2024年河北省中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年河北省中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，可以作( )
A. 0条
B. 1条
C. 2条
D. 无数条
2.若非零实数x满足2x+ax=−x，则a的值为( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
3.数学老师给所教的80名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了m元，则每件礼物的价格可表示为( )
A. m80元B. (80−m)元C. 80m元D. 80m元
4.嘉淇想知道一张普通A4打印纸的厚度，她将一包500张的打印纸压实测得厚度为4cm，则一张A4打印纸的厚度约为( )
A. 2×10−1cmB. 8×10−1cmC. 8×10−2cmD. 8×10−3cm
5.如图，一张正方形木板ABCD，点E，F分别在AD，DC上，沿EF锯掉△EDF得到五边形ABCFE，五边形ABCFE的周长为m，正方形ABCD的周长为n，则下列正确的是( )
A. m>n
B. m=n
C. m0时，若(m−5,y1)(m,y2)在图象上，则y1b).同学们分别用若干张卡片拼出其他不重叠无缝隙的图形．

(1)嘉嘉用一张甲和两张乙拼出如图2的图形，面积记为S，请你用a，b表示出面积S并求出当a=5，b=3时S的值；
(2)琪琪对嘉嘉说，我在你拼的图里再放一张卡片就能拼成一个大正方形．
①琪琪放入的卡片是______(选填“甲”“乙”或“丙”)；
②根据琪琪新拼出的图形面积，可以得到一个等式，请直接写出这个等式．
22.(本小题9分)
某班体育期末测试中有一项为定点投篮，规定每名同学投5次，投中1次记1分，测试时两名同学请假未到校，其余同学的成绩如图所示，
(1)直接写出这些同学投篮成绩的众数和中位数；
(2)规定初中生定点投篮命中率达到65%为合格，求参加测试的这些同学在该项目中的合格率；
(3)若两名请假的同学补测后发现全班成绩的中位数与众数都发生了变化，直接写出补测的两名同学的成绩．
23.(本小题10分)
如图1为某游乐场“海盗船”未启动时的示意图，船体为AB，MN为地面，O为转轴，P为船最中间的位置，OP与AB交于点C，测得tan∠OBA=34，AB=16米，转轴O到地面的高度为13米．

