z−=|z|2，z∈C
B. i2024=−1
C. 若|z|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1
D. 若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若bcsC+ccsB=b，则△ABC是等腰三角形
B. 若a=2，b=3，A=30°，则符合条件的△ABC有两个
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
D. 若sin2B+sin2C=sin2A，则△ABC为直角三角形
11.如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴，e1,e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若OM=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OM的斜坐标，记为OM=(x,y)在θ=π3的斜坐标系中，a=(−1,1),b=(1,1)，则下列结论正确的是( )
A. a−b=(−2,0)B. |a|=2 2
C. a⊥bD. a−b与b的夹角为5π6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(0,−3)，b=(1,m)，若向量b在向量a上的投影向量为−12a，则m= ______．
13.已知2sinβ−csβ+2=0，sinα=2sin(α+β)，则tan(α+β)= ______．
14.已知△ABC的外接圆半径为1，则AB⋅AC的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知角α和β满足csα+csβ=−49．
(1)若β=2α，求csα的值；
(2)若β=α+π2，求sin2α的值．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60°，M，N分别为BC，AC边上的中点，AM，BN相交于点P．
(1)求BC；
(2)求cs∠MPN的值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3cs(π2−2x)−2cs2x+1．
(1)若α∈(0,π),f(α2)=1，求α的值；
(2)若β∈(π2,π),f(β)=−12，求cs(β+π6)的值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+C2=asinB．
(1)求角A；
(2)若D为AB的中点，且4CD= 7AB，求cs∠ACB．
19.(本小题17分)
在凸四边形ABCD中，DC=2AD．
(1)若A，B，C，D四点共圆，∠ADC=2π3,AC= 7,AB=BC+AD，求四边形ABCD的面积；
(2)若DA⊥AB,∠ADC=∠BCD,∠BDC=π6，求BCAD的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
根据条件进行数量积的运算即可求出(a−b)2=3，从而得出|a−b|= 3．
【解答】
解：∵|a|=|b|=1,=2π3，
∴(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=1−2×1×1×(−12)+1=3，
∴|a−b|= 3．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：∵a−i1+2i=(a−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=a−2−(2a+1)i5是纯虚数，
则a−2=0且2a+1≠0，
故实数a=2．
故选：C．
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为cs2α=−12=1−2sin2α，
所以sin2α=34．
故选：C．
利用二倍角公式即可求解．
本题主要考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为在△ABC中，若A=30°,B=45°,BC=2 3，
所以由正弦定理BCsinA=ACsinB，可得2 312=AC 22，
解得AC=2 6．
故选：D．
由已知利用正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由图可知：AC=AM+MC=AM+12AB=AM+12(AM+MB)=32AM−12BM．
故选：A．
平面向量的线性运算，利用加减法运算以及数乘运算即可得到结果．
本题考查平面向量的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由2S=AB⋅AC，得bcsinA=bccsA，
因为csA≠0，所以tanA=1，
因为A∈(0,π)，所以A=π4．
故选：B．
运用三角形面积公式及向量的数量积，得到tanA=1，从而求出A．
