2023-2024学年江苏省无锡市宜兴市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市宜兴市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列调查中适合采用全面调查的是( )
A. 调查市场上某种白酒的塑化剂的含量
B. 调查鞋厂生产的鞋底能承受弯折次数
C. 了解某火车的一节车厢内感染禽流感病毒的人数
D. 了解某城市居民收看辽宁卫视的时间
3.下列成语所描述的事件，是随机事件的是( )
A. 守株待兔B. 旭日东升C. 水涨船高D. 水中捞月
4.下列说法中正确的是( )
A. 矩形的对角线互相垂直平分B. 菱形的对角线相等
C. 有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三边相等的四边形是菱形
5.若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是
( )
A. xy+1B. x+yx+1C. xyx+yD. 2x3x−y
6.从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是
( )
A. 875x−875x−100=1B. 875x−875x+100=1
C. 875x+100−875x=1D. 875x−100−875x=1
7.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若AE=4，AF=6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为( )
A. 24B. 36C. 40D. 48
8.如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形ABCD内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形ABCD的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为
( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
9.如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M.若AH=GH，则CM的长为( )
A. 12B. 34C. 1D. 54
10.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将▵ABC绕点C顺时针旋转αα<90∘得到▵EFC，延长EF分别交AB、CD于M、N，当N为EM中点时，DN的长为
( )
A. 43B. 35C. 78D. 58
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在平行四边形ABCD中，若∠A=∠B+50∘，则∠B=_____度．
12.当x=_______时，分式x2−4x+2的值为零．
13.已知一组数据有50个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频数是________．
14.若关于x的方程x+mx−3+3m3−x=3的解为正数，则m的取值范围是____．
15.有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是_____．
16.如图，在▱ABCD中，∠A=65°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1的大小为______．
17.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P在矩形内，连接AP，BP，CP，已知∠APB=90∘，CP=CB，延长CP交AD于点E，则AE=_____．
18.如图1，已知矩形纸片ABCD，AB=4，AD=7，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上(如图2)，则DF=_____；然后将▵FBE绕点F旋转到▵FMN，当MN过点C时旋转停止，则EN=_____．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.(1)化简：1a+b+1a−b÷aa−b；(2)解方程：x−52x−4=3x−7x−2−1．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
先化简x−1−3x+1÷x2+4x+4x2+x，再从−2,−1，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值．
21.(本小题8分)
某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．

