2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)= 1−2csx的定义域为( )
A. [−4π3+2kπ,π3+2kπ],k∈ZB. [π3+2kπ,5π3+2kπ],k∈Z
C. [π6+2kπ,5π6+2kπ],k∈ZD. [−π3+2kπ,π3+2kπ],k∈Z
2.函数f(x)=cs(2x+π2)是( )
A. 最小正周期为2π的奇函数B. 最小正周期为π的奇函数
C. 最小正周期为2π的偶函数D. 最小正周期为π的偶函数
3.定义平面向量的正弦积为a⋅b=|a||b|sin2θ，(其中θ为a、b的夹角)，已知△ABC中，AB⋅BC=BC⋅CA，则此三角形一定是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形
4.八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角.八边形可分为正八边形和非正八边形.如图所示，在边长为2正八边形ABCDEFGH中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则OA⋅PA+OF⋅PA的取值范围是( )
A. (−2 2,4+2 2)
B. (−4,4+2 2)
C. (−2,4)
D. (−4,4)
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知角α的终边与单位圆交于点P，若α=2π3，则点P的坐标是______．
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则csB= ______．
7.已知csx=−14,x∈[0,π]，则x= ______．
8.已知a=(1, 3)，a⋅b=2，b在a上的投影向量的坐标为______．
9.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(−2,5)、(1,4)，若点P满足AP=−2PB，则点P的坐标为______．
10.已知平面向量a=(1,λ)与b=(4,2)的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．
11.已知α∈(π2,π)，sinα=13，则sin(α+π6)= ______．
12.若函数f(x)=sin2x+acs2x，x∈R的图象关于x=−π6对称，则a=______．
13.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π.则f(x)的解析式为______．
14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为a2+b2−c24，c= 2，则该三角形的外接圆直径2R= ______．
15.如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点A走过的路程是______．
16.已知函数f(x)=|sin2x|+1，将f(x)的图象向左平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=a(a∈R)在[0,9π8]上有5个实数根，x1，x2，x3，x4，x5(x1三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知sinθ+2csθ=0．
(1)求csθ−sinθ2sinθ+csθ的值；
(2)求3sin2θ−2sinθcsθ的值．
18.(本小题8分)
已知向量a=(2,3),b=(1,x)．
(1)若a//(a−b)，求|b|；
(2)若a⊥(a+b)，求a与b的夹角．
19.(本小题10分)
某医院对发热门诊进行改造，如图，原发热门诊是区域ODBC，可利用部分为OAD，∠OCB=∠COA=π2，OC=30 3米，BC=30米，OBC为三角形，OAB为以OA为半径的扇形，且∠AOD=π6．
(1)若需在区域OABC外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；
(2)在OAD中，设置HGIF作为补充门诊，求补充门诊面积最大值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[−π3,π3]时，求f(x)的最值．
(3)当x∈[π6,5π6]时，关于x的不等式af(12x−π6)−f(x+π12)≥4有解，求实数a的取值范围．
21.(本小题14分)
已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)+1，其中ω>0．
(1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2)，|x1−x2|min=π2，求f(x)的对称中心；
(2)若2<ω<4，函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，x=π3是g(x)的一个零点，若函数g(x)在[m,n](m，n∈R且m(3)已知函数h(x)=acs(2x−π6)−2a(a<0)，在第(2)问条件下，若对任意为x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得h(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：函数f(x)= 1−2csx的意义，则1−2csx≥0，即csx≤12，解得π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ,k∈Z，