本题考查了三角形的面积公式和平面向量的数量积公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为tan2α=43=2tanα1−tan2α，整理可得2tan2α+3tanα−2=0，
解得tanα=−2或12，
则4cs2α−3sin2α1−cs2α=4cs2α−6sinαcsα2sin2α=4−6tanα2tan2α=2．
故选：B．
利用二倍角的正切公式化简已知等式可得2tan2α+3tanα−2=0，解得tanα的值，进而利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为c−b=2bcsA，则由正弦定理得sinC−sinB=2sinBcsA，
又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
所以sinAcsB+csAsinB−sinB=2sinBcsA，
则sinB=sinAcsB−sinBcsA=sin(A−B)，
所以B=A−B，即A=2B，则C=π−A−B=π−3B，
所以0<2B<π0<π−3B<π，解得0所以ca−b=sinCsinA−sinB=sin3Bsin2B−sinB
=sin(2B+B)2sinBcsB−sinB=sin2BcsB+cs2BsinB2sinBcsB−sinB
=2sinBcs2B+(2cs2B−1)sinBsinB(2csB−1)=2csB+1∈(2,3)，
则ca−b的取值范围是(2,3)．
故选：D．
利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的性质得到A=2B，从而利用三角形的性质得到B的范围，再利用正弦定理转化所求即可得解．
本题考查了两角和的正弦公式和正弦定理的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
则z⋅z−=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，|z|2=a2+b2，故A正确；
i4=1，
则i2024=(i4)506=1，故B错误；
|z|=1，z∈C，表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆，
|z−2|表示该圆上的点到点(2,0)的距离，
故|z−2|的最小值为1，故C正确；
−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，
则−4−3i也是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，
故−4+3i+(−4−3i)=−8=−p，解得p=8，故D正确．
故选：ACD．
结合复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，即可求解．
本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由正弦定理得，sinBcsC+sinCcsB=sinB，
即sinB=sin(B+C)=sinA，则A=B，△ABC是等腰三角形，故A正确；
对于B：由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，即4=9+c2−3 3c，
整理得c2−3 3c+5=0，解得c=3 3± 72，所以符合条件的△ABC有两个，故B正确；
对于C，因为A，B∈(0,π)，0<2A<2π，则0<2B<2π，又sin2A=sin2B，
所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，由sin2B+sin2C=sin(B+C+B−C)+sin(B+C−(B−C))
=2sin(B+C)cs(B−C)=sin2A=2sinAcsA，
易知sinA=sin(B+C)≠0，所以csA=cs(B−C)，
根据余弦函数的性质可知：
若B若B=C⇒A=0(舍去)，
若B>C，则B−C=A⇒B=π2，所以都能得出△ABC为直角三角形，故D正确．
故选：ABD．
利用正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式即可判断A，利用余弦定理解得c即可判断B，根据正弦函数结合角的范围分析可判断C；根据两角和与差的正弦公式与余弦函数的性质可判断D．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题可得：a=−e1+e2,b=e1+e2，e1⋅e2=|e1||e2|csπ3=12，
对于A，a−b=−e1+e2−(e1+e2)=−2e1，
所以a−b=(−2,0)，故A正确；
对于B，|a|= (−e1+e2)2= e12+e22−2e1⋅e2=1，故B错误；
对于C，a⋅b=(−e1+e2)⋅(e1+e2)=−e12+e22=0，所以a⊥b，故C正确；
对于 D，(a−b)⋅b=−2e1⋅(e1+e2)=−2e12−2e1⋅e2=−3,|a−b|=|−2e1|=2，
