2023-2024学年广东省东莞实验中学高二（下）月考数学试卷（一）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞实验中学高二（下）月考数学试卷（一）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算C72=( )
A. 42B. 21C. 14D. 7
2.函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的( )
A. f(x)在(−3,1)上单调递增
B. f(x)在(1,3)上单调递减
C. f(x)在(2,4)上单调递减
D. f(x)在(3,+∞)上单调递增
3.抛物线x2=4y在点(2,1)处的切线的斜率为( )
A. −1B. −12C. 12D. 1
4.用2，3，4，5，7这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有( )
A. 120个B. 72个C. 60个D. 48个
5.函数y=ln|x|x的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.如图，有两串桃子挂在树枝上，其中一串有4个桃子，另外一串有3个桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一个桃子，直至把所有7个桃子全部摘完，共有种不同的摘法．( )
A. 70
B. 35
C. 21
D. 14
7.将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有2个小球与所在盒子编号相同，则有种不同的放球方法．( )
A. 60B. 40C. 30D. 20
8.设函数f(x)=lnxx，若关于x的不等式f(x)>ax有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为( )
A. (ln39,ln24]B. [ln39,ln24)C. (ln24,12e]D. [ln24,12e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. (1−x3)′=1−3x2B. (xlnx)′=lnx−1(lnx)2
C. (1x)′=−1x2D. [cs(−x)]′=sinx
10.2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取A，B，C，D，E这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是( )
A. A，B都在后3天介绍的方法种数为36
B. A，B相隔一天介绍的方法种数为36
C. A不在第一天，B不在最后一天介绍的方法种数为72
D. A在B，C之前介绍的方法种数为40
11.已知函数f(x)=|x−3|ex+a−1，则下列选项正确的是( )
A. y=f(x)在(2,3)上单调递增
B. y=f(x)恰有一个极大值
C. 当a>1时，f(x)=0无实数解
D. 当a=1时，f(f(x))=0有三个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(1)x+ex，则f′(1)= ______．
13.某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有______种.
14.牛顿法求函数y=f(x)零点的操作过程是：先在x轴找初始点P1(x1,0)，然后作y=f(x)在点Q1(x1,f(x1))处切线，切线与x轴交于点P2(x2,0)，再作y=f(x)在点Q2(x2,f(x2))处切线，切线与x轴交于点P3(x3,0)，再作y=f(x)在点Q3(x3,f(x3))处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.设函数f(x)=2x，初始点为P1(0,0)，若按上述过程操作，则所得的第n个△PnQnPn+1的面积为______.(用含有n的代数式表示)
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=13x3−2ax2+3x(a为常数)，曲线y=f(x)在点A(−1,f(−1))处的切线平行于直线y=8x−7．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=32n2+12n(n∈N,n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A2(2,0)，离心率为12．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左焦点和左顶点分别为F和A1，过点F的直线与C交于M，N两点，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=lnx+a(x−1)(x−2)，其中a为实数．
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在定义域内有两个不同的极值点，求a的取值范围；
(3)设f(x)的两个不同的极值点为x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)>59+ln916．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由组合数的定义知C72=7!2!⋅(7−2)!=7×62=21．
故选：B．
直接利用组合数的定义求解．
本题考查组合数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：当−3当00，f(x)单调递增，
当2当x>4时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故选：C．
由已知结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得，曲线x2=4y，即：y=14x2，
且f′(x)=12x，则f′(2)=12×2=1，
∴曲线x2=4y在点P(2,1)处的切线斜率k=1．
故选：D．
先由解析式求出f′(x)，再求出f′(2)的值，即可得到结果．