(1)直接写出OP与AB的位置关系并求未启动时P到地面的高度；
(2)“海盗船”启动后，当A或B转到与O同一高度时开始折返，如图2，船体AB转到了A′B′，船体旋转了多少度？
(3)从A在最高点到B在最高点，求P点经过的路径长度.(参考数据：tan37°=34)
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴，x轴交于点B，点C，l1与l，交于点D(1,m)，连接OD，已知OC的长为4．
(1)求点D的坐标及直线l2的解析式；
(2)求△AOD的面积；
(3)若直线l2上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积，直接写出点P的坐标．
25.(本小题11分)
如图，国家会展中心的大门的截面图是由抛物线ADB和矩形ABCO构成的，矩形ABCO的边OA=34米，OC=9米，以OC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为(92,245)．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需要对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN垂直x轴，ON=7.5米，工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是2.4米．
①判断工人师傅能否刷到顶点D；
②设点E是OM上方抛物线上的一点，且点E的横坐标为m，直接写出他不能刷到大门顶部的对应点E的横坐标的范围．
26.(本小题13分)
如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边AB，BC上，且CE⊥DF于点O．
(1)试猜想线段CE与DF的数量关系为______；
(2)数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：
①如图2，在正方形ABCD中，若点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于点O，求证：EG=FH；
②如图3，将①中的条件“在正方形ABCD中”改为“在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a”，其他条件不变，试推理线段EG与FH的数量关系；
③如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=60°，AB=BC=CD=6，点M为AB的三等分点，连接CM，过点D作DN⊥CM，垂足为点O，直接写出线段DN的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图，连接OA，由于过点A有且只有一条直线与OA垂直，
所以过⊙O上一点A有且只有一条直线与⊙O相切，
故选：B．
根据切线的性质以及“过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直”进行解答即可．
本题考查切线的性质，掌握“过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直”以及切线的性质是正确解答的关键．
2.【答案】D
【解析】解：2x+ax=−x，
2x+ax+x=0，
(2+a+1)x=0，
∵x是非零实数，
∴2+a+1=0，
∴a=−3．
故选：D．
根据合并同类项运算法则运算判断即可．
本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项运算法则是关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题知，
因为m元购买了80件相同的纪念品，
所以每件礼物的价格可表示为m80元．
故选：A．
根据单价等于总价除以总数量即可解决问题．
本题考查列代数式，熟知单价、总价及总数量之间的关系是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：4÷500=0.008(cm)=8×10−3(cm)，
故选：D．
根据题意列式计算后利用科学记数法表示该数即可．
本题考查科学记数法，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由图中n−m=DF+DE−EF>0，
得n>m．
故选：C．
由图中n−m=DF+DE−EF>0，即可得n>m．
本题主要考查了图形周长的比较大小，解题关键是三角形三边关系的应用．
6.【答案】D
【解析】解：∵x−2x−3−1x−3=x−3x−3=1，
∴1x−3+1=x−2x−3，
故选：D．
运用同分母分式相加减方法进行运算．
此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．
7.【答案】B
【解析】解：延长AD与BC交于点E，如下图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
又∵△ACD为等腰直角三角形，AC=CD，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+45°=105°，
∴∠E=180°−(∠ABC+∠BAD)=180°−(60°+105°)=15°．
即直线BC与直线AD的夹角为15°．
故选：B．
延长AD与BC交于点E，根据等边三角形和等腰直角三角形性质得∠ABC=∠BAC=60°，∠CAD=45°，进而得∠BAD=105°，然后根据三角形内角和定理求出∠E即可．
此题主要考查了据等边三角形和等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：甲：我要消掉x，所以①×(−4)+②×3得：−12x+8y+12x+15y=−20+18，
即：23y=−2，
故甲正确；
乙：我要消掉y，所以①×(−5)−②×2得：−15x+10y−8x−10y=−25−12，
即：−23x=−37，
故乙正确；
所以，甲乙方法都可行，
故选：A．
利用加减消元法进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意列表如下：
共有6种等可能的情况数，其中合上任意两个开关，小灯泡发光的有4种，
则合上任意两个开关，小灯泡发光的概率是46=23．
故选：C．
根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】C
【解析】解：由作图痕迹可知，直线DE为线段BC的垂直平分线，BD为∠ABC的平分线，
∴∠BED=90°，∠DBE=12∠ABC=25°，
∴∠BDE=180°−∠BED−∠DBE=65°．
故选：C．
由作图痕迹可知，直线DE为线段BC的垂直平分线，BD为∠ABC的平分线，则∠BED=90°，∠DBE=12∠ABC=25°，结合三角形内角和定理可得答案．
本题考查作图—基本作图、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理、基本尺规作图的方法是解答本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：钟表一圈360°，共有12个数字，平均分成12份，
∴相邻两个数字之间的夹角为360°÷12=30°，
∵小萍从地图上测得学校在她家的北偏东60°方向，
∴她可以说学校在家2点钟的方向．
故选：B．
首先求出相邻两个数字之间的夹角为360°÷12=30°，进而根据方位角求解即可．
本题考查了方向角，关键是找对观测点．
12.【答案】D
【解析】解：如图：连接OC、DC、EC，则OC=OD，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴BC⊥OC，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠OCB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠OCD=90°，∠E+∠ODC=90°，
∵∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
∴∠DBC=∠CBE，
∴△DBC∽△CBE，
∴BCBE=BDBC，
由题意得BD=9−1=8，BE=19−1=18，∠A=90°，∠ABC=30°，
∵BC= BD⋅BE= 8×18=12，
∴AC=12BC=6，
故选：D．
连接OC、DC、EC，由切线的性质得BC⊥OC，而DE是⊙O的直径，所以∠OCB=∠DCE=90°，推导出∠BCD=∠E，再证明△DBC∽△CBE，得BCBE=BDBC，因为BD=8，BE=18，所以BC= BD⋅BE=12，则AC=12BC=6，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：2x2÷x=2x，
(x3+xy)÷x=x2+y，
2x×(x2+y)=2x3+2xy，
故选：B．
根据长方形的面积公式，分别算出AD和DC的长；再相乘计算出ABCD的面积．
本题考查了列代数式，解题的关键是运用长方形的面积公式来解答．
14.【答案】C
【解析】解：A.由OA=OC，OB=OD，可得四边形ABCD为平行四边形，说法正确；
B.△ABC中，若∠A+∠C=90°，则∠B=90°，则平行四边形ABCD为矩形，说法正确；
C.若AC=2OB，则AC=BD，则平行四边形ABCD为矩形，不能得到四边形ABCD为正方形，说法错误；
D.若射线BO平分∠ABC，则平行四边形ABCD中∠ABO=∠CBO=∠ADO，则AB=AD，则四边形ABCD为菱形，说法正确；
故选：C．
逐一分析即可．
本题主要考查了翻折，解题关键是平行四边形和菱形的判定的应用．
15.【答案】C
【解析】解：设y与t的关系式为y=kt+b(k、b为常数，且k≠0)．
将坐标(10,0)和(12,4)代入y=kt+b，
得10k+b=012k+b=4，
解得k=2b=−20，
∴y与t的关系式为y=2t−20(t≥10)．
当注满水杯时，y=10，得2t−20=10，
解得t=15．
故选：C．
利用待定系数法求出y与t的关系式，当y=10时求出对应t的值即可．
本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：由题意，令y=0，
∴0=a(x−m)(x−m+6)．
又a≠0，
∴x=m或x=m−6．
∴A、B两点为(m,0)，(m−6,0)．
∴对称轴是直线x=m+m−62=m−3．
∴当x=m−3时，y=a×(−3)×3=−9a．
∴顶点D(m−3,−9a)，故①正确．
∵A、B两点为(m,0)，(m−6,0)．
∴AB=6．
又D(m−3,−9a)，
∴S△ABD=12×6×|−9a|=27|a|，故②错误．
∵a>0，
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小．
∵|m−5−(m−3)|=22.4，

∴工人师傅不能刷到顶点；
②过E作x轴的垂线交直线OM于点F，

∵点E的横坐标为m，
∴E(m,−15(m−92)2+245)，F(m,25m)，
∴EF=−15(m−92)2+245−25m=−15m2+75m+34=−15(m−72)2+165．
∵师傅能刷到的最大垂直高度是125m，
∴当EF>125时，他就不能刷到大门顶部，
当EF=125，即−15(m−72)2+165=125时，
解得m1=32,m2=112．
又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是32