2023-2024学年广东省广州十六中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州十六中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使 x−2在实数范围内有意义，x应满足的条件是( )
A. x=2B. x≠2C. x≥2D. x≤2
2.如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为( )
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
3.如图，AD为△ABC的中线，且AB=13，BC=10，AD=12，则AC等于( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
4.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 2− 2=3C. 6÷2= 3D. 4×2=2 2
5.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为( )
A. 16
B. 8
C. 4 2
D. 4
6.下列命题的逆命题成立的是( )
A. 矩形的对角线相等B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 菱形的对角线互相垂直D. 正方形的对角线互相垂直且相等
7.下列有关一次函数y=−2x+1的说法中，错误的是( )
A. y的值随着x增大而减小B. 当x>0时，y>1
C. 函数图象与y轴的交点坐标为(0,1)D. 函数图象经过第一、二、四象限
8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB= 3，AC=2，BD=4，则AE的长为( )
A. 32B. 32C. 217D. 2 217
9.如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(4,0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为( )
A. 12
B. 23
C. 2
D. 5
10.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，则FMGF的值是( )
A. 3− 22B. 3− 32C. 3− 23D. 3− 33
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−1,3)，则k= ．
12.Rt△ABC中，三边分别是a，b，c，斜边c=3，则a2+b2+c2的值为 ．
13.如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(4,0)，点C的坐标是(1,3)，则点B的坐标是 ．
14.如果将直线y=3x−1平移，使其经过点(0,2)，那么平移后所得直线的表达式是 ．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积为______．
16.如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边DC、BC上，且BF=CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE、AC于点G、M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，有下列四个结论：①S△ADG=S四边形CEGF；②AE垂直平分DM；③PM+PN的最小值为2 2；④S△ADM=6 2，其中正确的结论是______(请填写序号)．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：( 5+3)( 5−3)−( 3−1)2．
18.(本小题4分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上一点，AE=CF，EF交AC于点O.求证：AO=CO．
19.(本小题6分)
如图，已知AC⊥BC，AC=BC=3，BD=2，AD= 14．
(1)求AB的长．
(2)求△ABD的面积．
20.(本小题6分)
已知：A=1a+b+2ba2−b2．
(1)化简A；
(2)若点P(a,b)是一次函数y=x+ 2图象上的点，求A的值．
21.(本小题8分)
如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是______(填序号)；
(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：
①在线段AB上作点D，使得点D到点B与点C的距离相等；
②作点D关于直线BC的对称点E，连接CD，BE，CE．
(2)猜想证明：作图所得的四边形BECD是否为菱形？并说明理由．
23.(本小题10分)
已知1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分钟的速度竖直上升.与此同时，2号探测气球从海拔20米处出发，以a米/分钟的速度竖直上升.两个气球都上升了1小时.1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2(单位：米)与上升时间x(单位：分钟)的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题：
(1)a= ______，b= ______；
(2)请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为5米？
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A(8,0)，交y轴于点B.直线y=12x−32与y轴交于点D，与直线AB交于点C(6,a).点M是线段BC上的一个动点(点M不与点C重合)，过点M作x轴的垂线交直线CD于点N.设点M的横坐标为m．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)以线段MN，MC为邻边作圆MNQC，直线QC与x轴交于点E．
①当0≤m<245时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
25.(本小题12分)
如图1，四边形ABCD是正方形，点E在正方形外角的平分线上，连接AE，记AE与对角线BD的交点为M．
(1)求证：AM=EM；
(2)如图2，点N是边AB的中点，连接MN，若MN= 2AN，请探索BE与BD的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在(2)的条件下，记BE与边CD的交点为点F，在BC边上取点P，使BP+DE=PF，连接AP，AF，求∠PAF的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
