2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知非零向量a，b，则a⊥b是|a+b|=|a−b|成立的条件．( )
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要
2.已知两个单位向量a和b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. bB. − 32bC. −12bD. 12a
3.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=2sin(ωt+φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(−2sin21>0，
所以f(−1)=−2sin21>−2，
因此f(−1)≤−2不成立，故不正确；
③：令y=f(x)=0，即2xsin2x=0，
所以x=0或sinx=0，
当x=0，显然成立，
当sinx=0时，x=kπ，k∈Z，
显然函数y=f(x)的图像与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，故正确；
④：2xsin2x=2x，解得x=0或sin2x=1，
当x=0，显然成立，
当sin2x=1时，x=kπ+π2，k∈Z，
π2−0=π2，3π2−π2=π，
显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，故不正确．
所以说法正确有①③．
故选：B．
根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可．
本题考查了函数的零点、正弦函数的性质，属于中档题．
5.【答案】(4,−3)
【解析】解：根据题意，点A(1,2)，B(5,−1)，
则向量AB=(4,−3)．
故答案为：(4,−3)．
根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得答案．
本题考查向量的坐标计算，涉及向量坐标的定义，属于基础题．
6.【答案】4
【解析】解：因为扇形的半径r=2，弧长l=4，
根据扇形的面积公式得，S=12lr=12×4×2=4．
故答案为：4．
利用扇形的面积计算公式即可得出．
本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．
7.【答案】[0,π]∪{2π}
【解析】解：因为函数y= sinx，
所以sinx≥0，
所以函数y= sinx在[0,2π]上的定义域为：[0,π]∪{2π}．
故答案为：[0,π]∪{2π}．
直接根据x满足的条件列不等式即可．
本题主要考查函数的定义域和正弦函数的性质应用，属于基础题．
8.【答案】−13
【解析】解：tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanα⋅tanπ4=−2+11−(−2)×1=−13．
故答案为：−13．
根据正切函数两角和公式直接运算即可．
本题主要考查了两角合的正切公式的应用，属于基础题．
9.【答案】12
【解析】解：a=(sinα,1)，b=(csα,2)，且a//b，
则2sinα=csα，解得tanα=12．
故答案为：12．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
10.【答案】 7
【解析】解：向量a，b的夹角150°，|a|= 3，|b|=4，
可得|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=( 3)2+42+2× 3×4×cs150°=3+16−12=7．
故|a+b|= 7．
故答案为： 7．
把所求平方，再代入已知条件即可求解结论．
本题主要考查向量的模长，考查计算能力，属于基础题．
11.【答案】y=cs2x
【解析】解：将函数y=sin(2x+π6)的图象向左平移π6个单位，所得函数y=sin[2(x+π6)+π6]=sin(2x+π2)=cs2x.的图象，所求函数的解析式为：y=cs2x．
故答案为：y=cs2x．
直接利用三角函数的平移变换法则，左加右减，写出结果即可．
本题考查三角函数的图象的变换，注意平移的方向以及x的系数，基本知识的考查．
12.【答案】3−4 310
【解析】解：设终边绕原点逆时针转过π3后角度为β
由题意可知，β=α+π3，
csα=35，
则sinα=45，
csβ=cs(α+π3)=csαcsπ3−sinαsinπ3=35×12−45× 32=3−4 310，
终边绕原点逆时针转过π3后交单位圆于P(x,y)，
则csβ=x1=x，即x=3−4 310．
故答案为：3−4 310．
根据已知条件，结合余弦的两角和公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查余弦的两角和公式，以及任意角的三角函数的定义，属于基础题．
13.【答案】78
【解析】解：如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则M( 22, 22),C(0, 2)，设P(x,0)，− 2≤x≤ 2，
则MP⋅CP=(x− 22,− 22)⋅(x,− 2)=(x− 22)x+1=x2− 22x+1，
当x= 24时，(MP⋅CP)min=( 24)2− 22× 24+1=78．
故答案为：78．
以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】π
【解析】解：由题意，M，N关于点(π2,0)对称，
∴|OM+ON|=2×π2=π，
故答案为π．
由题意，M，N关于点(π2,0)对称，即可求出|OM+ON|.
本题考查三角函数图象的对称性，考查向量知识的运用，确定M，N关于点(π2,0)对称是关键．
15.【答案】[2,+∞)
【解析】解：f(x)=cs2x+asinx=−sin2x+asinx+1，
设t=sinx∈[−1,1]，f(π2)=−1+a+1=a，
则g(t)=−t2+at+1=−(t−a2)2+1+a24，开口向下，对称轴t=a2，
(i)当a2∈[−1,1]，即a∈[−2,2]时，g(t)的最大值为1+a24≤a，解得a=2∈[−2,2]，
(ii)当a2>1时，即a>2时，g(t)在[−1,1]上单调递增，则g(t)max=g(1)=a，
由题意a≤a，显然恒成立，这时a的范围为(2,+∞)；
当a2