所以函数f(x)= 1−2csx的定义域为[π3+2kπ,5π3+2kπ],k∈Z．
故选：B．
根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得．
本题考查的知识点：函数的定义域，三角函数的不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=cs(2x+π2)=−sin2x
f(−x)=−sin(−2x)=sin2x=f(x)，T=2π2=π
∴函数f(x)为最小正周期为π的奇函数
故选：B．
先利用诱导公式将函数f(x)化为f(x)=−sin2x，再利用奇函数的定义和周期计算公式证明其为最小正周期为π的奇函数即可
本题主要考查了函数奇偶性的定义，三角函数的图象和性质，诱导公式的应用，属基础题
3.【答案】A
【解析】解：∵AB⋅BC=BC⋅CA，
∴casin2(π−B)=absin2(π−C)，
∴csin2B=bsin2C，
由正弦定理与二倍角的正弦得：2sinBcsBsinC=2sinCcsCsinB，
∵B、C均为△ABC的内角，
∴sinB>0，sinC>0，
∴csB=csC，
∴B=C，
∴此三角形一定是等腰三角形，
故选：A．
利用平面向量的正弦积可得csin2B=bsin2C，再利用正弦定理与二倍角的正弦可得csB=csC，从而可得答案．
本题考查三角形的形状判断，考查平面向量的正弦积的应用，突出考查正弦定理与二倍角公式，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：正八边形ABCDEFGH中，GF=2，∠FGH=135°，
所以∠AOF=135°，连接AF，过点O作OQ⊥AF，交GH、CD于点M、N，交AF于点Q，
设OF=x，△OFG中，由余弦定理得，x2+x2−2x⋅x⋅cs45°=GF2=4，
x2=42− 2=2(2+ 2)，
△OAF中，由余弦定理得，AF2=x2+x2−2x⋅x⋅cs135°=x2(2+ 2)=2(2+ 2)2=12+8 2，
所以OQ2=OF2−FQ2=2(2+ 2)−14(12+8 2)=1，解得OQ=1，
OM2=OG2−GM2=2(2+ 2)−12=3+2 2，解得OM= 2+1，
所以OA⋅PA+OF⋅PA=(OA+OF)⋅PA=2OQ⋅PA，
当P与M重合时，OA⋅PA+OF⋅PA取得最小值为2OQ⋅MQ=−2×1×( 2+1−1)=−2 2，
当P与N重合时，OA⋅PA+OF⋅PA取得最大值为2OQ⋅NQ=2×1×( 2+1+1)=2 2+4，
因为点P是其内部任意一点，所以OA⋅PA+OF⋅PA的取值范围是(−2 2,4+2 2).
故选：A．
根据正八边形ABCDEFGH的边长为2，求出外接圆的半径OF和内切圆的半径OM，再根据平面向量的数量积求出OA⋅PA+OF⋅PA的最小值和最大值，即可得出OA⋅PA+OF⋅PA的取值范围．
本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
5.【答案】(−12, 32)
【解析】解：由题意可得点P的坐标是(cs2π3,sin2π3)，即(−12, 32)．
故答案为：(−12, 32)．
根据三角函数的定义即可得解．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
6.【答案】1114
【解析】解：由题意a：b：c=3：5：7，
不妨令a=3t，t>0，
则b=5t，c=7t，
由余弦定理的推论得csB=a2+c2−b22ac=(3t)2+(7t)2−(5t)22×3t×7t=1114．
故答案为：1114．
利用余弦定理的推论即可求解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
7.【答案】π−arccs14
【解析】解：由csx=−14,x∈[0,π]，
可得x=π−arccs14．
故答案为：π−arccs14．
根据给定条件，利用反三角函数求出结果即可．
本题考查了反三角函数的应用，属于基础题．
8.【答案】(12, 32)
【解析】解：a=(1, 3)，a⋅b=2，
则|a|=2，
则b在a上的投影向量的坐标为：a⋅b|a|×a|a|=12a=(12, 32)．
故答案为：(12, 32)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
9.【答案】(4,3)
【解析】解：设P(x,y)，由点A、B的坐标分别为(−2,5)、(1,4)且点P满足AP=−2PB，
得(x+2,y−5)=−2(1−x,4−y)，得x+2=−2(1−x)y−5=−2(4−y)，解得x=4y=3，点P的坐标为(4,3)．
故答案为：(4,3)．
设P(x,y)，由点A、B的坐标分别为(−2,5)、(1,4)且点P满足AP=−2PB，利用坐标运算产生方程组可解决此题．
本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】{λ|λ>−2且λ≠12}
【解析】解：由题意知a⋅b=4+2λ>0，得λ>−2，
当〈a,b〉=0°时，14=λ2，得λ=12．
故答案为：{λ|λ>−2且λ≠12}.