根据二次根式的被开方数大于等于0列式求解即可．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【解答】
解：根据题意得，x−2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质．
连接AC，根据勾股定理逆定理可得△ABC是以AC、BC为腰的等腰直角三角形，据此可得答案．
【解答】
解：如图，连AC，
则BC=AC= 12+22= 5，AB= 32+12= 10，
∵( 5)2+( 5)2=( 10)2，
即BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD=5，
∴BD2+AD2=AB2，
∴三角形ADB为直角三角形，
∵∠ADB为直角，
∴△ABD≌△ADC，
∴AC=AB=13．
故选：D．
先利用中线的性质得到BD=5，再根据勾股定理的逆定理，得到△ABD为直角三角形，进而得到AC的值．
本题是一道综合题，需要学生把中线的性质和勾股定理结合起来求解．
4.【答案】D
【解析】解：A. 2、 3不是同类二次根式，不能合并，原计算不正确；
B. 3 2− 2=2 2，原计算错误；
C. 6÷2= 62，原计算错误；
D. 4×2=2 2，计算正确；
故选：D．
根据二次根式的运算法则逐项分析判断即可．
本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的性质解答即可．
【解答】
解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×2=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
【解答】
解：A、逆命题为：对角线相等的四边形是矩形，错误，不符合题意；
B、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
C、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意；
D、逆命题为：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，不符合题意，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
【解答】
解：A、∵k=−2<0，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意；
B、∵k=−2<0，∴y的值随着x增大而减小，∴当x>0时，y<1，错误，符合题意；
C、∵当x=0时，y=1，∴函数图象与y轴的交点坐标为(0,1)，正确，不符合题意；
D、∵k=−2<0，b=1>0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【解答】
解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC=1，BO=12BD=2，
∵AB= 3，
∴AB2+AO2=BO2，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，BC= AB2+AC2= ( 3)2+22= 7，
S△BAC=12×AB×AC=12×BC×AE，
∴ 3×2= 7AE，
∴AE=2 217，
故选：D．
9.【答案】C
【解析】【分析】
由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值．
本题主要考查矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接OB、AC交于点D，过D作DE⊥x轴，过D作DF⊥y轴，垂足分别为E、F，
∵A(0,2)，C(4,0)，
∴四边形OABC为矩形，
∴DE=12OC=12×4=2，DF=12OA=12×2=1，
∴D(2,1)，
∵直线y=kx−k−1(k是常数)将四边形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线过点D，
则2k−k−1=1，
解得：k=2，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】【分析】
连接HF，直线HF与AD交于点P，根据五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为x2，2x2，可得GF=2x，根据折叠可得正方形ABCD的面积为9x2，进而求出FM，最后求得结果．
本题考查了剪纸问题，解决本题的关键是掌握对称的性质．
【解答】
解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，
∵五边形MCNGF的面积是正方形EFGH面积的2倍，
设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为x2，2x2，
∴GF2=x2，
∴GF=x，
∴HF= 2x，
由折叠可知：
正方形ABCD的面积为：x2+4×2x2=9x2，
∴PM2=9x2，
∴PM=3x，
∴FM=PH=12(PM−HF)=12(3x− 2x)=12(3− 2)x，
∴FMGF=12(3− 2)xx=3− 22．
故选：A．
11.【答案】−3
【解析】【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
【解答】
解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(−1,3)，
∴3=−1×k，
∴k=−3．
故答案为：−3．
12.【答案】18
【解析】【分析】
先由勾股定理求得a2+b2=c2=9，然后求得a2+b2+c2的值．
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容．
【解答】
解：∵△ABC为直角三角形，斜边c=3，
∴a2+b2=c2=32=9，
∴a2+b2+c2=9+9=18．
故答案为：18．
13.【答案】(5,3)
【解析】【分析】
延长BC交y轴于点D，根据已知可得OA=4，利用平行四边形的性质可得BC/​/OA，BC=OA=4，再根据点C的坐标可得OD=3，DC=1，从而求出BD的长，即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【解答】
解：延长BC交y轴于点D，
∵点A的坐标是(4,0)，
∴OA=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC/​/OA，BC=OA=4，
∵点C的坐标是(1,3)，
∴OD=3，DC=1，
∴BD=DC+BC=1+4=5，
∴点B的坐标是(5,3)，
故答案为：(5,3)．
14.【答案】y=3x+2
【解析】【分析】
