2023-2024学年河南省郑州市优胜实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市优胜实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=m+1+(m−1)i纯虚数，则实数m=( )
A. 0B. −1C. 1D. 2
2.如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b( )
A. 共面B. 平行C. 异面D. 平行或异面
3.点C在线段AB上，且ACCB=52，则下列选项正确的是( )
A. AC=57ABB. AC=25CBC. BC=27ABD. BC=−52BA
4.下列命题正确的是( )
A. 如果a，b是两条直线，且a/​/b，那么a平行于经过b的任何平面
B. 如果直线a和平面α满足a/​/α，那么a与α内的任何直线平行
C. 如果直线a，b和平面α满足a/​/α，b/​/α，那么a/​/b
D. 如果直线a，b和平面α满足a/​/b，a/​/α，b⊄α，那么b/​/α
5.若一个球体的体积与其表面积相等，则该球体的半径为( )
A. 1B. 2C. 3D. 3
6.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，CD=n，则CB=( )
A. 3m−2nB. −2m+3nC. 3m+2nD. 2m+3n
7.如图，在三棱锥A−BCD中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是( )
A. EF/​/GH
B. BD//GH
C. GH/​/平面ABD
D. AC/​/平面EFHG
8.已知△ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A. 14BCB. 34BCC. −14BCD. − 34BC
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论不正确的是( )
A. 若a与b都是单位向量，则a=bB. 直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量
C. 若a与b是平行向量，则a=bD. 海拔、温度、角度都不是向量
10.下列命题正确的是( )
A. 一个棱锥至少5个面
B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
11.三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有( )
A. a=2，b=3，c=4B. AB⋅BC=−2a
C. sinA−sinBsinC+sinB=ca+bD. b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在▱ABCD中，AB=a，AD=b，用a，b表示向量DB，则DB= ______．
13.在复数范围内，方程x2+x+1=0的一个解为ω，则ω3= ______．
14.已知复数z1=m+(4−m2)i(m∈R)，z2=2csθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)(2+3i)(2−3i)；
(2)(1+i)2；
(3)1+2i3−4i．
16.(本小题15分)
(1)求证：(a+b)2−(a−b)2=4a⋅b；
(2)已知在△ABC中，M是BC的中点，证明：AB⋅AC=|AM|2−|MB|2；
(3)已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a−kb互相垂直？
17.(本小题15分)
(1)在△ABC中，已知a=5，b=2，C=π3，求c；
(2)在△ABC中，已知B=30°，b= 2，c=2，解这个三角形．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1/​/平面BCHG．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB+bcsA=2ccsA．
(1)求角A；
(2)若向量m=(csB,2csA)，n=(0,cs2C2)，求|m−2n|的取值范围；
(3)若a=2，求c−b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：z=m+1+(m−1)i纯虚数，
则m+1=0m−1≠0，解得m=−1．
故选：B．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵两条直线a和b没有公共点，
∴a和b平行或异面．
故选：D．
利用空间中两直线间的位置关系直接求解．
本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线间的关系的合理运用．
3.【答案】A
【解析】解：由点C在线段AB上，且ACCB=52，
可得AC=57AB，
由向量数乘运算的定义可知，
AC=52CB，BC=−27AB，BC=27BA，故BCD均不正确．
故选：A．
根据向量的数乘运算即可得到结论．
本题考查向量的数乘运算，属基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了线与面的位置关系，属于基础题．
对线面位置关系的认识，对于线面、线线的平行关系是学生学习的重点，要熟练掌握．
【解答】
解：A选项：a可能在经过b的平面内；
B选项：a还可以与平面α内的直线异面；
C选项：a可以与直线b平行，异面，相交．
D选项：过直线a作平面β，设α∩β=c，
又∵a/​/α，∴a/​/c，
又∵a/​/b，∴b/​/c，
又∵b⊄α且c⊂α
∴b//α.因此D正确．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：假设球体的半径为R，由已知条件球体的体积与其表面积相等，
得43πR3=4πR2，解得R=3．
故选：C．
根据球体的体积和表面积相等的条件得到等式关系，解方程即可求出球的半径．
本题考查了球的表面积和体积的计算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
直接利用平面向量的线性运算可得12CB=32CD−CA，进而得解．
【解答】
解：如图，
CD=CA+AD=CA+12DB=CA+12(CB−CD)=CA+12CB−12CD，
∴12CB=32CD−CA，即CB=3CD−2CA=3n−2m．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：对于A，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF/​/BD，
∵过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BDC=HG，
∴GH/​/BD，∴EF/​/GH，故A正确；
对于B，∵过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BDC=HG，
∴GH/​/BD，故B正确；
对于C，∵GH//BD，BD⊂平面ABD，GH⊄平面ABD，∴GH/​/平面ABD，故C正确；
对于D，∵GH的位置不确定，∴AC与平面EFHG有可能相交，故D错误．
故选：D．
对于A，推导出EF//BD，GH/​/BD，从而EF/​/GH；对于B，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BDC=HG，从而GH/​/BD；对于C，由GH/​/BD，得GH/​/平面ABD；对于D，AC与平面EFHG有可能相交．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，△ABC中，2AO=AB+AC，则O是BC的中点，
又由O是BC的中点，则BC为圆O的直径，则有|AO|=|BO|=|CO|，
又由|OA|=|AB|，则△ABO为等边三角形，∠ABO=π3，
则向量BA在向量BC上的投影向量为|BA|csπ3×BC|BC|=14BC．
故选：A．
根据题意，分析可得O是BC的中点，进而可得BC为圆O的直径，由此可得△ABO为等边三角形，由投影向量的定义分析可得答案．
本题考查投影向量，涉及向量数量积的性质以及应用，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：A错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；
B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；
C错误，若a与b是平行向量，则a与b的方向不确定，不一定有a=b；
D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
故选：ABC．
根据向量的概念逐项判断即可．
本题考查向量的概念，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，一个棱锥至少4个面，A错误；
对于B，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，B正确；
对于C，由棱锥的定义，有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，C正确；
对于D，由正棱锥的定义，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确．
故选：BCD．
根据题意，由棱锥的定义分析A、C和D，由平行六面体的定义分析B，综合可得答案．
本题考查棱锥、棱柱的结构特征，涉及正棱锥的定义，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为a2+b2−c2=4+9−16=−3