2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学七年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. 2x−3=3x+2B. 1x+1y=2C. x−3y=6D. xy−2=3x
2.如果a>b，那么下列说法正确的是( )
A. 2a−1<2b−1B. −2a>−2bC. m2a>m2bD. a+3>b+3
3.不等式组2x+2>0−x≥−1的解在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4.用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是( )
A. B. C. D.
5.Cbb角是指脊柱弯曲的最大角度，是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一，小华在一次体检中测得∠O=45°，则图中与∠O(∠O除外)相等的角的个数为( )
A. 2个B. 4个C. 5个D. 6个
6.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 2cm，3cm，5cmB. 5cm，6cm，10cm
C. 1cm，2cm，3cmD. 1cm，7cm，9cm
7.若不等式组x+11<4x−1x>m的解集是x>4，则m的取值范围是( )
A. m>4B. m≥4C. m≤4D. m<4
8.如图，AD、CE是△ABC的高，AB=5，BC=4，AD=3，则CE=( )
A. 203
B. 10
C. 125
D. 6
9.如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是( )
A. x+2y=75y=3x
B. 2x+y=75x=3y
C. 2x−y=75y=3x
D. x+2y=75x=3y
10.下列命题中，真命题的个数为( )
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②锐角三角形的三条高的交点一定在三角形的内部；③在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，则△ABC是直角三角形；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和增加180°，外角和不变．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是______．
12.将3x+2y=1写成用含x的代数式表示y的形式，y=______．
13.已知x=1y=5是方程3mx−y=1的解，则m的值为______．
14.不等式2x−1<4的正整数解为______．
15.如果正多边形的一个外角为40°，那么它是正______边形．
16.已知等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则此等腰三角形的周长为______cm．
17.定义一种新运算“aΔb”，当a≥b时，aΔb=a+2b；当a18.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200，后来由于该商品积压商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打______折．
19.在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的角平分线，直线BE与高AD交于点F，若∠ABC=50°，∠CAD=20°，则∠FEC的度数为______度.
20.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E是BC上的点，ED⊥AB于点D，∠CED的平分线交AC于点F，连接BF交ED于点H，∠AFB的角平分线交ED的延长线于点P，若∠CFH=∠EHF，∠ABF=12∠CFE，则∠P= ______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
解方程组：
(1)2x−y=2x+2y=3
(2)2(x−y)=3(1−y)−2x2+y3=2
22.(本小题8分)
关于x，y的二元一次方程组3x+y=m+1x+2y=3m+2(m为常数)，若该方程组的解x，y满足2x−y≤1，求m的取值范围．
23.(本小题8分)
如图为8×9的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知△ABC的三个顶点均在格点上．
按要求画图：
(1)画出△ABC的边BC上的高AD；
(2)在网格中只画一条线段AE(点E在BC上)，使△ACE的面积是△ABE面积的3倍；
(3)直接写出△ABC的面积______．
24.(本小题8分)
如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
(1)若∠B=35°，∠E=20°，求∠BAC的度数．
(2)如图2，过点A作AF⊥BC于点F，若∠B=2∠E，∠ECD=2∠FAC，求∠EAC的度数．
25.(本小题8分)
阅读理解：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称一元一次方程为该不等式组的一个关联方程，如一元一次方程x−1=0的解是x=1，一元一次不等式组x+1>02x−1≤5的解集是−102x−1≤5的一个关联方程．
(1)试说明方程2x−1=3是不等式组4x−5−x+2的一个关联方程；
(2)若关于x的方程x+12=x+m3+1的解是整数，且它是不等式组2(x−5)>−x−7x+1<4的一个关联方程，请求出m的值．
26.(本小题10分)
欣鑫中学开学初准备在商场购进A、B两种品牌的排球，已知购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的排球各需多少元？
(2)开学后学校决定再次购进A，B两种品牌排球共50个，恰逢商场对两种品牌排球的售价进行调整，A品牌排球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌排球的总费用不超过3016元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌排球？
