2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算2C75+3A52的值是( )
A. 72B. 102C. 507D. 510
2.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3⋅a9=4a52，a2=1，则a1=( )
A. 4B. 2C. 1D. 12
3.某校迎新晚会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为( )
A. 60B. 72C. 120D. 144
4.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=f′(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)−P(X=0)=0.4，则D(X)=( )
A. 0.21B. 0.3C. 0.4D. 0.7
6.(x−2 x)n的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有理项的项数是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
7.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是
( )
A. 420B. 180C. 64D. 25
8.已知实数a，b，c成公差非零的等差数列，集合A={(x,y)|ax+by+c=0}，P(−3,2)，N(2,3)，M∈A，若MP//(a,b)，则|MN|的最大值是( )
A. 4B. 5C. 4 2D. 5 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若P(A)=13，P(B)=12，P(B|A)=34，则下列说法正确的是( )
A. P(AB)=14B. 事件A与B相互独立
C. P(A∪B)=712D. P(A|B)=12
10.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，则( )
A. |AB|的最小值为2B. 以线段AF为直径的圆与y轴相切
C. 1|FA|+1|FB|=1D. OA⋅OB=0
11.若(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6，则下列等式正确的有( )
A. a0=1B. a3=160
C. a0+a2+a4+a6=365D. a1+2a2+3a3+⋯+6a6=12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．
13.设F1，F2为椭圆C：x25+y2=1的两个焦点，点P在椭圆C上，若PF1⋅PF2=0，则|PF1|⋅|PF2|= ______．
14.设函数f(x)=exx+a(x−1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点，则a2+b2的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”，乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：
(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺了”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=12x2−x−2lnx+12．
(1)求f(x)的最值；
(2)求曲线y=f(x)过点(0,2)的切线方程．
17.(本小题15分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如图)．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的20件产品中任取3件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的数学期望和方差．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点(3, 62)，右焦点为F(c,0)，且c2，a2，b2成等差数列．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点(P在Q的上方)，PQ的中点为M，M在直线l：x=2上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为k1，k2，证明：k1−k2S是定值．
19.(本小题17分)
已知函数y=f(x)的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在x0，使得f(x0)=f(x0+m)，则称函数y=f(x)在区间D上具有性质P(m)．
(1)判断函数f(x)=x2在区间[−1,1]上是否具有性质P(12)，并说明理由；
(2)若函数f(x)=sinx在区间(0,n)(n>0)上具有性质P(π4)，求n的取值范围；
(3)已知函数y=f(x)的图像是连续不断的曲线，且f(0)=f(2)，求证：函数y=f(x)在区间[0,2]上具有性质P(13).
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2C75+3A52=2C72+3A52=2×21+3×20=102．
故选：B．
利用排列数和组合数的定义求解．
本题考查排列数和组合数的计算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a3⋅a9=4a52，得a1q2⋅a1q8=4(a1q4)2，则q2=4，解得q=2，
又a2=1，所以a1=a2q=12．
故选：D．
设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a3⋅a9=4a52可得a1q2⋅a1q8=4(a1q4)2，从而求出q值后再根据a1=a2q即可求解．
本题考查等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：先将两个节目D，F捆绑成一个元素，与节目C，E进行全排列，
再将节相A，B插入四个空档中，所以共有A22A33A42=144种不同的结果．
故选：D．
排列问题中相邻元素用捆绑法，不相邻元素用插空法，求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：观察函数y=f(x)的图象知，
