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2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，属于二元一次方程的是( )
A. 5x−2y=3zB. 3y+x=1C. 10x+1y=3D. x2−y=3
2.若aA. a−1−bD. ac3.画出△ABC一边上的高，下列画法正确的是( )
A. B.
C. D.
4.用不等式表示图中的解集，其中正确的是( )
A. x>2B. x<2C. x≥2D. x≤2
5.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )
A. 13，12，20B. 8，7，15C. 3，4，8D. 5，5，11
6.在平面直角坐标系中，若点P(x−1,2x−4)在第四象限，则x的取值范围是( )
A. x>1B. x<2C. 17.已知三角形三个内角的比为2：3：4，则这个三角形三个外角的比为( )
A. 2：3：4B. 4：3：2C. 7：6：5D. 5：3：1
8.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有( )
A. x+y=2462y=x−2B. x+y=2462x=y+2C. x+y=216y=2x+2D. x+y=2462y=x+2
9.如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A′，若∠A=30°，∠BDA′=80°，则∠CEA′的度数为( )
A. 20°
B. 40°
C. 60°
D. 90°
10.下列说法：
①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
②x=6是x−7<0的解集；
③三角形的三条高相交于一点；
④如果a>b，那么m2a>m2b，其中说法正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.把方程3x+y−1=0改写成用含x的式子表示y的形式，则y= ______．
12.x的一半与4的差不小于2，用不等式表示为______．
13.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是______．
14.关于x，y的二元一次方程组ax−by=−1ax+by=5的解是x=2y=1，则a+b=______．
15.如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15度方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是______．
16.关于x的不等式组2x−m≥xx≥2的解集是x≥2，则m ______．
17.已知多边形的内角和等于外角和的两倍，则这个多边形的边数为______．
18.某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对______道题，成绩才能在60分以上．
19.已知在△ABC中，∠A=30°，BD和BE分别是△ABC的高和角平分线，∠DBE=10°，则∠ABC= ______°.
20.在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D是△ABC外的一点，连接AD、CD、BD，∠ACD=∠ADC，∠ABD=∠ADB，若∠BDC=36°，则∠ACB= ______度.
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
21.解下列二元一次方程组：
(1)x−y=33x−8y=14
(2)3(x−1)=y+55(y−1)=3(x+5)
22.某商场销售A、B两种商品，售出1件A和3件B所得利润为500元；若售出3件A和5件B所获得的利润为1100元．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？
(2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进A、B两种商品38件，如果将这38件商品全部售完后所得利润不低于4500元，那么这个商场至少需要购进多少件A种商品？
四、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题8分)
解不等式和不等式组：
(1)5x+15>2x−1；
(2)2x−13−5x+12≤15x−1<3(x+1)．
24.(本小题6分)
如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出△ABC中边BC上的高AD；
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE；
(3)直接写出△ABE的面积为______．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠C=35°，AD是△ABC的角平分线．
(1)求∠ADC的度数．
(2)过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F.求∠AFE的度数．
26.(本小题10分)
定义运算：f(x,y)=ax+by，已知f(2,3)=7，f(3,4)=10．
(1)直接写出：a= ______，b= ______；
(2)求关于x的不等式组f(x+1,2−x)≥0f(2x,x−3)≤0的解集；
(3)若f(mx+3n,2m−nx)≥3m+4n的解集为x≤13，求不等式f(mx−m,3n−nx)≥m+n的正整数解．
27.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，B(m,n)，且m，n满足m+n=85m−2n=−2，过B作BA⊥y轴于A，C是x轴正半轴上一点，连接BC，BC=OC，四边形ABCO的面积是36．
(1)请直接写出：B的坐标为(______，______)，C的坐标为(______，______)；