根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=3x+b，然后将点(0,2)代入即可得出直线的函数解析式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线y=kx+b(k≠0)平移时k的值不变是解题的关键．
【解答】
解：设平移后直线的解析式为y=3x+b．
把(0,2)代入直线解析式得2=b，
解得 b=2．
所以平移后直线的解析式为y=3x+2．
故答案为：y=3x+2．
15.【答案】263
【解析】解：由于折叠可得：AD′=BC，∠D′=∠B，又∠AFD′=∠CFB，
∴△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=6−x，
在Rt△AFD′中，(6−x)2=x2+42，
解之得：x=53，
∴AF=AB−FB=6−53=133，
∴S△AFC=12⋅AF⋅BC=263，
故答案为：263．
因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，所以AF=AB−BF．
本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=AD，∠BCD=∠CDA=90°，
∵BF=CE，
∴CF=DE，
∴△CDF≌△ADE(SAS)，
∴S△CDF=S△ADE，
∴S△ADG=S四边形CEGF，故①正确；
由全等得，∠CDF=∠DAE，
∵∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°=∠AGM，
∵AE平分∠CAD，
AG=AG，
∴△AGD≌△AGM(ASA)，
∴DG=MG，故②正确；
过点D作DH⊥AC于点H，如图，
由对称及点到之间间距离为垂线段的长度，得DH为PM+PN的最小值，
∵AD=6，∠CAD=45°，
∴DH=4 2=2 2，故③正确；
由全等得，AM=AD=4，
∴S△ADM=12AM⋅DH=4 2，故④不正确，
故答案为：①②③．
证明△CDF≌△ADE，说明△CDF△ADE的面积相等，利用等量减等量得出①正确；利用全等得出AG⊥DM，证明△AGD≌△AGM，DG=MG，得出②正确；作DH⊥AC，由对称及点到之间间距离为垂线段的长度，得DH为PM+PN的最小值，计算出DH长得出③正确；计算出△ADM的面积，得出④错误．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、轴对称等性质的应用是本题的解题关键．
17.【答案】解：原式=5−9−(3−2 3+1)
=−4−4+2 3
=−8+2 3．
【解析】利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
∠AOE=∠COF∠EAO=∠FCOAE=CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AO=CO．
【解析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得AO=CO．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵AC⊥BC，AC=BC=3，
∴AB= AC2+BC2=3 2．
(2)∵AD2=( 14)2=14，BD2=22=4，AB2=(3 2)2=18，
∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积为12×AD×BD=12× 14×2= 14．
【解析】(1)根据勾股定理直接求得；
(2)首先证明△ABD为直角三角形，再根据面积公式即可求得．
本题主要考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
20.【答案】解：(1)A=1a+b+2ba2−b2
=a−b(a+b)(a−b)+2b(a+b)(a−b)
=a−b+2b(a+b)(a−b)
=a+b(a+b)(a−b)
=1a−b；
(2)∵点P(a,b)是一次函数y=x+ 2图象上的点，
∴b=a+ 2，
∴− 2=a−b，
即a−b=− 2，
∴A=1− 2=− 22．
【解析】(1)根据分式的加法法则进行计算即可；
(2)把P点的坐标代入y=x+ 2，求出a−b=− 2，再代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能正确根据分式的加法法则进行计算是解(1)的关键．
21.【答案】(1)①(或②，答案不唯一)；
(2)证明：
若添加条件①：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
在△ABM和DCM中，
AB=DC∠1=∠2BM=CM，
∴△ABM≌DCM(SAS)，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∴▱ABCD为矩形．
若添加条件②：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
在△ABM和DCM中，
AB=DCAM=DMBM=CM
∴△ABM≌DCM(SSS)，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∴▱ABCD为矩形．
【解析】【分析】
(1)根据矩形的判定定理选择条件即可；
(2)根据平行四边形的性质得到AB//DC，AB=DC，求得∠A+∠D=180°，根据全等三角形的性质得到∠A=∠D，根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，由矩形的性质和全等三角形的判定证得△ABM≌DCM，并熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．
【解答】
(1)见答案；(不选择③的原因：∠3=∠4可以由BM=CM得到)
(2)见答案；
22.【答案】解：(1)①如图，作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点D，
则BD=CD，
即点D到点B与点C的距离相等，
则点D即为所求．
②如图，设直线MN交BC于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，在BC的下方交直线MN于点E，连接CD，BE，CE，
点E即为所求．

(2)四边形BECD是菱形．
理由：∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴OB=OC，DE⊥BC，
∵点D和点E关于直线BC对称，
∴OD=OE，
∴四边形BECD是菱形．
【解析】(1)①结合线段垂直平分线的性质，作线段BC的垂直平分线MN，交AB于点D，则点D即为所求．
②设直线MN交BC于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，在BC的下方交直线MN于点E，连接CD，BE，CE即可．
(2)由线段垂直平分线的性质以及轴对称的性质可得四边形BECD的对角线互相垂直平分，从而可得四边形BECD是菱形．