|b|= (e1+e2)2= e12+e22+2e1⋅e2= 3，
则cs〈a−b,b〉=(a−b)⋅b|a−b||b|=−32× 3=− 32，
又因为〈a−b,b〉∈[0,π]，所以〈a−b,b〉=5π6，故D正确．
故选：ACD．
由题意，可得a=−e1+e2,b=e1+e2.利用平面向量线性运算及其坐标表示即可判断A；根据平面向量数量积的定义与几何意义计算即可判断B；根据向量数量积的运算律和垂直关系的斜率表示即可判断C；根据向量数量积的运算律和数量积的定义计算即可判断D．
本题考查平面向量的新定义，平面向量的数量积与夹角，向量的线性运算，属于中档题．
12.【答案】32
【解析】解：∵向量a=(0,−3)，b=(1,m)，
∴向量b在向量a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=−3m9a=−m3a，
∴−m3=−12，
解得m=32．
故答案为：32．
根据投影向量的定义求解．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
13.【答案】12
【解析】解：因为sinα=sin(α+β−β)=2sin(α+β)，
所以sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ=2sin(α+β)，
化简得sin(α+β)(csβ−2)=cs(α+β)sinβ，
所以tan(α+β)=sinβcsβ−2，又2sinβ−csβ+2=0，
所以sinβcsβ−2=12，
故tan(α+β)=12．
故答案为：12．
利用两角差的正弦，将已知转化为sinα=sin(α+β−β)=2sin(α+β)，展开结合已知求值解得．
本题主要考查了两角和与差的三角函数及同角基本关系的应用，属于中档题．
14.【答案】−12．
【解析】解：根据题意得AB⋅AC=|AB|⋅|AC|csA，当A为钝角时，csA<0，有AB⋅AC<0，
因此，当AB⋅AC取得最小值时，csA<0，A为钝角．
若△ABC的外接圆半径R=1，则ABsinC=ACsinB=2R=2，可得AB=2sinC，AC=2sinB，
所以AB⋅AC=4csAsinBsinC=2csA[cs(B−C)−cs(B+C)]
=2csA[cs(B−C)+csA]=2cs2A+[2cs(B−C)]csA≥2cs2A+2csA，
因为y=2cs2A+2csA=2(csA+12)2−12，当csA=−12时，y有最小值−12，
所以当csA=−12，且B=C时，即A=120°，B=C=30°时，AB⋅AC有最小值−12．
故答案为：−12．
根据题意利用正弦定理算出AB=2sinC，AC=2sinB，从而得到AB⋅AC=|AB|⋅|AC|csA=4csAsinBsinC，利用三角恒等变换公式化简，可得AB⋅AC=2cs2A+[2cs(B−C)]csA≥2cs2A+2csA，进而利用二次函数的性质算出AB⋅AC的最小值．
本题主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换公式、二次函数的最值求法等知识，属于中档题．
15.【答案】解：(1)csα+cs2α=−49，可得(2cs2α−1)+csα=−49，
2cs2α+csα=59，解得csα=13或−56．
(2)csα+cs(α+π2)=−49，可得csα−sinα=−49，
即(csα−sinα)2=1681，
故sin2α=2sinαcsα=1−(csα−sinα)2=1−1681=6581．
【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值；
(2)利用三角函数的诱导公式求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)△ABC中，AB=4，AC=10，∠BAC=60°，
根据余弦定理得，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC=42+102−2×4×10×cs60°=76，
解得BC= 76=2 19．
(2)设AB=a,AC=b，则|a|=4，|b|=10，
因为M，N分别为BC，AC的中点，
所以AM=12a+12b,BN=−a+12b，
所以a⋅b=|a||b|cs=4×10×cs60°=20，
所以AM2=(12a+12b)2=14×16+12×20+14×100=39，|AM|= 39，
BN2=(−a+12b)2=16−20+14×100=21，|BN|= 21．
又AM⋅BN=(12a+12b)(−a+12b)=−12|a|2−14a⋅b+14|b|2=12，
所以cs∠MPN=AM⋅BN|AM|⋅|BN|=12 39× 21=4 9191．
【解析】(1)利用余弦定理，即可求得BC的值．
(2)设AB=a,AC=b，由中线的向量表示求出|AM|和|BN|，再求两向量的夹角余弦值．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得f(x)= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