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x轴负半轴上，C(−163,0)，点A(0,n)，点B(m,0)中的m、n是方程组3m−n=22m=n的解．

(1)请直接写出A、B两点的坐标A(______，______)，B(______，______)；
(2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S；
(3)在(2)的条件下，当t=53时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，CQ=5，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿PQ−QC向终点C运动(当点M运动至点C时停止运动)，连接CM、BM，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、是二元一次方程，故本选项符合题意；
D、不是二元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据二元一次方程的定义，逐一判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，“只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程”．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵a>b，∴2a>2b，∴2a−1>2b−1，故本选项不符合题意；
B、∵a>b，∴−2a<−2b，故本选项不符合题意；
C、∵a>b，∴当m≠0时，m2a>m2b，当m=0时，m2a=m2b=0，故本选项不符合题意；
D、∵a>b，∴a+3>b+3，故本选项符合题意．
故选：D．
根据不等式的性质对每一个选项进行判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解不等式组及在数轴上表示不等式组的解集。
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，得出不等式组的解集，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可。
【解答】
解：2x+2>0−x≥−1，
解得x>−1x≤1，
∴不等式组的解集是：−1在数轴上表示为：
故选D。
4.【答案】C
【解析】解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
根据高线的定义即可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵BD⊥OA，AC⊥OB，
∴∠ACO=∠ACB=∠BDO=∠BDA=90°，
∵∠O=45°，
∴∠CAO=90°−∠O=45°，∠DBO=90°−∠O=45°，
∴∠APD=90°−∠CAO=45°，
∴∠APD=∠BPC=45°，
∴图中与∠O相等的角有：∠CAO，∠DBO，∠APD，∠BPC，共有4个，
故选：B．
根据垂直定义可得∠ACO=∠ACB=∠BDO=∠BDA=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CAO=∠DBO=45°，从而可得∠APD=45°，再利用对顶角相等可得∠APD=∠BPC=45°，即可解答．
本题考查了直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、∵2+3=5，∴2cm，3cm，5cm不能组成三角形；
B、∵5+6>10，∴5cm，6cm，10cm能组成三角形；
C、∵1+2=3，∴1cm，2cm，3cm不能组成三角形；
D、∵1+7<9，∴1cm，7cm，9cm不能组成三角形；
故选：B．
判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：不等式组整理得：x>4x>m，
由已知不等式组的解集为x>4，得到m≤4，
故选：C．
不等式组整理后，由已知解集确定出m的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AD，
∴CE=BC⋅ADAB=4×35=125，
故选：C．
根据三角形的面积公式列出CE的方程进行解答便可．
本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，
9.【答案】D
【解析】解：根据图示可得x+2y=75x=3y,
故选：D．
根据图示可得：矩形的宽可以表示为x+2y，宽又是75厘米，故x+2y=75，矩的长可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
10.【答案】D
【解析】解：①是真命题，
②是真命题，
③是真命题，
∵∠A=12∠B=13∠C，
∴设∠C=x，则∠A=3x，∠B=2x，
由三角形内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴∠A=90°，即△ABC是直角三角形，故③是真命题，
④是真命题，
∵n边形内角和为(n−2)×180°，
∴(n−1)边形内角和为(n−1−2)×180°，
∴边数每增加一条，这个多边形的内角和增加(n−2)×180°−(n−3)×180°=180°，
而多边形外角和为360°，故外角和不变，故④是真命题，
因此①②③④都是真命题，
故选：D．
根据三角形的高的性质，多边形内角和公式、外角和，三角形的外角的性质、三角形的内角和定理一一判断即可．
本题考查命题与定理、解题的关键是熟练掌握三角形的高的性质，多边形内角和公式、外角和，三角形的外角的性质、三角形的内角和定理等知识，属于中考常考题型．
11.【答案】三角形的稳定性
【解析】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
根据三角形的稳定性，即可求解．
本题主要考查了三角形的稳定性，解答本题的关键要明确：当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
12.【答案】1−3x2
【解析】解：方程3x+2y=1，
解得：y=1−3x2，
故答案为：1−3x2
把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
13.【答案】2
【解析】解：∵x=1y=5是方程3mx−y=1的解，
∴将x=1y=5代入3mx−y=1得：3m−5=1，解得m=2，
故答案为：2．
将x=1y=5代入3mx−y=1，解方程即可．