f(x)在(0,+∞)上是减函数，故y=f′(x)0，可得y1+y2=4m，y1y2=−4，
可得x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2，
|AB|=x1+x2+2=4(m2+1)，
对于选项A：因为|AB|=4(m2+1)≥4，当且仅当m=0时，等号成立，
所以|AB|的最小值为4，故A错误；
对于选项B：因为线段AF的中点为M(x1+12,y12),|AF|=x1+p2=x1+1，
则M到y轴的距离d=x1+12，以线段AF为直径的圆的半径为x1+12，
即圆心到y轴的距离等于该圆半径，故y轴与该圆相切，故B正确；
对于选项C：因为1|FA|+1|FB|=1x1+1+1x2+1=1my1+2+1my2+2
=m(y1+y2)+4m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4m2+4−4m2+8m2+4=4m2+44m2+4=1，
所以1|FA|+1|FB|=1，故C正确；
对于选项D：因为OA⋅OB=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=−4(m2+1)+4m2+1=−3≠0，故D错误．
故选：BC．
根据题意设直线l：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程可得y1+y2=4m，y1y2=−4，进而可得x1+x2=4m2+2,|AB|=4(m2+1)，根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析判断即可得．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，令x=−1，则a0=(−1)6=1，故A正确，
对于B，(2x+1)6=[−1+2(x+1)]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6，因此a3=23C63(−1)3=−160，故B错误，
对于C，令x=0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1，令x=−2，则a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=(−3)6，两式相加可得a0+a2+a4+a6=1+(−3)62=365，故C正确，
对于D，对(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6两边求导得12(2x+1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2⋯+6a6(x+1)5，
令x=0得a1+2a2+3a3+⋯+6a6=12，故D正确．
故选：ACD．
利用赋值法即可求解AC，求导后结合赋值法可判断D，利用通项的特征可判断B．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】−28
【解析】解：由已知可得(1−yx)(x+y)8=(x+y)8−yx(x+y)8，
所以由二项式定理可得多项式(1−yx)(x+y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6−yxC85x3y5=−28x2y6，
(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为−28．
故答案为：−28．
化简已知关系式为：(1−yx)(x+y)8=(x+y)8−yx(x+y)8，然后根据二项式定理求出展开式中含x2y6的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：已知点P在椭圆C上，且PF1⋅PF2=0，可得∠F1PF2=π2，
又由椭圆C：x25+y2=1，得c2=5−1=4，
|PF1|+|PF2|=2a=2 5，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=20，
而|PF1|2+|PF2|2=4c2=16，可得|PF1|⋅|PF2|=2．
故答案为：2．
由已知可得∠F1PF2=π2，再由椭圆的标准方程和定义得|PF1|+|PF2|=2 5，结合勾股定理即可求解|PF1|⋅|PF2|的值．
本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与椭圆定义的应用，是基础题．
14.【答案】e48
【解析】解：设t为函数f(x)在区间[1,3]上的零点，
∵函数f(x)=exx+a(x−1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点，
∴ett+a(t−1)+b=0，即(t−1)a+b+ett=0，
∴点P(a,b)是直线(t−1)x+y+ett=0上的点，
∴ a2+b2≥|ett| (t−1)2+1，化为：a2+b2≥e2tt4−2t3+2t2，
令g(t)=e2tt4−2t3+2t2，t∈[1,3]，
则g′(x)=2e2t(t3−4t2+5t−2)t(t3−2t2+2t)2=2e2t(t−2)(t2−2t+2)t(t3−2t2+2t)2，
∵t2−2t+2=(t−1)2+2>0，
∴函数g(t)在[1,2)上单调递减．在(2,3]上单调递增．
∴t=2时，函数g(t)取得极小值即最小值，g(2)=e48，
∴a2+b2≥e48，.
则a2+b2的最小值为e48．
故答案为：e48．
设t为函数f(x)在区间[1,3]上的零点，由函数f(x)=exx+a(x−1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点，ett+a(t−1)+b=0，即(t−1)a+b+ett=0，点P(a,b)是直线(t−1)x+y+ett=0上的点，可得 a2+b2≥|ett| (t−1)2+1，化为：a2+b2≥e2tt4−2t3+2t2，令g(t)=e2tt4−2t3+2t2，t∈[1,3]，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、点到直线的距离公式、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15.【答案】解：(1)设事件A=“取出饺子是肉馅”，P(A)=310，
(2)设事件B=“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件C=“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，
