2023-2024学年河南省开封市五校（杞县高中等）高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省开封市五校（杞县高中等）高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简ME+EN−PN=( )
A. MPB. MNC. NMD. PM
2.i2023−i2024=( )
A. 1+ 2iB. 1− 2iC. −1−iD. 1−i
3.不等式(x−2)(1−2x)⩾0的解集为( )
A. {x|x>12}B. {x|12⩽x⩽2}
C. {x|x⩽12或x⩾2}D. {x|x⩽12}
4.下列四个函数中，在(0,+∞)上为增函数的是( )
A. f(x)=3−xB. f(x)=x2+xC. f(x)=−|x|D. f(x)=−3x−1
5.如图所示，在直角坐标系中，已知A(1,0)，B(−1,2)，C(−1,0)，D(1,−2)，则四边形ABCD的直观图面积为( )
A. 4 2
B. 3 2
C. 2 2
D. 2
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|0时，f(x)=−|x|=−x，函数单调递减，故C不正确；
对于D，f(x)=−3x−1，由y=−3x向右平移1个单位变换得到，
所以f(x)=−3x−1在区间(0,1)和(1,+∞)上单调递增，故D不正确．
故选：B．
根据基本函数的解析式直接判断单调性即可．
本题考查函数单调性的性质与判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：依题意，由于A(1,0)，B(−1,2)，C(−1,0)，D(1,−2)，
则四边形ABCD是平行四边形，AC=BC=2，BC/​/AD，且AD与BC之间的距离d=2，
则▱ABCD的面积S=2×2=4，
则四边形ABCD的直观图面积S′= 24S= 2．
故选：D．
根据题意，由A、B、C、D的坐标可得四边形ABCD是平行四边形，进而求出其面积，由直观图面积与原图面积的关系分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法与应用问题，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由图知，T=π，则ω=2ππ=2．
由图知，f(x)在x=π6取得最大值，且图象经过(−π12,0)，
故f(−π12)=Asin(−π6+φ)=0，
所以−π6+φ=2kπ,k∈Z，故φ=π6+2kπ,k∈Z，
又因为|φ|0，解得a= 63．
所以sinB= 33,a= 63．
(2)由(1)知，a= 63,sinC= 63，
所以△ABC的面积S△ABC=12absinC=12× 63× 2× 63= 23．
【解析】(1)根据同角的三角函数关系求出sinC，结合正、余弦定理计算即可求解；
(2)由(1)，结合三角形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)过C作CF/​/AB交AD于F，如图所示：
因为CB=12DA，所以DA/​/BC，DA=2BC，
则四边形ABCF是平行四边形，故DA=2BC=2AF，即F是AD的中点，
所以BE=12BA=12CF=12DF−12DC=14DA−12DC，
因为DP=λDC，所以PC=(1−λ)DC，
所以PE=PC+CB+BE=(1−λ)DC+12DA+14DA−12DC=(12−λ)DC+34DA，
又因为PE=34DA+14DC，
所以12−λ=14，解得λ=14，
所以P在线段DC上靠近D点的四等分点处；
(2)因为DP=λDC(λ≠0)，所以PC=PD+DC=−λDC+DC=(1−λ)DC，
所以PE=PC+CB+BE=(1−λ)DC+12DA+14DA−12DC=(12−λ)DC+34DA，
因为DC⋅DA=2tcsπ3=t，DC2=t2，DA2=4，
所以PE2=(12−λ)2t2+94+32(12−λ)t=[(12−λ)t+34]2+2716，
所以当(12−λ)t=−34，即λ=12+34t时，PE2取得最小值2716．
所以|PE|的最小值为3 34，此时λ=12+34t．
【解析】(1)结合图形，先证得四边形ABCF是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点P在线段DC上的位置；
(2)结合(1)中的结论，得到PE关于λ的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到PE2关于λ的二次表达式，从而可求得|PE|最小以及相应λ的值．
本题考查了平面向量的线性运算与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)易知f(x)的定义域为R，对∀x∈R，都有−x∈R，
因为f(x)=lg2(4x+12+2)+(12x−a)2是偶函数，
所以f(x)−f(−x)=lg24(4x+12+2)−lg2(4−x+12+2)−2ax=lg24x+12+2412−x+2−2ax=lg21+4x1+4−x−2ax=(2−2a)x=0，
所以a=1；
证明：(2)因为a=1，f(x)=1+lg2(4x+1)+(12x−1)2=lg2(2x+2−x)+14x2+2x，
设x1>x2>0，
则f(x1)−f(x2)=lg22x1+2−x12x2+2−x2+(x1+x2)(x1−x2)4，
又2x1+2−x1−(2x2+2−x2)=2x1−2x2+2x2−2x12x1+x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2，
因为x1>x2>0，所以2x1−2x2>0，2x1+x2>1，2x1+x2−1>0，
所以(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x22x1>0，
所以2x1+2−x1>2x2−2−x2>0，2x1+2−x12x2+2>1，lg22x1+2−x12x2+2>0，
又14(x1+x2)(x1−x2)>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
解：(3)因为f(x)是偶函数，
所以f(−csα)=f(csα)=f(tanα)，
因为α为锐角，所以csα>0，tanα>0，
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又csα=tanα=sinαcsα，
所以sinα=cs2α=1−sin2α，sinα+sin2α=1，
所以cs2α+cs4α=sinα+sin2α=1．
【解析】(1)根据偶函数的定义可得f(x)−f(−x)=0，列方程求a的值；(2)根据单调性的定义证明结论；(3)结合偶函数和单调性的性质可得csα=tanα，结合同角三角函数关系证明结论．
本题主要考查了偶函数定义的应用，还考查了函数单调性定义的应用，同角基本关系的应用，属于中档题．