(2)如图2，点D是OC的中点，连接AD，点P是AD上一动点，连接PB、PC，设P点的纵坐标为t，△PBC的面积为S，请用含t的代数式将S表示出来；
(3)如图3，在(2)的条件下，延长CB交y轴于点F，延长CP交y轴于点E，且OE=2AE，求出相应的t值，并直接写出四边形EFBP的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、5x−2y=3z含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
B、3y+x=1是二元一次方程，符合题意；
C、10x+1y=3含有分式，不是二元一次方程，不符合题意；
D、x2−y=3未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意．
故选：B．
根据二元一次方程的定义对各选项进行解答即可．
本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、在不等式的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1B、在不等式的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a<3b，故本选项不符合题意．
C、在不等式的两边同时乘以−1，不等号方向改变，即−a>−b，故本选项不符合题意．
D、当c≤0时，不等式ac故选：D．
根据不等式的性质进行解答．
考查了不等式的性质，做这类题时应注意：不等式的基本性质是有条件的，如果不符合其中的条件，那么运用此性质得出的结论是不对的．不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
3.【答案】C
【解析】解：根据三角形高的定义可判断C选项正确．
故选：C．
三角形高的定义对各选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了三角形高、角平分线和中线的定义．
4.【答案】D
【解析】解：∵不等式的解集表示在数轴上为：
∴x≤2；
即：选D．
因为表示不等式的解集的折线向左延伸，且表示2的点是实心圆点，所以，x≤2．
本题考查了利用数轴表示不等式的解集的方法；这是数形结合的典型题型．
5.【答案】A
【解析】解：A、13+12>20，能够摆成三角形；
B、8+7=15，不能摆成三角形；
C、3+4<8，不能摆成三角形；
D、5+5<11，不能摆成三角形．
故选：A．
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
6.【答案】C
【解析】解：由点P(x−1,2x−4)在第四象限，得
x−1>02x−4<0，
解得1故选：C．
根据第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
7.【答案】C
【解析】解：∵一个三角形的三个内角度数之比为4：3：2，
∴三个内角分别为：180°×22+3+4=40°，180°×32+3+4=60°，
180°×42+3+4=80°，
∴与之对应的三个外角度数分别为：140°，120°，100°，
∴与之对应的三个外角度数之比为：7：6：5．
故选：C．
由一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4，根据三角形内角和定理，即可求得此三角形三个内角的度数，继而求得与之对应的三个外角度数，则可求得答案．
本题考查了三角形的内角和定理，理解定理是关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据某年级学生共有246人，则x+y=246；
②男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则2x=y+2．
可列方程组为x+y =2462x=y+2．
故选：B．
此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则x+y=246；
②男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则2x=y+2
找准等量关系是解决应用题的关键，注意代数式的正确书写，字母要写在数字的前面．
9.【答案】A
【解析】解：∵△A′DE是△ADE沿DE对折后的图形，
∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED．
∵∠ADE+∠A′DE+∠BDA′=180°，∠BDA′=80°，
∴∠ADE=50°．
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，∠A=30°，
∴∠AED=∠DEA′=100°．
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴∠DEC=80°．
∵∠DEA′=100°，
∴∠CEA′=∠DEA′−∠DEC
=20°．
故选：A．
先利用对折的性质说明∠ADE与∠A′DE、∠AED与∠A′ED的关系，再利用三角形的内角和、平角的定义求出∠ADE、∠DEA′、∠DEC的度数，最后利用角的和差关系求出∠CEA′的度数．
本题主要考查了三角形的内角和、平角的定义，掌握角的和差关系、“三角形的内角和是180°”及平角的定义是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，故原说法正确；
②由x−7<0，得出x<7，x=6<7，故原说法正确；
③三角形的三条高不一定相交于一点，例如钝角三角形的高有两条在三角形内，一条在三角形外，原说法错误；
④如果a>b，当m=0时，m2a=m2b，原说法错误．
故选：B．
分别根据三角形外角的性质，角平分线及高线的定义，不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质，角平分线及高线的定义，不等式的基本性质是解题的关键．
11.【答案】1−3x
【解析】解：依题意，把方程3x+y−1=0改写成用含x的式子表示y的形式，
则y=1−3x，
故答案为：1−3x．