因a,b夹角为锐角可知数量积大于0，但要去掉夹角为0的情况．
本题主要考查了向量夹角公式的应用，属于基础题．
11.【答案】 3−2 26
【解析】解：∵α∈(π2,π),sinα=13，
∴csα=− 1−sin2α=− 1−19=−2 23，
∴sin(α+π6)=sinαcsπ6+csαsinπ6=13× 32−2 23×12= 3−2 26．
故答案为： 3−2 26．
根据条件可求出csα的值，然后根据两角和的正弦公式即可得解．
本题考查了正余弦的平方关系，两角和的正弦公式，是基础题．
12.【答案】− 33
【解析】解：由三角函数的性质可知，函数的对称轴处取得函数的最值
∴f(−π6)=± 1+a2
∴− 32+12a=± 1+a2
∴a=− 33
故答案为：− 33
由三角函数的性质可知，函数的对称轴处取得函数的最值可得f(−π6)=± 1+a2，代入可求a
本题主要考查了三角函数的对称性的应用：对称轴处取得函数的最值，属于基础试题，但注意本题还有多种解法．
13.【答案】f(x)=2sin(2x−π3)
【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可知：A=2，
因为f(x)的34个最小正周期为34T=5π12−(−π3)=3π4，所以T=π，则ω=2πT=2，
根据五点法作图，得2×5π12+φ=π2，解得φ=−π3，适合|φ|<π，
所以f(x)=2sin(2x−π3)．
故答案为：f(x)=2sin(2x−π3)．
由函数图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】2
【解析】解：△ABC的面积为a2+b2−c24，
则2abcsC4=12absinC，即tanC=1，
0则C=π4，
c= 2，
则 2sinC=2R，解得2R=2．
故答案为：2．
根据已知条件，结合余弦定理，以及正弦定理，即可求解．
本题主要考查余弦定理，以及正弦定理，属于基础题．
15.【答案】76π+ 52π
【解析】解：第一次是以B为旋转中心，以BA= 22+1= 5为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是π2× 5= 52π．
第二次是以C为旋转中心，
以CA1=1为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是π2×1=π2．
第三次是以D为旋转中心，
以DA2=2为半径旋转60°，
此次点A走过的路径是π3×2=23π，
∴点A三次共走过的路径是 5π2+π2+2π3=76π+ 52π．
故答案为：76π+ 52π．
由弧长公式计算各段弧长，相加可得答案．
本题考查弧长公式，求出各段弧长的圆心角和半径是解决问题的关键，属基础题．
16.【答案】5π
【解析】解：由题意知，g(x)=|cs2x|+1，作出g(x)的图象以及y=a−1的图象，
y=a与g(x)的图象在[0,9π8]内有5个交点，这5交点的横坐标为方程g(x)=a在[0,9π8]内的5个实数根，
根据函数的对称性可知，x1+x2=π2，x2+x3=π，x3+x4=3π2，x4+x5=2π，
所以x1+2(x2+x3+x4)+x5=x1+x2+x2+x3+x3+x4+x4+x5=5π，
故答案为：5π．
由题意知g(x)=|cs2x|+1，y=a与g(x)的图象在[0,9π8]有5个交点，结合函数的对称性即可求解．
本题主要考查了三角函数图象的变换及函数对称性的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为sinθ+2csθ=0，即tanθ=−2，
csθ−sinθ2sinθ+csθ=1−tanθ2tanθ+1=1−(−2)2×(−2)+1=−1；
(2)3sin2θ−2sinθcsθ=3sin2θ−2sinθcsθsin2θ+cs2θ=3tan2θ−2tanθtan2θ+1=12+41+4=165．
【解析】(1)由已知结合同角基本关系进行化简即可求；
(2)由已知结合同角基本关系进行化简即可求．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)向量a=(2,3),b=(1,x)，则a−b=(1,3−x)，
由a//(a−b)，得2(3−x)=3，
解得x=32，即b=(1,32)，
所以|b|= 12+(32)2= 132．
(2)向量a=(2,3),b=(1,x)，则a+b=(3,3+x)，由a⊥(a+b)，得2×3+3(3+x)=0，
解得x=−5，则b=(1,−5)，a⋅b=2×1+3×(−5)=−13，而|a|= 13,|b|= 26，
因此cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−13 13× 26=− 22，而0≤〈a,b〉≤π，
所以a与b的夹角〈a,b〉=3π4．
【解析】(1)利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出x，再求出向量的模．
(2)利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出x，再求出向量夹角．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为OC=30 3，BC=30，∠OCB=π2，
所以tan∠BOC=BCOC=3030 3= 33，OA=OB= OC2+BC2=60，
因为∠BOC为锐角，所以∠BOC=π6，
因为∠COA=π2，所以∠BOA=π3，