本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
14.【答案】1，2
【解析】解：2x−1<4，
2x<5，
x<2.5，
则不等式2x−1<4的所有正整数解为1，2．
故答案为：1，2．
先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到正整数解．
此题考查了一元一次不等式的整数解，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解．
15.【答案】九
【解析】解：360÷40=9．
故它是正九边形．
故答案为：九．
利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
此题主要考查了多边形的外角和，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
16.【答案】15
【解析】解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：
(1)当边长为3cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，3cm，6cm，不满足三角形的三边关系定理，不符合题意；
(2)当边长为6cm的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，6cm，6cm，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为3+6+6=15(cm)；
综上，这个等腰三角形的周长为15cm．
故答案为：15．
等腰三角形两边的长为3cm和6cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
17.【答案】−10
【解析】解：由题意可得，
(−4)Δ3=(−4)−2×3
=(−4)−6
=−10，
故答案为：−10．
根据当a本题考查新定义，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
18.【答案】8
【解析】解：设打了x折，
由题意得，1200×0.1x−800≥800×20%，
解得：x≥8．
答：至多打8折．
故答案为：8．
设打了x折，用售价×折扣−进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
19.【答案】85或135
【解析】解：第一种情况：∠ACB为锐角，如图示：
∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC=50°，
∴∠ABE=12∠ABC=25°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−50°=40°，
∴∠BAE=40°+20°=60°，
∵∠FEC=∠ABF+∠BAE，
∴∠FEC=60°+25°=85°；
第二种情况，∠ACB为钝角，如图示：
∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC=50°，
∴∠ABE=12∠ABC=25°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−50°=40°，
∴∠BAE=40°−20°=20°，
∵∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴∠AEB=180°−25°−20°=135°，
∴∠FEC=135°，
故答案为：85或135．
分两种情况讨论，第一种情况：∠ACB为锐角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出∠ABE=25°，∠BAD=40°，再由三角形外角定理即可求解；第二种情况，∠ACB为钝角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出∠ABE=25°，∠BAE=20°，再由三角形内角和定理求出∠AEB=135°，即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，对顶角，直角三角形的性质以及角平分线的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20.【答案】22.5°
【解析】解：设∠ABF=α，则∠CFE=2α，
∵ED⊥AB，
∴∠HDB=90°，
∴∠BHD=90°−α，
∴∠EHF=90°−α，
∵∠CFH=∠EHF，
∴∠CFH=90°−α，
∵∠ACB=90°，
∴∠CEF=90°−∠CFE=90°−2α，
∵EF平分∠CED，
∴∠CEH=2∠CEF=180°−4α，
由四边形内角和定理得180°−4α+2(90°−α)+90°=360°，
解得α=15°．
∴∠CFH=∠EHF=90°−α=75°，
∴∠EFH=75°−2α=45°，∠CEF=60°=∠FEP，∠AFB=180°−∠CFH=105°，
∵PF平分∠AFB，
∴∠HFP=12∠AFB=52.5°，
∴∠P=180°−60°−45°−52.5°=22.5°，
故答案为：22.5°．
设∠ABF=α，则∠CFE=2α，由四边形内角和定理得180°−4α+2(90°−α)+90°=360°，求得α=15°.进一步计算即可求解．
本题考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是三角形内角和定理的应用．
21.【答案】解：(1)2x−y=2①x+2y=3②，
由②可得：x=3−2y③，
把③代入①，得：2(3−2y)−y=2，
解得：y=45，
把y=45代入③，得x=3−2×45=75，
∴原方程组的解为x=75y=45；
(2)2(x−y)=3(1−y)−2x2+y3=2，
整理，可得2x+y=1①3x+2y=12②，
①×2，可得4x+2y=2③，
②−③，可得−x=10，
解得x=−10，
把x=−10代入①，可得−20+y=1，
解得y=21，
∴原方程组的解为x=−10y=21．
【解析】(1)利用代入消元法解二元一次方程组；
(2)将原方程变形整理后，利用加减消元法解二元一次方程组．
本题考查了解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
22.【答案】解：3x+y=m+1①x+2y=3m+2②
由①−②得：2x−y=−2m−1，