先根据3x+y−1=0，移项，整理得出y=1−3x，即可作答．
本题考查了用代数式表达式，二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值，再依次求出另一个的对应值．
12.【答案】12x−4≥2
【解析】解：由题意可得：12x−4≥2．
故答案为：12x−4≥2．
直接利用x的一半即12x，进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
13.【答案】三角形的稳定性
【解析】【分析】
本题考查三角形的稳定性，注意能够运用数学知识解释生活中的现象．
将窗钩AB固定，显然是运用了三角形的稳定性．
【解答】
解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．
14.【答案】4
【解析】解：把x=2y=1代入方程组得：2a−b=−1 ①2a+b=5 ②，
①+②得：4a=4，
解得：a=1，
把a=1代入②得：b=3，
则a+b=1+3=4，
故答案为：4
把x与y的值代入方程组计算求出a与b的值，即可求出a+b的值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
15.【答案】85°
【解析】解：如图：
，
B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，
∴∠BAE=45°，∠DBC=80°，∠CAE=15°，
由平行线的性质得∠DBA=∠BAE=45°．
由角的和差得
∠ABC=∠DBC−∠DBA=80°−45°=35°，
∠BAC=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
由三角形的内角和定理得∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=180°−35°−60°=85°，
故答案为：85°．
根据方向角，可得∠BAE，∠DBC，∠CAE的度数，根据平行线的性质，可得∠DBA的度数，根据角的和差，可得∠BAC，∠ABC的度数，根据三角形的内角和定理，可得答案．
本题考查了方向角，掌握平行线的性质，角的和差，三角形的内角和定理是解题关键．
16.【答案】≤2
【解析】解：解不等式2x−m≥x，得：x≥m，
∵不等式组的解集为x≥2，
∴m≤2，
故答案为：≤2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：根据题意，得
(n−2)⋅180=720，
解得：n=6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°.n边形的内角和是(n−2)⋅180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
18.【答案】12
【解析】解：设答对x道．
故6x−2(15−x)>60，
解得：x>908，
所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上．
找到关键描述语，进而找到所求的量的不等关系．得到不等式6x−2(15−x)>60，求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
19.【答案】100
【解析】解：如图所示：
∵BD是△ABC的高，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ADB+∠DBE+∠BED=180°，∠DBE=10°，
∴∠BED=180°−∠ADB−∠DBE=80°，
∵∠BED=∠A+∠ABE=80°，∠A=30°，
∴∠ABE=∠BED−∠A=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=100°，
故答案为：100．
先根据题意画出图形，然后根据已知条件先求出∠ADB，∠BED，再根据角平分线的性质求出答案即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够识别图形，找出角与角之间的数量关系．
20.【答案】54
【解析】解：如图：
依题意，
设∠ABC=∠ACB=x，∠ACD=∠ADC=y
∵∠BDC=36°
∴∠ABD=∠ADB=y−36°
则∠CBD=∠ABC−∠ABD=x−(y−36°)
∵在△BCD中，∠BCD+x+y+∠BDC=180°
∴x−(y−36°)+x+y+36°=180°
则2x+72°=180°
解得x=54°
则∠ACB=54°
故答案为：54．
运用方程思路联立等式，设∠ABC=∠ACB=x，∠ACD=∠ADC=y，再根据三角形内角和性质列式计算，进行解答即可．
本题考查了三角形内角和性质，三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
21.【答案】解：(1)x−y=3 ①3x−8y=14 ②，
①×8−②得：5x=10，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=−1，
则方程组的解为x=2y=−1；
(2)方程组整理得：3x−y=8 ①3x−5y=−20 ②，
①−②得：4y=28，
解得：y=7，
把y=7代入①得：x=5，
则方程组的解为x=5y=7．
【解析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22.【答案】解：(1)设售出每件A种商品所得利润为x元，售出每件B种商品所得利润为y元，
依题意，得：x+3y=5003x+5y=1100，
解得：x=200y=100．
答：售出每件A种商品所得利润为200元，售出每件B种商品所得利润为100元．
(2)设购进m件A种商品，则购进(38−m)件B种商品，
依题意，得：200m+100(38−m)≥4500，
解得：m≥7．
∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：该商场至少需购进7件A种商品．