所以弧AB的长为π3×60=20π，
所以隔离带的总长度为30 3+30+60+20π=90+30 3+20π(米)；
(2)连接OF，设∠FOA=θ(0<θ<π6)，
因为OF=60，所以FI=60sinθ=GH，OI=60csθ，
因为∠AOD=π6，所以OG=GHtanπ6=60 3sinθ，
所以GI=60csθ−60 3sinθ，
所以S=(60csθ−60 3sinθ)⋅60sinθ=3600sinθcsθ−3600 3sin2θ
=1800[sin2θ−3(1−cs2θ)]=1800[2sin(2θ+π3)− 3]，
因为2θ+π3∈(π3,2π3)，
所以S≤1800(2− 3)=3600−1800 3，
当θ=π12时，取得最大值，
所以补充门诊面积最大值为3600−1800 3(平方米)．

【解析】(1)在直角三角形OBC中由已知条件可求出∠BOC和OB，则可求得∠BOA，从而可求出弧的长，进而可求得结果；
(2)连接OF，设∠FOA=θ(0<θ<π6)，则结合已知条件表示出GI，GH，然后表示出矩形HGIF的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值．
本题考查三角函数在生活中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意，得函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x− 3=sin2x+ 3cs2x
=2(12sin2x+ 32cs2x)=2sin(2x+π3)，
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)．
(2)当x∈[−π3,π3]时，2x+π3∈[−π3,π]，所以sin(2x+π3)∈[− 32,1]，则f(x)∈[− 3,2]，
当2x+π3=−π3即x=−π3时，函数f(x)取得最小值为− 3；
当2x+π3=π2即x=π12时，函数f(x)取得最大值为2；
(3)由题意得x∈[π6,5π6]时，af(12x−π6)−f(x+π12)=2asinx−2cs2x≥4有解，
而此时sinx>0，即a≥2+cs2xsinx有解，只需要a≥(2+cs2xsinx)min即可，
2+cs2xsinx=3−2sin2xsinx=3sinx−2sinx，x∈[π6,5π6]，
令t=sinx,t∈[12,1]，则y=3t−2t在[12,1]上单调递减，
所以当t=1时，ymin=1，即(2+cs2xsinx)min=1，
所以{a|a≥1}．
【解析】(1)根据三角恒等变换化简f(x)的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
(2)由x∈[−π3,π3]，确定2x+π3∈[−π3,π]，结合正弦函数的最值，即可求得答案；
(3)化简af(12x−π6)−f(x+π12)≥4，参变分离，可得a≥(2+cs2xsinx)min，令t=sinx,t∈[12,1]，则求y=3t−2t在[12,1]上的最小值，即可求得答案．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1−x2|min=π2，所以f(x)的最小正周期是π，
即T=2π|2ω|=π，解得ω=±1，
又因为ω>0，所以ω=1，f(x)=2sin(2x+π6)+1，
令2x+π6=kπ,k∈Z，解得x=−π12+kπ2，k∈Z，
所以f(x)的对称中心为(−π12+kπ2,1)(k∈Z)；
(2)由题意知，g(x)=f(x−π6)=2sin[2ω(x−π6)+π6]+1=2sin(2ωx+1−2ω6π)+1，
又因为x=π3是g(x)的一个零点，所以g(π3)=2sin(2ω⋅π3+1−2ω6π)+1=2sin(π3ω+π6)+1=0，解得sin(π3ω+π6)=−12，
所以π3ω+π6=7π6+2kπ或π3ω+π6=11π6+2kπ，k∈Z；解得ω=3+6k或ω=5+6k，k∈Z；
又因为2<ω<4，所以ω=3，g(x)=2sin(6x−5π6)+1，g(x)的最小正周期为T=2π6=π3，
令g(x)=0，得sin(6x−5π6)=−12，解得x=π9+k13π(k1∈Z)或x=k23π(k2∈Z)，
若函数g(x)在[m,n]上恰好有8个零点，则3T要是n−m的值最小，应使m、n恰好是g(x)的零点，则n−m的最小值为3×π3+π9=10π9；
(3)由(2)知，g(x)=2sin(6x−5π6)+1，设h(x)在[0,π4]上的值域为A，g(x)在[0,π4]上的值域为B，
对任意为x1∈[0,π4]，存在x2∈[0,π4]，使得h(x1)=g(x2)成立，则A⊆B，
当x∈[0,π4]时，6x−5π6∈[−5π6,2π3]，sin(6x−5π6)∈[−1,1]，所以B∈[−1,3]，
当x∈[0,π4]时，2x−π6∈[−π6,π3]，cs(2x−π6)∈[12,1]，所以A∈[−a,−32a]，
由A⊆B，得−a≥−1−32a≤3，解得−2≤a≤1，又a<0，所以实数a的取值范围是[−2,0)．
【解析】(1)由题意求出f(x)的最小正周期，得出ω，再求f(x)的对称中心；
(2)根据函数图象平移得出g(x)的解析式，再根据函数零点求出ω和最小正周期，由此列出不等式组求出n−m的最小值；
(3)设h(x)在[0,π4]上的值域为A，g(x)在[0,π4]上的值域为B，由题意知A⊆B，由此列不等式组求解即可．
本题考查了三角函数与不等式的综合应用问题，也考查了数学运算和逻辑推理核心素养，是难题．