又α∈(0,π),f(α2)=1，
所以f(α2)=2sin(α−π6)=1，
故sin(α−π6)=12，
因为α∈(0,π)，
所以α−π6∈(−π6,5π6)，
所以α−π6=π6，
故α=π3．
(2)已知β∈(π2,π),f(β)=−12，
则f(β)=2sin(2β−π6)=−12，
所以sin(2β−π6)=−14，
所以cs(2β+π3)=cs[(2β−π6)+π2]=−sin(2β−π6)=14，
又cs(2β+π3)=2cs2(β+π6)−1，
所以cs2(β+π6)=58，
因为β∈(π2,π)，
所以β+π6∈(2π3,7π6)，
所以cs(β+π6)=− 104．
【解析】(1)由三角恒等变换，结合特殊角的三角函数求解．
(2)由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
18.【答案】(1)在△ABC中，因为bsinB+C2=asinB，
所以sinBsin(π2−A2)=sinAsinB，
又因为sinB>0，所以csA2=2sinA2csA2，
因为A2∈(0,π2)，所以csA2>0，所以sinA2=12，
故A2=π6,A=π3．

(2)由题意知，CD= 74AB= 74c，
由cs∠ADC+cs∠BDC=0，
716c2+14c2−b22⋅ 74c⋅12c+716c2+14c2−a22⋅ 74c⋅12c=0，
化简得118c2−a2−b2=0，①
在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2−bc，②
将①②联立，得3c2+8bc−16b2=0，
即(c+4b)(3c−4b)=0，所以3c=4b，
令c=4t(t>0)，则b=3t,a= 13t，
所以cs∠ACB=a2+b2−c22ab=13t2+9t2−16t22⋅ 13t⋅3t= 1313．
【解析】(1)根据正弦定理，二倍角公式即可求值；(2)由cs∠ADC+cs∠BDC=0，以及余弦定理即可求值．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为A，B，C，D四点共圆且∠ADC=2π3，所以∠ABC+∠ADC=π，可得∠ABC=π3，

在△ADC中，由余弦定理得AC2=DA2+DC2−2DA⋅DCcs∠ADC，
结合DC=2AD，AC= 7，所以7=DA2+4DA2−2DA×2DA×(−12)，解得DA=1(舍负)，所以DC=2，
则S△ADC=12DA⋅DCsin∠ADC=12×1×2× 32= 32，
在△ABC中，由余弦定理，得AC2=BA2+BC2−2BA⋅BCcs∠ABC，
结合AB=BC+AD=BC+1，可得7=(BC+1)2+BC2−2(BC+1)×BC×12，
解得BC=2或BC=−3(舍去)，所以AB=3，
所以S△ABC=12BA⋅BCsin∠ABC=12×3×2× 32=3 32，
可得SABCD=S△ADC+S△ABC= 32+3 32=2 3；
(2)在△ABD中，设∠ADB=θ(0<θ<π2)，AD=x(x>0)，则CD=2x，
∠ADC=∠BCD=θ+π6，由csθ=xBD，可得BD=xcsθ，

因为∠BDC=π6，所以∠DBC=π−π6−(θ+π6)=2π3−θ，
在△BCD中，由正弦定理可得BDsin∠DCB=DCsin∠DBC，即xcsθsin(θ+π6)=2xsin(2π3−θ)，
所以sin(2π3−θ)=2csθ⋅sin(θ+π6)，即sin(θ+π3)= 3csθ⋅sinθ+cs2θ，
所以sin(θ+π3)= 32sin2θ+12cs2θ+12=sin(2θ+π6)+12=sin(2θ+2π3−π2)+12
=−cs(2θ+2π3)+12=2sin2(θ+π3)−12，
整理得2sin2(θ+π3)−sin(θ+π3)−12=0，结合sin(θ+π3)>0，解得sin(θ+π3)=1+ 54，
根据正弦定理，可得CDsin(2π3−θ)=BCsinπ6，
故BC=xsin(θ+π3)=x1+ 54=( 5−1)x，所以BCx=BCAD= 5−1．
【解析】(1)由圆内接四边形的性质，得到∠ABC=π−∠ADC=π3，从而在△ADC中利用余弦定理列式，解出DA=1，DC=2，同理，在△ABC中利用余弦定理算出BC=2，AB=3，进而根据三角形的面积公式，算出S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=2 3；
(2)设∠ADB=θ(0<θ<π2),AD=x(x>0)，则CD=2x，∠ADC=∠BCD=θ+π6，结合∠BDC=π6，算出∠DBC=2π3−θ，在△BCD中利用正弦定理，推导出sin(θ+π3)= 3csθ⋅sinθ+cs2θ，根据三角恒等变换公式化得到关于sin(θ+π3)的一元二次方程，解出sin(θ+π3)的值，进而算出BC=( 5−1)x，可得BCAD的值．
本题主要考查三角恒等变换公式、利用正弦定理与余弦定理解三角形等知识，考查了运算求解能力、图形的理解能力，属于难题．