【解析】(1)设售出每件A种商品所得利润为x元，售出每件B种商品所得利润为y元，根据“售出1件A种商品和3件B种商品所得利润为500元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m件A种商品，则购进(38−m)件B种商品，根据总利润=售出每件商品的利润×销售数量结合总利润不低于4500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)5x+15>2x−1
移项，得5x−2x>−1−15，
合并同类项，得3x>−16，
系数化1，得x>−163；
(2)解：2x−13−5x+12≤15x−1<3(x+1)
由2x−13−5x+12≤1，解得x≥−1；
由5x−1<3(x+1)，解得x<2
∴−1≤x<2．
【解析】(1)先移项．再合并同类项，系数化1，即可作答．
(2)分别算两个不等式的解集，再取它们的公共部分，即可作答．
本题考查了解不等式以及解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24.【答案】8
【解析】解：(1)如图所示，线段AD即为所求；
(2)如图所示，线段BE即为所求；
(3)S△ABC=12BC⋅AD=12×4×4=8．
故答案为：8．
(1)根据三角形高线的定义画出图形即可；
(2)根据三角形中线的定义画出图形即可；
(3)根据三角形的面积公式计算即可．
此题主要考查了应用设计与作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵∠ABC=65°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=80°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF=12∠BAC=40°，
∴△ACD中，∠ADC=180°−40°−35°=105°；
(2)∵BE⊥AD，
∴∠AEF=90°，
由(1)可得∠EAF=40°，
∴∠AFE=180°−40°−90°=50°．
【解析】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：三角形内角和是180°．
(1)依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，即可得出∠DAF的度数，进而得到∠ADC的度数；
(2)依据BE⊥AD，即可得到∠AEF=90°，由(1)可得∠EAF=40°，即可得出∠AFE的度数．
26.【答案】2 1
【解析】解：(1)把f(2,3)=7，f(3,4)=10代入f(x,y)=ax+by，
得：2a+3b=73a+4b=10，
解得：a=2b=1；
故答案为：2，1；
(2)∵f(x+1,2−x)≥0f(2x,x−3)≤0，
∴根据题意得：2(x+1)+2−x≥04x+x−3≤0，
整理得：x≥−4x≤35，
∴−4≤x≤35；
(3)根据题意得：2(mx+3n)+2m−nx≥3m+4n，
整理得：(2m−n)x≥m−2n，
∵此不等式解集为x≤13，
∴2m−n<0，且m−2n2m−n=13，
整理得：m=5n(m≠0,n≠0)，
所求不等式化简得：2(mx−m)+3n−nx≥m+n，即(2m−n)x≥3m−2n，
把m=5n代入得：9nx≥13n，
解得：x≤139．
∴x的正整数解为1．
(1)把已知的两对值代入计算确定出a与b即可；
(2)把a与b的值代入表示出已知不等式组，再解不等式组求出解集即可；
(3)根据已知不等式的解集确定出x≤13，9nx≥13n，整理得x≤139，即可作答．
此题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
27.【答案】2 6 10 0
【解析】解：(1)解m+n=85m−2n=−2，
解得m=2n=6，
∴B(2,6)；
∵BA⊥y轴于A，
∴AB=2，OA=6，
∵四边形ABCO的面积是36，
∴S四边形ABCO=12(AB+OC)⋅OA=36，
∴12(2+OC)×6=36，
解得OC=10，
∵C是x轴正半轴上一点，
∴C(10,0)；
(2)∵C(10,0)，点D是OC的中点，
∴D(5,0)，
∴OD=5，
∵设P点的纵坐标为t，OA=6，
∴点P到AB的距离为6−t，
∴S=S四边形ABCO−S△AOD−S△ABP−S△PCD
=36−12×5×6−12×5t−12×2(6−t)
=−32t+15，
∵点P是AD上一动点，
∴0≤t≤6，
∴S=−32t+15(0≤t≤6)；
(3)∵OA=6，OE=2AE，OE+AE=OA，
∴OE=4，AE=2，
∴E(0,4)，
∴设EC所在直线的表达式为y=kx+b，
将E(0,4)，C(10,0)代入得b=410k+b=0，
解得b=4k=−25，
∴设EC所在直线的表达式为y=−25x+4，
同理求出DA所在直线的表达式为y=−65x+6，
∴联立y=−25x+4y=−65x+6，
解得x=52y=3，
∴E(−52,3)，
∴t=3，
∴S=−32×3+15=212，
同理求出BC所在直线的表达式为y=−34x+152，
∴当x=0时，y=152，
∴F(0,152)，
∴EF=152−4=72，
∴四边形EFBP的面积=S△FEC−S=12EF⋅OC−212=12×72×10−212=7．
(1)解方程组求出m，n的值，即可求出点B的坐标；然后根据四边形ABCO的面积是36列方程求解即可求出点C的坐标；
(2)首先求出OD=5，然后表示出点P到AB的距离为6−t，然后根据S=S四边形ABCO−S△AOD−S△ABP−S△PCD列式求解即可；
(3)首先求出设EC所在直线的表达式为y=−25x+4，DA所在直线的表达式为y=−65x+6，然后联立求出E(−52,3)，得到t=3，求出S=−32×3+15=212，然后求出BC所在直线的表达式为y=−34x+152，得到F(0,152)，表示出EF=152−4=72.然后利用四边形EFBP的面积=S△FEC−S代数求解即可．
此题属于四边形综合题，主要考查了一次函数与几何综合题，坐标与图形等知识，解答本题的关键是熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式．
1.下列方程中，属于二元一次方程的是( )