(1)这次抽样调查的样本容量是______，并补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中喜爱篮球项目的学生人数所对应的圆心角为______度．
(3)该校共有1600名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少人?
22.(本小题8分)
在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据：
(1)表中的a=____；b=____；
(2)从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是___；(精确到0.1)
(3)袋中白球个数的估计值为____．
23.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE．
(1)求证：∠AFD=∠EBC；
(2)若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．
25.(本小题8分)
我校在开学前去商场购进A，B两种品牌的乒乓球拍，购买A品牌球拍共花费1800元，购买B品牌球拍共花费700元，且购买A品牌球拍数量是购买B品牌球拍的3倍，已知购买一副B品牌球拍比购买一副A品牌球拍多花5元．
(1)求购买一副A品牌、一副B品牌球拍各需多少元？
(2)为了进一步发展“校园乒乓球”，学校在开学后再次购进了A，B两种品牌的球拍，每种品牌的球拍都不少于16副，在购买时，商场对两种品牌的球拍的销售单价进行了调整，A品牌球拍销售单价比第一次购买时提高了5%，B品牌球拍按第一次购买时销售单价的6折出售且总花费恰好为903元，那么此次有哪些购买方案？
26.(本小题8分)
如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A83,0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB方向移动，作▵PAO关于直线PO的对称▵PA′O，设点P的运动时间为t(s)．
(1)如图2.当C0,2，且点A′落在OB上时，求此时A′的坐标；
(2)若直线PA′与直线BC相交于点M，且t<2时，∠POM=45∘．
①求点C的坐标；
②当t≥2时，∠POM的大小是否发生变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键．根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180∘，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，逐项进行分析即可．
【详解】解：A、数量较大，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；
B、数量较大，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；
C、事关重大，因而必须进行全面调查，符合题意；
D、数量较大，不容易普查，适合抽查，不符合题意．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A.守株待兔，有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，符合题意；
B. 旭日东升，是必然事件，不符合题意；
C. 水涨船高，是必然事件，不符合题意；
D. 水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
故选A．
本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
利用矩形、菱形的性质和判定解答即可．
【详解】解：A.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，故本选项不合题意；
B.菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故本选项不符合题意；
C.有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项合题意；
D.四条边都相等的四边形是菱形，故本选项不合题意．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】由x、y的值均扩大为原来的3倍，可得x,y分别扩大3倍后为3x,3y,再代入各选项，利用分式的基本性质约分，从而可得答案．
【详解】解：∵x、y的值均扩大为原来的3倍，
∴ xy+1变为：3x3y+1，所以分式的值发生了变化，故A不符合题意；
∴ x+yx+1变为：3x+3y3x+1，所以分式的值发生了变化，故B不符合题意；
∴ xyx+y变为：3x•3y3x+3y=9xy3x+y=3xyx+y,，所以分式的值发生了变化，故C不符合题意；
∴ 2x3x−y变为：2×3x3×3x−3y=6x33x−y=2x3x−y,，所以分式的值没有发生了变化，故D符合题意；
故选：D.
本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．根据题意可得等量关系为乘坐高速动车组列车的时间=乘坐普通动车组列车的时间−1，根据等量关系列式即可判断．
【详解】解：根据题意，得875x+100=875x−1，
即875x−875x+100=1．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查的是平行四边形的性质，二元一次方程组的解法．由平行四边形的性质与等面积法可得方程组，解之从而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC，
由等面积法可得：S▱ABCD=BC⋅AE=CD⋅AF,
∴2BC=3CD①2BC+2CD=40②
把①代入②得：CD=8，
∴BC=12，
∴S▱ABCD=4×12=48
故选：D．
8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了整式加减的应用，整体代换运算；设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，由已知条件得x+y=15，由两正方形之间的关系得BC=x+y−b，AB=x+y−a，由长方形的周长和可得x+y−b+x+y−a=24，即可求解；
理解两正方形周长和两长方形周长之间的关系是解题的关键．
【详解】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，
∵两个正方形的周长和为60，
∴4x+4y=60，
∴x+y=15，
∴BC=x+y−b，
AB=x+y−a，
∵长方形ABCD的周长为48，
∴2BC+2AB=48，
∴BC+AB=24，
∴x+y−b+x+y−a=24，
∴2x+y−a+b=24，
∴30−a+b=24，
∴a+b=6，
∴2a+b=12，
∴重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为12；
故选：D．
9.【答案】D
【解析】【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，利用已知条件和正方形的性质得到▵ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到▵MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．
【详解】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=HG=GF=EF，AH//GF，
∵AH=GH，
∴AH=HE=GF=EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG．
∴BE=EF=GF=FC．
∵AE⊥BF，
∴AB=AF，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠DCG=∠FAE，
∵AH//GF，
∴∠FAE=∠GFK．
∵∠GFK=∠CFM，
∴∠CFM=∠DCG，
∴MF=MC，
∵MN⊥FC，
∴CN=NF=12CF，
∴CN=14CG．
∵MN⊥CG，DG⊥CG，
∴MN//DG，
∴CMCD=CNCG=14，
∵CD=5，
∴CM=54．
故选：D．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当地添加辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】如图，连接CM，证明∠BMC=∠MCD，再证明Rt▵CBM≌Rt▵CFM，可得∠BMC=∠FMC，证明∠FMC=∠NCM，可得NM=NC，证明NC=NM=NE，可得NF=4−NC，再利用勾股定理进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接CM，
∵矩形ABCD，AB=4，BC=3，
∴AB/​/CD，AB=CD=4，∠B=90∘，
∴∠BMC=∠MCD，
由旋转可得：CB=CF=3，AB=EF=4，∠CFE=∠CFM=90∘，
∴∠B=∠CFM=90∘，而CM=CM，
∴Rt▵CBM≌Rt▵CFM，
∴∠BMC=∠FMC，
∴∠FMC=∠NCM，
∴NM=NC，
∵N为EM的中点，
∴NC=NM=NE，
∴NF=4−NC，
由勾股定理可得：4−NC2+CF2=NC2，
∴4−NC2+32=NC2，
∴NC=258，
∴DN=4−258=78，
故选C
本题考查的是旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
11.【答案】65
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行四边形ABCD中AD/​/BC，得到∠A+∠B=180∘，即可求解．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，
∴∠A+∠B=180∘，
∵∠A=∠B+50∘，
∴∠B+50∘+∠B=180∘，
解得：∠B=65∘，
故答案为：65．
12.【答案】2
【解析】【分析】根据分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，即可求出x的值．
【详解】解：∵分式x2−4x+2的值为零，
∴x2−4=0x+2≠0,
∴x=2，
故答案为：2．
本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值为零．
13.【答案】12
【解析】【分析】根据频数之和等于总数，总数乘以频率等于频数，进行求解即可．掌握总数乘以频率等于频数，是解题的关键．
【详解】解：∵第五组的频率是0.2，
∴第五组的频数为50×0.2=10，
∴第六组的频数是50−10−5−7−6−10=12；
故答案为：12．
14.【答案】m<92且m≠32
【解析】【分析】根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x的方程x+mx−3+3m3−x=3的解为正数和x−3≠0可以求得m的取值范围．
【详解】解：x+mx−3+3m3−x=3，
方程两边同乘以x−3，得
x+m−3m=3(x−3)
去括号，得
x+m−3m=3x−9
移项及合并同类项，得
2x=−2m+9
系数化为1，得
x=−2m+92，
∵关于x的方程x+mx−3+3m3−x=3的解为正数且x−3≠0，
∴−2m+92>0−2m+92−3≠0,
解得，m<92且m≠32．
本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
15.【答案】73
【解析】【分析】本题考查的是分式方程的应用，设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程．由甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，再建立方程组即可．
【详解】解：设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程．
由题意得，101x+1y=13x+3y，
∴7y=3x，
∴xy=37，
∴1x:1y=yx=73，
∴甲的工作效率与乙的工作效率的比是73．
故答案是：73
16.【答案】50°/50度
【解析】【分析】由旋转的性质得出BC=BC1，由等腰三角形的性质得出∠BCC1=∠C1，由旋转角∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，
∴BC=BC1 ，
∴∠BCC1=∠C1，
∵∠A=65°，
∴∠A=∠BCD=∠C1=65°，
∴∠BCC1=∠C1=65°，
∴∠CBC1=180°−2×65°=50°，
∴∠ABA1=50°，
故答案为：50°．
本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明∠BCC1=∠C1．
17.【答案】83/223
【解析】【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长AP交CD于F，根据已知条件得到∠CPF+∠CPB=90∘，根据矩形的性质得到∠DAB=∠ABC=90∘，BC=AD=6，根据余角的性质得到∠EAP=∠ABP，进一步推出AE=PE，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：延长AP交CD于点F，如图，
∵∠APB=90∘，
∴∠FPB=90∘，
∴∠CPF+∠CPB=90∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90∘，BC=AD=6，
∵∠EAP+∠BAP=∠ABP+∠BAP=90∘，
∴∠EAP=∠ABP，
∵CP=CB=6，
∴∠CPB=∠CBP，
∴∠CPF=∠ABP=∠EAP，
∵∠EPA=∠CPF，
∴∠EAP=∠APE，
∴AE=PE，
∵CD2+DE2=CE2，
∴82+6−AE2=6+AE2，解得AE=83．
故答案为：83．
18.【答案】 3 245
【解析】【分析】连接CF，证四边形ABEF是正方形，得AB=BE=EF=AF=4，进而得DF=AD−AF=3，CE=BC−BE=3，由勾股定理得CF=5，证明Rt▵ECF≌Rt▵NCFHL得CN=CE=3，EF=NF=4，从而CF垂直平分EN，CF⊥EN，最后利用面积公式构造方程即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90∘，AB=CD=4，AD=BC=7，
∵将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上，
∴AB=BE，∠BEF=90∘，
∴四边形ABEF是矩形，∠CEF=180∘−90∘=90∘，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是正方形，
∴AB=BE=EF=AF=4，
∴DF=AD−AF=3，CE=BC−BE=3，
如图所示，连接CF，
∴CF= CE2+EF2= 32+42=5，