本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、轴对称的性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质、菱形的判定是解题的关键．
23.【答案】0.5 30
【解析】解：(1)∵1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分钟的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以a米/分钟的速度竖直上升．
当x=20时，两球相遇，
y1=10+x=10+20=30，
∴b=30．
设2号探测气球解析式为y2=20+ax，
∵y2=20+ax过(20,30)，
∴30=20+20a，
解得a=0.5，
∴y2=20+0.5x．
故答案为：0.5，30．
(2)根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：y1=10+x，
2号探测气球所在位置的海拔：y2=20+0.5x．
(3)分两种情况：
①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题意得：
(20+0.5x)−(x+10)=5，
解得x=10；
②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题意得：
(x+10)−(0.5x+20)=5，
解得x=30．
综上所述，上升了10分钟或30分钟后这两个气球相距5m．
(1)根据“1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度上升”求出b，再根据y2=20+ax计算出a即可；
(2)根据“1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度上升，2号探测气球从海拔20米处出发，以0.5米/分的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式；
(3)两个气球所在位置的海拔相差5米，分两种情况：①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米；②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米；分别列出方程求解即可．
本题主要考查了一次函数以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数解析式．
24.【答案】解：(1)∵点C(6,a)在直线y=12x−32上，
∴a=12×6−32=32，
∵一次函数y=kx+b的图象过点A(8,0)和点C(6,32)，
∴8k+b=06k+b=32，
解得k=−34b=6，
∴直线AB的解析式为y=−34x+6；
(2)①∵M点在直线y=−34x+6上，且M的横坐标为m，
∴M的纵坐标为：−34m+6，
∵N点在直线y=12x−32上，且N点的横坐标为m，
∴N点的纵坐标为：12m−32，
∴|MN|=−34m+6−12m+32=152−54m，
∵点C(6,32)，线段EQ的长度为l，
∴|CQ|=l+32，
∵|MN|=|CQ|，
∴152−54m=l+32，
即l=6−54m；
②∵△AOQ的面积为3，
∴12OA⋅EQ=3，
即12×8×EQ=3，
解得EQ=34，
由①知，EQ=6−54m，
∴|6−54m|=34，
解得m=215或275，
即m的值为215或275．
【解析】(1)根据直线y=12x−32的解析式求出C点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
(2)①用含m的代数式表示出MN，再根据MN=CQ得出结论即可；
②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式得出m的值即可．
本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接AC，CM，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，DM平分∠ADC，
∴∠ADM=∠CDM=45°，
在△ADM和△CDM中，
AD=CD∠ADM=∠CDMDM=DM,
∴△ADM≌△CDM(SAS)，
∴AM=CM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵点E在正方形外角的平分线上，
∴∠DCE=45°，
又∵∠ACD=45°，
∴∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠E=90°，∠MCA+∠MCE=90°，
∴∠E=∠MCE，
∴ME=CM，
∴AM=ME；
(2)解：BE=BD，
理由：∵N为AB的中点，AM=ME，
∴MN为△ABE的中位线，
∴MN=12BE，
∵MN= 2AN，
∴BE=2 2AN，
又∵AB=AD，
∴BD= 2AB，
∵AB=2AN，
∴BD=2 2AN，
∴BD=BE；
(3)解：连接AC交BD于点O，过点E作EG⊥BD于点G，则四边形OCEG为矩形，
∴OC=EG，
∵OA=12AC=12BD，BE=BD，
∴EG=12BE，
∴∠GBE=30°，
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=75°，
又∵∠BDC=45°，
∴∠FDE=30°，
∴∠DFE=180°−∠FDE−∠DEB=75°，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DF=DE，
延长PB到H，使BH=DF，连接AH，PF，则BH=DE，
∴DF=BH，
在△ADF和△ABH中，
AD=AB∠ADF=∠ABH=90°DF=BH,
∴△ADF≌△ABH(SAS)，
∴AF=AH，∠FAD=∠HAB，
∴∠HAF=∠HAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，
∵PF=DE+BP，PH=BH+PB=DE+PB，
∴PF=PH，
在△APH和△APF中，
AP=APAF=AHPH=PF,
∴△APH≌△APF(SSS)，
∴∠PAH=∠PAF，
∴∠PAF=12∠HAF=45°．

【解析】(1)证明△ADM≌△CDM(SAS)，由全等三角形的性质得出AM=CM，由直角三角形的性质证出ME=CM，则可得出结论；
(2)由三角形中位线定理证出BE=2 2AN，由直角三角形的性质证出BD= 2AB，则可得出结论；
(3)连接AC交BD于点O，过点E作EG⊥BD于点G，则四边形OCEG为矩形，求出∠GBE=30°，证明DE=DF，延长PB到H，使BH=DF，连接AH，PF，则BH=DE，证明△ADF≌△ABH(SAS)，由全等三角形的性质得出AF=AH，∠FAD=∠HAB，证明△APH≌△APF(SSS)，由全等三角形的性质得出∠PAH=∠PAF，则可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．