A. 5x−2y=3zB. 3y+x=1C. 10x+1y=3D. x2−y=3
2.若a
A. B.
C. D.
4.用不等式表示图中的解集，其中正确的是( )
A. x>2B. x<2C. x≥2D. x≤2
5.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )
A. 13，12，20B. 8，7，15C. 3，4，8D. 5，5，11
6.在平面直角坐标系中，若点P(x−1,2x−4)在第四象限，则x的取值范围是( )
A. x>1B. x<2C. 1
A. 2：3：4B. 4：3：2C. 7：6：5D. 5：3：1
8.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有( )
A. x+y=2462y=x−2B. x+y=2462x=y+2C. x+y=216y=2x+2D. x+y=2462y=x+2
9.如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A′，若∠A=30°，∠BDA′=80°，则∠CEA′的度数为( )
A. 20°
B. 40°
C. 60°
D. 90°
10.下列说法：
①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
②x=6是x−7<0的解集；
③三角形的三条高相交于一点；
④如果a>b，那么m2a>m2b，其中说法正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.把方程3x+y−1=0改写成用含x的式子表示y的形式，则y= ______．
12.x的一半与4的差不小于2，用不等式表示为______．
13.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是______．
14.关于x，y的二元一次方程组ax−by=−1ax+by=5的解是x=2y=1，则a+b=______．
15.如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15度方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是______．
16.关于x的不等式组2x−m≥xx≥2的解集是x≥2，则m ______．
17.已知多边形的内角和等于外角和的两倍，则这个多边形的边数为______．
18.某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对______道题，成绩才能在60分以上．
19.已知在△ABC中，∠A=30°，BD和BE分别是△ABC的高和角平分线，∠DBE=10°，则∠ABC= ______°.
20.在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D是△ABC外的一点，连接AD、CD、BD，∠ACD=∠ADC，∠ABD=∠ADB，若∠BDC=36°，则∠ACB= ______度.
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
21.解下列二元一次方程组：
(1)x−y=33x−8y=14
(2)3(x−1)=y+55(y−1)=3(x+5)
22.某商场销售A、B两种商品，售出1件A和3件B所得利润为500元；若售出3件A和5件B所获得的利润为1100元．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？
(2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进A、B两种商品38件，如果将这38件商品全部售完后所得利润不低于4500元，那么这个商场至少需要购进多少件A种商品？
四、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题8分)
解不等式和不等式组：
(1)5x+15>2x−1；
(2)2x−13−5x+12≤15x−1<3(x+1)．
24.(本小题6分)
如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出△ABC中边BC上的高AD；
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE；
(3)直接写出△ABE的面积为______．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠C=35°，AD是△ABC的角平分线．
(1)求∠ADC的度数．
(2)过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F.求∠AFE的度数．
26.(本小题10分)
定义运算：f(x,y)=ax+by，已知f(2,3)=7，f(3,4)=10．
(1)直接写出：a= ______，b= ______；
(2)求关于x的不等式组f(x+1,2−x)≥0f(2x,x−3)≤0的解集；
(3)若f(mx+3n,2m−nx)≥3m+4n的解集为x≤13，求不等式f(mx−m,3n−nx)≥m+n的正整数解．
27.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，B(m,n)，且m，n满足m+n=85m−2n=−2，过B作BA⊥y轴于A，C是x轴正半轴上一点，连接BC，BC=OC，四边形ABCO的面积是36．
(1)请直接写出：B的坐标为(______，______)，C的坐标为(______，______)；
(2)如图2，点D是OC的中点，连接AD，点P是AD上一动点，连接PB、PC，设P点的纵坐标为t，△PBC的面积为S，请用含t的代数式将S表示出来；