本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题可知，不同的偶数共有C21A44=48个．
故选：D．
利用分步乘法计数原理可得答案．
本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：f(−x)=ln|−x|−x=−f(x)，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除AB，
由f(x)=0得ln|x|=0，得x=1或x=−1，当x>1时，f(x)>0，排除D，
故选：C．
先判断函数的奇偶性，利用当x>1的f(x)>0，进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：如果将7个桃子全排列有A77种方法，
但根据题意要摘的两列桃子顺序分别为1−2−3−4和5−6−7，
所以共有A77A44A33=35种方法，
故B正确．
故选：B．
利用倍缩法解决定序问题及摘的两列桃子顺序为1−2−3−4和5−6−7，从而可求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：如果有2个小球与所在的盒子的编号相同，
第一步：先从5个小球里选2个编号与所在的盒子相同，有C52=10种选法；
第二步：不妨设选的是1、2号球，则再对后面的3，4，5进行排列，
且3个小球的编号与盒子的编号都不相同，则有(5,3,4)，(4,5,3)两种，
所以有2个小球与所在的盒子的编号相同，共有10×2=20种方法，故D正确．
故选：D．
利用分步乘法原理，分步求出恰有2个小球与所在盒子编号相同的方法总数即可得解．
本题考查排列组合的应用，计数原理的应用，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵f(x)>ax只有一个整数解，即a令g(x)=lnxx2，则g(x)的图象在直线y=a的上方只有一个整数解．
作出g(x)的图象，
由图象可知a的取值范围为g(3)≤a即ln39≤a故选：B．
根据不等式f(x)>ax.分离参数，数形结合即可求解；
本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，(1−x3)′=−3x2，选项A错误；
对于B，(xlnx)′=lnx−1(lnx)2，选项B正确；
对于C，(1x)′=−1x2，选项C正确；
对于D，[cs(−x)]′=[csx]′=−sinx，选项D错误．
故选：BC．
根据函数的导数公式，结合导数的运算法则和复合函数求导法则，分别进行判断即可．
本题考查了导数公式与导数的运算法则和复合函数求导法则应用问题，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若A，B都在后3天介绍，在后3天中任选2天，安排介绍A、B，剩下3天任意安排即可，
有A32A33=36种介绍方法，A正确；
对于B，若A，B相隔一天介绍，在C、D、E中任选1个，安排在A、B中间，再将其与A、B看成一个整体，有C31A22=6种情况，
再将整个整体与剩下的2个全排列，有A33=6种情况，则有6×6=36种介绍方法，B正确；
对于C，分2种情况讨论：若A在最后一天介绍，有A44=24种介绍方法，
若A不在最后一天介绍，有C31C31A33=54种介绍方法，
则有24+54=78种介绍方法，C错误；
对于D，先将A安排在B、C之前，有2种情况，
将D插在A、B、C中，有4种安排方法，
最后将E插在A、B、C、D中，有5种安排方法，
则有2×4×5=20种安排方法，D正确．
故选：ABD．
根据题意，依次分析选项：对于A，在后3天中任选2天，安排介绍A、B，剩下3天任意安排即可，由分步计数原理分析可得A正确；对于B，先在C、D、E中任选1个，安排在A、B中间，再将其与A、B看成一个整体，最后将整个整体与剩下的2个全排列，由分步计数原理分析可得B正确；对于C，按A是否在最后一天介绍分2种情况讨论，由加法原理分析可得C错误，对于D，先将A安排在B、C之前，再分析D、E的安排方法，由分步计数原理分析可得D正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当x<3时，f(x)=(3−x)ex+a−1，f′(x)=(2−x)ex，当x<2时，f′(x)>0，当23时，f(x)=(x−3)ex+a−1，f′(x)=(x−2)ex>0，f(x)在(3,+∞)上单调递增，A错误；
对于B，由以上讨论知x=2是f(x)的极大值点，B正确；
对于C，当a>1时，a−1>0，f(2)=e2+a−1>0，f(3)=a−1>0，当x<2时，f(x)=|x−3|ex+a−1>a−1>0，所以当a>1时，f(x)=0无实数解，C正确；
对于D，当a=1时，f(x)=|x−3|ex，由以上讨论知当f(t)=0时，t=3.而f(2)=e2>3，f(3)=0<3，作出f(x)的大致图象如图所示．如图可知，f(x)=3有三个实数解，所以f(f(x))=0有三个实数解，D正确．
故选：BCD．
分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断AB，利用极值判断方程的实根个数判断C，利用数形结合思想判断D．
本题主要考查用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】−e
【解析】解：由题意得f(x)=2f′(1)x+ex，
则f′(x)=2f′(1)+ex，
令x=1，得f′(1)=2f′(1)+e，
解得f′(1)=−e．
故答案为：−e．
由求导计算公式求出f′(1)，从而可求解．
本题考查了导数的定义与运算问题，是基础题．
13.【答案】60
【解析】解：根据题意，凉菜可四选二，不可同款，有C42=6种选法，
饮品选择两杯，可以同款，有C42+C41=10种选法，
则有6×10=60种选法．
故答案为：60．
根据题意，分别计算凉菜和饮品的选法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】lg4een−1
【解析】解：设Pn(xn,0)，则Qn(xn,f(xn))，
因为f(x)=2x，所以f′(x)=2xln2，如图，
则Qn(xn,f(xn))处切线为y=2xnln2(x−xn)+2xn，
