2023-2024学年福建省厦泉五校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦泉五校联考高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z=5+3i1+i(其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，c=(−1,1)，若(2a+b)⊥c，则m=( )
A. 13B. 3C. 15D. 5
3.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若ED=xAB+yAD(x,y∈R)，则x−y等于( )
A. 1B. −1C. 12D. −12
4.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是 6，则该棱台的体积是( )
A. 563B. 583C. 20D. 21
5.若向量a=(x,2)，b=(2,3)，c=(2,−4)，且a/​/c，则a在b上的投影向量为( )
A. (813,1213)B. (−813,1213)C. (8,12)D. 4 1313
6.在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则sinA=( )
A. 310B. 1010C. 55D. 3 1010
7.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )
A. 26B. 36C. 23D. 22
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin(A+C)=2Sb2−c2，则tanC+12tan(B−C)的最小值为( )
A. 2B. 2C. 1D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零向量a,b，下列命题正确的是( )
A. 若a⋅b=0，则a//b
B. 若a⊥b，则a⋅b=(a⋅b)2
C. 若a⋅c=b⋅c，则a=b
D. 若|a−b|=|a+b|，则a⋅b=0
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A. 直线A1C1与AD1为异面直线
B. A1C1/​/平面ACD1
C. 正方体的外接球的表面积为12π
D. 三棱锥D1−ADC的体积为83
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2，A=π3.若△ABC有唯一解，则a的值可以是( )
A. 1B. 3C. 2D. 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 2,|2a−b|= 2，则a与b的夹角为______．
13.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的高度BC为______ m．
14.在《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2 2，则当堑堵ABC−A1B1C1的体积最大时，阳马B−A1ACC1的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=a2+2ai(a∈R)，复数z2在复平面内对应的向量为OA=(−1,2)．
(1)若z1+z2为纯虚数，求a的值；
(2)若z1i−z2在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC．
(1)求B的大小；
(2)若a=3，且S△ABC=15 34，BD是AC边的中线，求BD的长度．
17.(本小题15分)
如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，∠D=90°，且|BO|=|AD|=1．
(Ⅰ)用OA,OB表示CB；
(Ⅱ)点P在线段AB上，且AB=3AP，求cs∠PCB的值．
18.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC/​/平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(Ⅰ)求证：BC/​/AD；
(Ⅱ)求证：CE/​/平面PAB；
(Ⅲ)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN/​/平面PAB？说明理由．
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c−a=2bcsA，b=3．
(1)求B的大小；
(2)若a= 3，求△ABC的面积；
(3)求aca+c的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：∵z=5+3i1+i=(5+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−i，
∴复数z对应的点为(4,−1)，位于第四象限．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题．
利用向量垂直的坐标表示求解即可．
【解答】
解：∵a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，
∴2a+b=(2m+1,3m−2)，
∵c=(−1,1)，(2a+b)⊥c，
∴(2a+b)⋅c=−2m−1+3m−2=0，
∴m=3．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面向量基本定理以及向量的加减运算，属于基础题．
根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可．
【解答】
解：由题意知ED=EA+AD=−14AC+AD
=−14(AB+AD)+AD=−14AB+34AD，
因为ED=xAB+yAD(x,y∈R)，
所以x=−14,y=34,x−y=−1．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查棱台的结构特征，棱台的体积公式等知识，属于基础题
首先求得棱台的高度，然后利用体积公式求得其体积即可．
【解答】
解：由棱台的几何特征可得其高度为：h= ( 6)2−[12(4 2−2 2)]2=2，
则其体积：V=13×(22+42+ 22×42)×2=563．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：因为a/​/c，
所以x2=2−4，解得x=−1，
所以a=(−1,2)，
又b=(2,3)，
所以b|b|=1 13(2,3)，
cs=a⋅b|a||b|=−2+6 5× 13=4 65，
所以a在b上的投影向量为|a|cs⋅b|b|= 5×4 65×1 13(2,3)=413(2,3)=(813,1213).
故选：A．
根据投影向量的定义进行计算．
本题考查了向量的运算，投影向量，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中等题．
通过三角形面积公式得到c= 23a，再利用余弦定理得到b= 53a，再结合正弦定理可得sinA．
【解答】
解：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC=12a⋅13a=12acsinB，
∴c= 23a．
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB
=a2+29a2−2×a× 23a× 22
=59a2，
∴b= 53a．
由正弦定理得sinA=a⋅sinBb=3 1010．
故选D．
7.【答案】A
【解析】解：设球心为O，过A，B，C三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC，
因为CO1=23× 32= 33，
所以OO1= 12−( 33)2= 63，
故高SD=2OO1=2 63，
因为△ABC是边长为1的正三角形，
所以S△ABC= 34，
故VS−ABC=13× 34×2 63= 26．
故选：A．
设球心为O，过A，B，C三点的小圆的圆心为O1，延长CO1交球于点D，利用边角关系求解三棱锥的高，求出底面三角形的面积，由三棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了空间几何体的体积，棱锥体积公式的应用，棱锥的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形面积的计算公式、正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用正弦定理和余弦定理化简，求出sin(B−C)=sinC，可得tan(B−C)=tanC，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：由sin(A+C)=2Sb2−c2，得sinB=2Sb2−c2=acsinBb2−c2，
所以b2=c2+ac，由b2=a2+c2−2accsB，得a−2ccsB=c，
利用正弦定理sinA−2sinCcsB=sinC，
sinBcsC+csBsinC−2sinCcsB=sinBcsC−csBsinC=sinC，
即sin(B−C)=sinC，
∵锐角△ABC中，∴tan(B−C)=tanC，
∴tanC+12tan(B−C)=tanC+12tanC≥2 tanC⋅12tanC= 2，当且仅当tanC= 22时取等号．
故选：A．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A选项：若a⋅b=0，则a⊥b，故A选项错误；
对于B选项：若a⊥b，则a⋅b=0，故0=0满足，故B选项错误；
对于C选项：若a⋅c=b⋅c=0，则不可说明a=b，故C选项错误．
对于D选项：若a−b=a+b，则a2−2a⋅b+b2=a2+2a⋅b+b2，化简得a⋅b=0，故D选项正确；
故选：BD．
由平面向量基本平行垂直基本概念及数量积的性质进行判断即可．
本题以命题真假判断为载体，考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查三棱锥体积的求法，正方体外接球的表面积，异面直线的判断，线面平行的判定，属于中档题．
判断两条直线是否是异面直线判断A；易得A1C1/​/AC，由直线与平面平行的判定定理判断B；正方体的外接球的半径为 22+22+222= 3，求解外接球的表面积判断C；求解棱锥的体积判断D．
【解答】
解：已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．
对于A，因为A1C1⊂平面A1B1C1D1，又直线AD1与平面A1B1C1D1交于点D1，
D1∉A1C1，故直线A1C1与AD1没有交点，
故直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；
对于B，易得A1C1/​/AC，又A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
∴A1C1/​/平面ACD1，故B正确；
对于C，正方体的外接球的半径为 22+22+222= 3，
所以正方体的外接球的表面积为4π×( 3)2=12π，故C正确；
对于D，三棱锥D1−ADC的体积为 13×12×2×2×2=43，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】BD
【解析】解：由正弦定理可得asinA=bsinB，所以asinπ3=2sinB，
∴asinB=2sinπ3=2× 32= 3，
∴sinB= 3a，又△ABC有唯一解，
∴sinB=1或0