(3)如图3，在(2)的条件下，延长CB交y轴于点F，延长CP交y轴于点E，且OE=2AE，求出相应的t值，并直接写出四边形EFBP的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、5x−2y=3z含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
B、3y+x=1是二元一次方程，符合题意；
C、10x+1y=3含有分式，不是二元一次方程，不符合题意；
D、x2−y=3未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意．
故选：B．
根据二元一次方程的定义对各选项进行解答即可．
本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、在不等式的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1
C、在不等式的两边同时乘以−1，不等号方向改变，即−a>−b，故本选项不符合题意．
D、当c≤0时，不等式ac
根据不等式的性质进行解答．
考查了不等式的性质，做这类题时应注意：不等式的基本性质是有条件的，如果不符合其中的条件，那么运用此性质得出的结论是不对的．不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
3.【答案】C
【解析】解：根据三角形高的定义可判断C选项正确．
故选：C．
三角形高的定义对各选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了三角形高、角平分线和中线的定义．
4.【答案】D
【解析】解：∵不等式的解集表示在数轴上为：
∴x≤2；
即：选D．
因为表示不等式的解集的折线向左延伸，且表示2的点是实心圆点，所以，x≤2．
本题考查了利用数轴表示不等式的解集的方法；这是数形结合的典型题型．
5.【答案】A
【解析】解：A、13+12>20，能够摆成三角形；
B、8+7=15，不能摆成三角形；
C、3+4<8，不能摆成三角形；
D、5+5<11，不能摆成三角形．
故选：A．
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
6.【答案】C
【解析】解：由点P(x−1,2x−4)在第四象限，得
x−1>02x−4<0，
解得1
根据第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
7.【答案】C
【解析】解：∵一个三角形的三个内角度数之比为4：3：2，
∴三个内角分别为：180°×22+3+4=40°，180°×32+3+4=60°，
180°×42+3+4=80°，
∴与之对应的三个外角度数分别为：140°，120°，100°，
∴与之对应的三个外角度数之比为：7：6：5．
故选：C．
由一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4，根据三角形内角和定理，即可求得此三角形三个内角的度数，继而求得与之对应的三个外角度数，则可求得答案．
本题考查了三角形的内角和定理，理解定理是关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据某年级学生共有246人，则x+y=246；
②男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则2x=y+2．
可列方程组为x+y =2462x=y+2．
故选：B．
此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则x+y=246；
②男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则2x=y+2
找准等量关系是解决应用题的关键，注意代数式的正确书写，字母要写在数字的前面．
9.【答案】A
【解析】解：∵△A′DE是△ADE沿DE对折后的图形，
∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED．
∵∠ADE+∠A′DE+∠BDA′=180°，∠BDA′=80°，
∴∠ADE=50°．
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，∠A=30°，
∴∠AED=∠DEA′=100°．
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴∠DEC=80°．
∵∠DEA′=100°，
∴∠CEA′=∠DEA′−∠DEC
=20°．
故选：A．
先利用对折的性质说明∠ADE与∠A′DE、∠AED与∠A′ED的关系，再利用三角形的内角和、平角的定义求出∠ADE、∠DEA′、∠DEC的度数，最后利用角的和差关系求出∠CEA′的度数．
本题主要考查了三角形的内角和、平角的定义，掌握角的和差关系、“三角形的内角和是180°”及平角的定义是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，故原说法正确；
②由x−7<0，得出x<7，x=6<7，故原说法正确；
③三角形的三条高不一定相交于一点，例如钝角三角形的高有两条在三角形内，一条在三角形外，原说法错误；
④如果a>b，当m=0时，m2a=m2b，原说法错误．
故选：B．
分别根据三角形外角的性质，角平分线及高线的定义，不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质，角平分线及高线的定义，不等式的基本性质是解题的关键．
11.【答案】1−3x
【解析】解：依题意，把方程3x+y−1=0改写成用含x的式子表示y的形式，
则y=1−3x，
故答案为：1−3x．
先根据3x+y−1=0，移项，整理得出y=1−3x，即可作答．
本题考查了用代数式表达式，二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数(一般是系数绝对值较大的)的值，再依次求出另一个的对应值．
12.【答案】12x−4≥2
【解析】解：由题意可得：12x−4≥2．
故答案为：12x−4≥2．