由2x−y≤1得：−2m−1≤1，
解得：m≥−1．
【解析】由加减消元法可得2x−y=−2m−1，再解不等式可得答案．
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
23.【答案】10
【解析】解：(1)如图，线段AD即为所求，
(2)如图所示，线段AE即为所求：
∵S△ACES△ABE=12CE⋅AD12BE⋅AD=CEBE=3，高AD如上图，
∴BE=14BC=14×4=1，
∴线段AE即为所求．
(3)S△ABC=12BC⋅AD=12×4×5=10，
故答案为：10．
(1)根据三角形的高的定义画出图形；
(2)由共高三角形面积比等于底之比即可确定点E的位置；
(3)利用三角形面积公式求解．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握三角形的高，共高三角形面积比等于底之比，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∵∠DCE=∠B+∠E，∠B=35°，∠E=20°，
∴∠DCE=35°+20°=55°，
∴∠ACE=55°，
∵∠BAC=∠ACE+∠E，
∴∠BAC=55°+20°=75°．
(2)∵∠B=2∠E，
∴设∠E=α，则∠B=2α，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∵∠DCE=∠B+∠E，
∴∠DCE=3α，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=3α，
∵∠ECD=2∠FAC，
∴∠FAC=32α，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠ACF=90°−32α，
∵∠ACF+∠DCE+∠ACE=180°，
∴90°−32α+3α+3α=180°，
解得：α=20°，
∴∠B=40°,∠ACF=90°−32×20°=60°，
∵∠EAC=∠B+∠ACF，
∴∠EAC=60°+40°=100°．
【解析】(1)利用角平分线的意义，及∠DCE=∠B+∠E，∠BAC=∠ACE+∠E两次外角定理即可求解；
(2)设∠E=α，通过外角定理表示出∠DCE=3α，通过直角三角形的性质表示出∠ACF=90°−32α，最后由平角的性质建立关于α的方程，求解即可．
本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)∵2x−1=3．
∴x=2．
解不等式组4x−5−x+2得：1∵1<2<73．
∴方程2x−1=3是不等式组4x−5−x+2的一个关联方程．
(2)∵x+12=x+m3+1，
解得：x=2m+3，
对于2(x−5)>−x−7x+1<4，
解得：1∴1<2m+3<3，且2m+3为整数，
∴2m+3=2，
解得m=−12．
【解析】(1)根据关联方程的定义判断；
(2)先表示方程的根，再根据不等式组求出字母的范围即可．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，熟练求解一元一次不等式的步骤是解答此题的关键．
26.【答案】解：(1)设购买一个A品牌排球需要x元、一个B品牌的排球需要y元，
则x+20=y2x+3y=310，
解得：x=50y=70，
答：购买一个A品牌的排球需要50元、一个B品牌的排球70元；
(2)设购买B品牌排球a个，则购买A品牌排球(50−a)个，
由题意得：50×(1+8%)×(50−a)+70×0.9a≤3016，
解得：a≤3169，
∵a取整数，
∴a≤35，
答：最多购买B品牌排球35个．
【解析】(1)设购买一个A品牌的排球需x元，购买一个B品牌的排球需y元，根据“购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设此次购买B品牌排球a个，则购买A品牌篮球(50−a)个，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过3016元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最大值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、解题的关键是：(1)找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；(2)根据总价=单价×购买数量，列出一元一次不等式．
27.【答案】0 4 2 0
【解析】解：(1)3m−n=22m=n，
解得：m=2n=4，
∴点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(2,0)；
故答案为：(0,4)；(2,0)
(2)根据题意得：OB=2，OA=4，
当0∴S=12OA×OP=12×4×(2−2t)=4−4t；
当t>1时，点P在x轴的负半轴，此时OP=2(t−1)=2t−2，
∴S=12OA×OP=12×4×(2t−2)=4t−4；
终上所述，S=4−4t(01)；
(3)当t=53时，S=4×53−4=83，此时OP=−(53×2−2)=−43，
∵点B的坐标为(2,0)，C(−163,0)，
∴BC=223，
如图1，当点M在PQ上时，
∴S△MBC=12BC×MP=83，
即12×223×PM=83，解得：PM=811，
此时点M运动的时间为811÷0.5=1611；
如图2，当点M在CQ上时，过点M作MN⊥x轴于点N，此时点M到x轴的距离为0.5×1611=811，即MN=811，
根据题意得：CP=223−53×2=4，
在Rt△CPQ中，CQ=5，
∴PQ= CQ2−CP2=3，
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把点A(0,4),C(−163,0)代入得：
−163k+b=0b=4，解得：k=34b=4，
∴直线AC的解析式为y=34x+4，
当y=811时，811=34x+4，
解得：x=−4811，
∴ON=4811，
∴CN=3233，
∴CM= CN2+MN2=4033，
∴点M运动的时间为(5+3−4033)÷2=11233；
综上所述，点M运动1611或11233秒时，△AOP与△MBC的面积相等．
(1)解出关于m，n的方程，即可求解；
(2)分两种情况讨论：当01时，点P在x轴的负半轴，
(3)先求出分两种情况讨论：当点M在PQ上时，当点M在CQ上时，即可求解．
本题主要考查了坐标与图形，一次函数的应用，勾股定理，解答本题的关键是数形结合思想的使用．