切线与x轴相交得Pn+1(xn+1,0)，
则xn+1−xn=−1ln2，
所以xn=(xn−xn−1)+(xn−1−xn−2)+...+(x3−x2)+(x2−x1)，因为x1=0，
所以xn=−n−1ln2，
所以P1P2=P2P3=⋯=PnPn+1=1ln2，
f(xn)=2−n−1ln2=(2−lg2e)n−1=1en−1，
所以S△PnQnPn+1=12×1ln2×1en−1=lg4een−1．
故答案为：lg4een−1．
导数求切点处切线的方程，得xn+1−xn=−1ln2，P1P2=P2P3=⋯=PnPn+1=1ln2，f(xn)=1en−1，表示出S△PnQnPn+1=12×1ln2×1en−1，从而可求解．
本题考查了数列与函数的综合运用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由f(x)=13x3−2ax2+3x，得f′(x)=x2−4ax+3，
∵在点A(−1,f(−1))处的切线平行于直线y=8x−7，
∴f′(1)=4a+4=8，∴a=1．
(2)由(1)，可得f′(x)=x2−4x+3，令f′(x)=0，解得x=3或x=1，
f(x)和f′(x)随着x的变化情况如下表所示．
∴f(x)的极大值为f(1)=43，极小值为f(3)=0．
【解析】(1)对f(x)求导，求出切线的斜率f′(1)，再结合条件求出a的值；
(2)由(1)，可得f′(x)=x2−4x+3，令f′(x)<0，求出单调递减区间，令f′(x)>0，求出单调递增区间，再根据极值的定义求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属中档题．
16.【答案】解：(1)∵n≥1且n∈N，有Sn=32n2+12n，
∴当n∈N，n≥2时，有Sn−1=32(n−1)2+12(n−1)，
两式相减得an=32n2+12n−[32(n−1)2+12(n−1)]=3n−1．
当n=1时，由Sn=32n2+12n⇒a1=2适合an=3n−1，
所以an=3n−1；
(2)由(1)知，bn=1anan+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，
所以Tn=13(12−15+15−18+...+13n−1−13n+2)=13(12−13n+2)=n6n+4．
【解析】(1)由数列的通项与前n项和的关系，化简可得所求；
(2)由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】(1)解：依题意可得：e=ca=12，
又A2(2,0)，则a=2，所以c=1，
所以b= a2−c2= 4−1= 3，
所以椭圆C的标准方程为：x24+y23=1；
(2)证明：由(1)得F(−1,0)，
设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由x24+y23=1y=k(x+1)，可得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0，
显然Δ>0，
所以x1+x2=−8k23+4k2=−2+63+4k2，x1x2=4k2−123+4k2=1−153+4k2，
故x1x2=−52(x1+x2)−4，
由题意可得A1(−2,0)，A2(2,0)，
则直线A1M的方程为y=y1x1+2(x+2)，
直线A2N的方程为y=y2x2−2(x−2)．
设直线A1M与A2N的交点坐标为P(x0,y0)，
则y1x1+2(x0+2)=y2x2−2(x0−2)，
故x0+2x0−2=y2(x1+2)y1(x2−2)=k(x1+2)(x2+1)k(x2−2)(x1+1)=x1x2+x1+2x2+2x1x2−2x1+x2−2
=−52(x1+x2)−4+x1+2x2+2−52(x1+x2)−4−2x1+x2−2=−3x1−x2−4−9x1−3x2−12=13，
解得x0=−4．
故直线A1M与A2N的交点在直线x=−4上．
【解析】(1)由椭圆几何性质可求a、b、c的值；
(2)联立直线与椭圆方程，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得两根之和及两根之积，即可得到直线A1M、A2N的方程，设直线与的交点坐标为P(x0,y0)，求出x0，即可得解．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=1时，f′(x)=1x+(2x−3)=2x2−3x+1x，
令f′(x)=2x2−3x+1x=0，得x=12或x=1，
x∈(0,12)∪(1,+∞)时，f′(x)>0，x∈(12,1)时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间为(0,12),(1,+∞)，单调递减区间为(12,1)．
(2)对f(x)求导得f′(x)=2ax2−3ax+1x，
由f(x)在(0,+∞)上有两个不同的极值点x1，x2，
故2ax2−3ax+1=0有两个不同的正根，则有2a≠0x1+x2=32>0x1x2=12a>0Δ=9a2−8a>0，解得a>89，
所以a的范围为(89,+∞)．
证明：(3)由(2)可知：因为f(x1)+f(x2)=ln(x1x2)+a(x12+x22)−3a(x1+x2)+4a
=ln(x1x2)+a[(x1+x2)2−2x1x2]−3a(x1+x2)+4a=−ln(2a)+74a−1，
设g(a)=−ln(2a)+74a−1，a>89，
则g′(a)=74−1a=7a−44a>0，故g(a)在(89,+∞)上单调递增，
又g(a)>g(89)=−ln169+59=59+ln916，
故f(x1)+f(x2)>59+ln916．
【解析】(1)求出原函数的导数，结合导数性质即可得其单调区间；
(2)由题意可得x1，x2是函数f(x)的导数的两个不同零点，即可利用韦达定理结合题意得到a的范围．
(3)由(2)中结论，将f(x1)+f(x2)中的变量x1，x2替换成a，再借助导数研究其单调性即可得证．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值及证明不等式，属于中档题．x
(−∞,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