直接利用x的一半即12x，进而得出不等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
13.【答案】三角形的稳定性
【解析】【分析】
本题考查三角形的稳定性，注意能够运用数学知识解释生活中的现象．
将窗钩AB固定，显然是运用了三角形的稳定性．
【解答】
解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．
14.【答案】4
【解析】解：把x=2y=1代入方程组得：2a−b=−1 ①2a+b=5 ②，
①+②得：4a=4，
解得：a=1，
把a=1代入②得：b=3，
则a+b=1+3=4，
故答案为：4
把x与y的值代入方程组计算求出a与b的值，即可求出a+b的值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
15.【答案】85°
【解析】解：如图：
，
B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，
∴∠BAE=45°，∠DBC=80°，∠CAE=15°，
由平行线的性质得∠DBA=∠BAE=45°．
由角的和差得
∠ABC=∠DBC−∠DBA=80°−45°=35°，
∠BAC=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
由三角形的内角和定理得∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=180°−35°−60°=85°，
故答案为：85°．
根据方向角，可得∠BAE，∠DBC，∠CAE的度数，根据平行线的性质，可得∠DBA的度数，根据角的和差，可得∠BAC，∠ABC的度数，根据三角形的内角和定理，可得答案．
本题考查了方向角，掌握平行线的性质，角的和差，三角形的内角和定理是解题关键．
16.【答案】≤2
【解析】解：解不等式2x−m≥x，得：x≥m，
∵不等式组的解集为x≥2，
∴m≤2，
故答案为：≤2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：根据题意，得
(n−2)⋅180=720，
解得：n=6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°.n边形的内角和是(n−2)⋅180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
18.【答案】12
【解析】解：设答对x道．
故6x−2(15−x)>60，
解得：x>908，
所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上．
找到关键描述语，进而找到所求的量的不等关系．得到不等式6x−2(15−x)>60，求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
19.【答案】100
【解析】解：如图所示：
∵BD是△ABC的高，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ADB+∠DBE+∠BED=180°，∠DBE=10°，
∴∠BED=180°−∠ADB−∠DBE=80°，
∵∠BED=∠A+∠ABE=80°，∠A=30°，
∴∠ABE=∠BED−∠A=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=100°，
故答案为：100．
先根据题意画出图形，然后根据已知条件先求出∠ADB，∠BED，再根据角平分线的性质求出答案即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够识别图形，找出角与角之间的数量关系．
20.【答案】54
【解析】解：如图：
依题意，
设∠ABC=∠ACB=x，∠ACD=∠ADC=y
∵∠BDC=36°
∴∠ABD=∠ADB=y−36°
则∠CBD=∠ABC−∠ABD=x−(y−36°)
∵在△BCD中，∠BCD+x+y+∠BDC=180°
∴x−(y−36°)+x+y+36°=180°
则2x+72°=180°
解得x=54°
则∠ACB=54°
故答案为：54．
运用方程思路联立等式，设∠ABC=∠ACB=x，∠ACD=∠ADC=y，再根据三角形内角和性质列式计算，进行解答即可．
本题考查了三角形内角和性质，三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
21.【答案】解：(1)x−y=3 ①3x−8y=14 ②，
①×8−②得：5x=10，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=−1，
则方程组的解为x=2y=−1；
(2)方程组整理得：3x−y=8 ①3x−5y=−20 ②，
①−②得：4y=28，
解得：y=7，
把y=7代入①得：x=5，
则方程组的解为x=5y=7．
【解析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22.【答案】解：(1)设售出每件A种商品所得利润为x元，售出每件B种商品所得利润为y元，
依题意，得：x+3y=5003x+5y=1100，
解得：x=200y=100．
答：售出每件A种商品所得利润为200元，售出每件B种商品所得利润为100元．
(2)设购进m件A种商品，则购进(38−m)件B种商品，
依题意，得：200m+100(38−m)≥4500，
解得：m≥7．
∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：该商场至少需购进7件A种商品．
【解析】(1)设售出每件A种商品所得利润为x元，售出每件B种商品所得利润为y元，根据“售出1件A种商品和3件B种商品所得利润为500元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m件A种商品，则购进(38−m)件B种商品，根据总利润=售出每件商品的利润×销售数量结合总利润不低于4500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)5x+15>2x−1