P(C|B)=P(BC)P(B)=310×29310=29
(3)设事件D=“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”．
设事件A1，A2，A3分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，
P(D)=P(A1)P(D|A1)+P(A2)P(D|A2)+P(A3)P(D|A3)
=310×411+210×311+510×311=310
【解析】(1)利用古典概型求解；
(2)利用条件概率求解；
(3)利用全概率求解．
本题考查古典概型、条件概率、全概率相关公式，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由已知可得，f(x)的定义域为(0,+∞)，
且f′(x)=x−1−2x=(x+1)(x−2)x．
当00在(0,+∞)上恒成立，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增．
又g(1)=1+0−1=0，所以g(x)存在唯一解x=1．
所以x02−1=−4lnx0的解为x0=1，切点A(1,0)，
此时斜率为k=f′(1)=−2，
切线方程为y=−2(x−1)，整理可得切线方程为2x+y−2=0．
【解析】(1)求出函数的定义域，得出导函数f′(x)，根据导函数得出函数的单调性，即可得出答案；
(2)设切点为A(x0,y0)，根据导数的几何意义得出斜率k=x0−2x0−1.根据已知结合斜率的公式即可得出k=y0−2x0.联立得出方程，求出方程的根，得出切点坐标以及斜率，代入点斜式方程，即可得出答案．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3，
所以质量超过505克的产品数量为20×0.3=6(件)；
(2)重量超过505的产品数量为6件，则重量未超过505克的产品数量为14件，
X的取值可能为0，1，2，3，X服从超几何分布，
P(X=0)=C143C203=3641140=91285,P(X=1)=C61C142C203=6×911140=91190，
P(X=2)=C62C141C203=15×141140=35190,P(X=3)=C63C203=201140=157，
故X的分布列为：
(3)由质量超过505克的产品的频率为0.3，
故可估计从该流水线上任取1件产品质量超过505克的产品的概率为0.3，
从流水线上任取5件产品互不影响，该问题可看成5次独立重复试验，
即Y～B(5,0.3)，
则E(Y)=5×0.3=1.5，D(Y)=5×0.3×(1−0.3)=1.05．
【解析】(1)结合频率分布直方图计算即可得；
(2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列即可得；
(3)先分析Y服从二项分布，再利用二项分布期望与方差的公式求解即可得．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望、方差的计算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为c2，a2，b2成等差数列，所以2a2=c2+b2，
又c2=a2+b2，所以a2=2b2．
将点(3, 62)的坐标代入C的方程得92b2−64b2=1，解得b2=3，
所以a2=6，所以C的方程为x26−y23=1．
(2)证明：依题意可设PQ：x=my+3，
由x=my+3x26−y23=1，得(m2−2)y2+6my+3=0，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，y1>y2，则y1+y2=−6mm2−2y1y2=3m2−2．
M(x1+x22,y1+y22)，N(2,y1+y22)，
则k1−k2=kPN−kQN=y1−y22x1−2−y2−y12x2−2=y1−y22my1+1−y2−y12my2+1=(y1−y2)[m(y1+y2)+2]2[m2y1y2+m(y1+y2)+1]，
而S=12|OF|⋅(y1−y2)=32(y1−y2)，
所以k1−k2S=m(y1+y2)+23[m2y1y2+m(y1+y2)+1]=−6m2m2−2+23(3m2m2−2+−6m2m2−2+1)=−4m2−4−6m2−6=23，
所以k1−k2S是定值．
【解析】(1)根据题意和c2=a2+b2可得a2=2b2，然后根据点(3, 62)在双曲线上即可求解；
(2)依题意可设PQ：x=my+3，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到(m2−2)y2+6my+3=0，利用韦达定理和已知条件求出k1−k2的表达式，然后求出k1−k2S的表达式，化简即可求证．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=x2在区间[−1,1]上具有性质P(12)，
若x02=(x0+12)2，则x0=−14，
因为−14∈[−1,1]，且−14+12=14∈[−1,1]，
所以函数f(x)=x2在区间[−1,1]上具有性质P(12).
(2)由题意，存在x0∈(0,n)，使得sinx0=sin(x0+π4)，
由正弦线的定义得x0+π4=x0+2kπ(舍)或x0+π4=2kπ+π−x0(k∈Z)，
则得x0=kπ+3π8，
因为x0=kπ+3π8>0，所以k∈N，
又因为x0=kπ+3π8∈(0,n)且x0+π4=kπ+5π8∈(0,n)(k∈N)，
所以n>5π8，即所求n的取值范围是(5π8,+∞)．
证明：(3)设g(x)=f(x)−f(x+13)，x∈[0,53]，
则有g(0)=f(0)−f(13)，g(13)=f(13)−f(23)，g(23)=f(23)−f(1)，…，g(k−13)=f(k−13)−f(k3)，…，g(53)=f(53)−f(2)，(k∈{1,2,3,…,6})，
以上各式相加得g(0)+g(13)+…+g(k−13)+…+g(53)=f(2)−f(0)，
即g(0)+g(13)+…+g(k−13)+…+g(53)=0，
(i)当g(0)、g(13)、…、g(n−13)、…、g(53)中有一个为0时，不妨设g(i−13)=0，i∈{1,2,3,…,6}，
即g(i−13)=f(i−13)−f(i3)=0，即f(i−13)=f(i−13+13)，i∈{1,2,3,…,6}，
所以函数y=f(x)在区间[0,2]上具有性质P(13).
(ii)当g(0)、g(13)、…、g(n−13)、…、g(53)中均不为0时，由于其和为0，
则其中必存在整数和负数，不妨设g(i−13)>0，g(j−13)