2023-2024学年山东省临沂市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知sinα−csα=−15，则sin2α的值为( )
A. 1225B. −2425C. 2425D. −1225
2.cs(−435°)=( )
A. − 6+ 24B. − 6− 24C. 6+ 24D. 6− 24
3.若复数z满足z(1+i)=3+4i(其中i为虚数单位)，则z的虚部是( )
A. 12iB. −12iC. 12D. −12
4.向量a=(1,−2),b=(−1,3)，则(a−b)⋅(3a+b)=( )
A. 19B. 18C. 17D. 16
5.△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p=(a+c,c+b),q=(c−a,b).若p⊥q，则角A的大小为( )
A. 2π3B. π2C. π3D. π6
6.已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点O为△ABC的内心，则CO=( )
A. 23AB−14ACB. 13AB−34ACC. 23AB+14ACD. 13AB+34AC
7.某远洋运输船在海面上航行至海上A处，测得小岛上灯塔顶端P位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至B处，测得灯塔顶端P的仰角为30°，则该灯塔顶端P高于海面( )
A. 50米B. 100米C. 100 2米D. 100 3米
8.已知函数f(x)=3cs(ωx+π3)(ω>0)图象关于直线x=π3对称，且关于点(−π6,0)对称，则ω的值可能是( )
A. 7B. 9C. 11D. 13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=−12− 32i(其中i为虚数单位)，则( )
A. z3=−1B. z2=z−C. 1z=z−D. z2+z−1=0
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题中为真命题的是( )
A. 若bcsC+ccsB=asinA，则△ABC为直角三角形
B. 若csA>csB，则sinAc2，则△ABC为锐角三角形
D. 若sin2A2=c−b2c，则△ABC为直角三角形
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0)个单位得到函数h(x)，已知函数y=eh(x)−lgg(x)的最小值为e−1，求满足条件的θ的最小值；
(3)是否存在实数m，满足不等式Asin(ω −m2+2m+φ)≤Asin(ω −m2+1+φ)？若存在，求出实数m的范围(或值)，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，属于基础题．
把所给的式子平方，利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
【解答】解：∵sinα−csα=−15，
∴平方可得1−2sinαcsα=1−sin2α=125，
则sin2α=2425，
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：cs(−435°)=cs435°=cs(360°+75°)=cs75°=cs(45°+30°)=cs45°cs30°−sin45°sin30°= 22× 32− 22×12= 6− 24．
故选：D．
根据三角函数的诱导公式得出cs(−435°)=cs75°=cs(45°+30°)，然后根据两角和的余弦公式即可得解．
本题考查了两角和的余弦公式，三角函数的诱导公式，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为复数z满足z(1+i)=3+4i，则z=3+4i1+i=7+i2=72+12i，所以复数z的虚部为12．
故选：C．
利用复数的除法运算和复数的概念即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：已知向量a=(1,−2),b=(−1,3)，
则a−b=(2,−5)，3a+b=(2,−3)，
则(a−b)⋅(3a+b)=2×2+(−5)×(−3)=19．
故选：A．
结合平面向量数量积的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由于向量p=(a+c,c+b),q=(c−a,b).若p⊥q，
故c2−a2+bc+b2=0，整理得b2+c2−a2=−bc，
所以csA=−12，
由于A∈(0,π)，
故A=2π3．
故选：A．
直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果．
本题考查的知识点：余弦定理，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，设△ABC的内切圆半径为r，
△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，易得BC2=AB2+AC2，则△ABC为直角三角形，
过点O作OF垂直于AC，与AC交于点F，过点O作OE垂直于AB，交AB于点E，
则E、F为△ABC的内切圆与边AC、AB的切点，
又由AB⊥AC，则有OF/​/AB，OE/​/AC，
则OE=OF=r，
则有12(AB+AC+BC)r=12×AC×AB，即6r=6，解可得r=1，
则有CF=3，故CF=34CA，FO=13AB，
则CO=CF+FO=34CA+13AB=13AB−34AC．
故选：B．
根据题意，设△ABC的内切圆半径为r，由勾股定理可得△ABC为直角三角形，过点O作OF垂直于AC，与AC交于点F，过点O作OE垂直于AB，交AB于点E，求出r的值，分析可得CF=34CA，FO=13AB，由向量加法的性质分析可得答案．
本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意作出示意图，如图所示，
设灯塔顶端P高于海面的距离为PC=h米，由题意得∠PAC=45°，∠PBC=30°，
所以AC=htan45=h米，BC=htan30∘= 3h米，
在△ABC中，AB=100，∠CAB=90°−30°=60°，由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cs60°，
即3h2=h2+1002−2⋅h⋅100cs60°，整理h2+50h−5000=0，解得h=50(h=−100不符合题意，舍去)．
综上所述，灯塔顶端P高于海面的距离为50米．
故选：A．
设灯塔顶端P高于海面的距离为PC=h米，利用锐角三角函数的定义算出AC=h米，BC= 3h米，然后在△ABC中利用余弦定理建立关于h的等式，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查锐角三角函数定义、余弦定理、解三角形及其应用等知识，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=3cs(ωx+π3)(ω>0)图象关于直线x=π3对称，且关于点(−π6,0)对称，
所以πω3+π3=kπ，−πω6+π3=nπ+π2，k∈Z，n∈Z，
所以ω=3k−1且ω=−6n−1．
故选：C．
由已知结合余弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了余弦函数对称性的应用，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：因为复数z=−12− 32i，所以z2=(−12− 32i)2=−12+ 32i，
则z3=(−12+ 32i)(−12− 32i)=1，故A错误；
z2=−12+ 32i=z−，故B正确；
1z=1−12− 32i=−12+ 32i=z−，故C正确；
z2+z−1=−12+ 32i−12− 32i−1=−2，故D错误．
故选：BC．
分别求出z2=−12+ 32i和 z−，计算可得结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A中，因为bcsC+ccsB=asinA，由正弦定理可得sinBcsC+csBsinC=sin2A，
即sin(B+C)=sin2A，在三角形中sin(B+C)=sinA，sinA>0，
所以sinA=1，因为A∈(0,π)，所以A=π2，即△ABC为直角三角形，所以A正确；
B中，三角形中，csA>csB，则A