移项，得5x−2x>−1−15，
合并同类项，得3x>−16，
系数化1，得x>−163；
(2)解：2x−13−5x+12≤15x−1<3(x+1)
由2x−13−5x+12≤1，解得x≥−1；
由5x−1<3(x+1)，解得x<2
∴−1≤x<2．
【解析】(1)先移项．再合并同类项，系数化1，即可作答．
(2)分别算两个不等式的解集，再取它们的公共部分，即可作答．
本题考查了解不等式以及解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24.【答案】8
【解析】解：(1)如图所示，线段AD即为所求；
(2)如图所示，线段BE即为所求；
(3)S△ABC=12BC⋅AD=12×4×4=8．
故答案为：8．
(1)根据三角形高线的定义画出图形即可；
(2)根据三角形中线的定义画出图形即可；
(3)根据三角形的面积公式计算即可．
此题主要考查了应用设计与作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵∠ABC=65°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=80°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF=12∠BAC=40°，
∴△ACD中，∠ADC=180°−40°−35°=105°；
(2)∵BE⊥AD，
∴∠AEF=90°，
由(1)可得∠EAF=40°，
∴∠AFE=180°−40°−90°=50°．
【解析】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：三角形内角和是180°．
(1)依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，即可得出∠DAF的度数，进而得到∠ADC的度数；
(2)依据BE⊥AD，即可得到∠AEF=90°，由(1)可得∠EAF=40°，即可得出∠AFE的度数．
26.【答案】2 1
【解析】解：(1)把f(2,3)=7，f(3,4)=10代入f(x,y)=ax+by，
得：2a+3b=73a+4b=10，
解得：a=2b=1；
故答案为：2，1；
(2)∵f(x+1,2−x)≥0f(2x,x−3)≤0，
∴根据题意得：2(x+1)+2−x≥04x+x−3≤0，
整理得：x≥−4x≤35，
∴−4≤x≤35；
(3)根据题意得：2(mx+3n)+2m−nx≥3m+4n，
整理得：(2m−n)x≥m−2n，
∵此不等式解集为x≤13，
∴2m−n<0，且m−2n2m−n=13，
整理得：m=5n(m≠0,n≠0)，
所求不等式化简得：2(mx−m)+3n−nx≥m+n，即(2m−n)x≥3m−2n，
把m=5n代入得：9nx≥13n，
解得：x≤139．
∴x的正整数解为1．
(1)把已知的两对值代入计算确定出a与b即可；
(2)把a与b的值代入表示出已知不等式组，再解不等式组求出解集即可；
(3)根据已知不等式的解集确定出x≤13，9nx≥13n，整理得x≤139，即可作答．
此题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
27.【答案】2 6 10 0
【解析】解：(1)解m+n=85m−2n=−2，
解得m=2n=6，
∴B(2,6)；
∵BA⊥y轴于A，
∴AB=2，OA=6，
∵四边形ABCO的面积是36，
∴S四边形ABCO=12(AB+OC)⋅OA=36，
∴12(2+OC)×6=36，
解得OC=10，
∵C是x轴正半轴上一点，
∴C(10,0)；
(2)∵C(10,0)，点D是OC的中点，
∴D(5,0)，
∴OD=5，
∵设P点的纵坐标为t，OA=6，
∴点P到AB的距离为6−t，
∴S=S四边形ABCO−S△AOD−S△ABP−S△PCD
=36−12×5×6−12×5t−12×2(6−t)
=−32t+15，
∵点P是AD上一动点，
∴0≤t≤6，
∴S=−32t+15(0≤t≤6)；
(3)∵OA=6，OE=2AE，OE+AE=OA，
∴OE=4，AE=2，
∴E(0,4)，
∴设EC所在直线的表达式为y=kx+b，
将E(0,4)，C(10,0)代入得b=410k+b=0，
解得b=4k=−25，
∴设EC所在直线的表达式为y=−25x+4，
同理求出DA所在直线的表达式为y=−65x+6，
∴联立y=−25x+4y=−65x+6，
解得x=52y=3，
∴E(−52,3)，
∴t=3，
∴S=−32×3+15=212，
同理求出BC所在直线的表达式为y=−34x+152，
∴当x=0时，y=152，
∴F(0,152)，
∴EF=152−4=72，
∴四边形EFBP的面积=S△FEC−S=12EF⋅OC−212=12×72×10−212=7．
(1)解方程组求出m，n的值，即可求出点B的坐标；然后根据四边形ABCO的面积是36列方程求解即可求出点C的坐标；
(2)首先求出OD=5，然后表示出点P到AB的距离为6−t，然后根据S=S四边形ABCO−S△AOD−S△ABP−S△PCD列式求解即可；
(3)首先求出设EC所在直线的表达式为y=−25x+4，DA所在直线的表达式为y=−65x+6，然后联立求出E(−52,3)，得到t=3，求出S=−32×3+15=212，然后求出BC所在直线的表达式为y=−34x+152，得到F(0,152)，表示出EF=152−4=72.然后利用四边形EFBP的面积=S△FEC−S代数求解即可．
此题属于四边形综合题，主要考查了一次函数与几何综合题，坐标与图形等知识，解答本题的关键是熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式．
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