∵将▵FBE绕点F旋转到▵FMN，
∴∠BEF=∠CNF=90∘，EF=NF，
∵CF=CF，
∴Rt▵ECF≌Rt▵NCFHL，
∴CN=CE=3，EF=NF=4，
∴点C在EN的垂直平分线上，点F在EN的垂直平分线上，
∴CF⊥EN，
∴S四边形ECNF=12×EN×CF=2×12×4×3=12，即12×5EN=12，
∴EN=245，
故答案为：3，245．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=a−b+a+ba+b⋅a−b⋅a−ba
=2aa+b⋅a−b⋅a−ba
=2a+b．
(2)x−52x−4=3x−7x−2−1，
两边同乘2x−4得：x−5=6x−14−2x+4，
整理得：3x=5，
得：x=53，
经检验：x=53是原方程的根，
所以，原方程的根是x=53．

【解析】【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的解法，掌握相应的运算法则是解本题的关键；
(1)先计算括号内的分式的加法运算，再计算除法运算即可；
(2)先把方程去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
20.【答案】解：x−1−3x+1÷x2+4x+4x2+x，
=x2+xx+1−x+1x+1−3x+1÷x2+4x+4x2+x，
=x2−4x+1÷x2+4x+4x2+x，
=x+2x−2x+1⋅xx+1x+22，
=x2−2xx+2；
根据分式有意义的条件，x不能为−2,−1，0，
当x=1时，原式=−13．

【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式化简，再代入求值即可，熟练掌握计算法则是解题的关键．
21.【答案】(1)解：根据题意得：10÷25%=40(人)
答：本次被调查的学生人数是40人．
故答案为：40．
喜欢足球的有40×30%=12(人)，
喜欢跑步的有40−10−15−12=3(人)，
补图如下：
(2)解：360∘×1540=135∘，
故答案为：135；
(3)解：1600×15−1240=120(人)
∴全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数大约多120人．

【解析】【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体的数量；
(1)根据跳绳的人数及其占比即可求得抽查的人数；根据抽查的总人数及足球的占比可求得喜欢足球的人数，进而求得喜欢跑步的人数，即补全条形统计图；
(2)喜欢篮球的占比与360∘之积即可求得圆心角度数；
(3)用样本估计总体的思想即可求得．
22.【答案】(1)解：由表可得a=600×0.415=249，b=600÷1500=0.4，
故答案为：249，0.4；
(2)解：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，据此可估计摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.4；
(3)解：设白球有x个，
根据题意得：1212+x=0.4，
解得x=18，
经检验：x=18是分式方程的解，
∴估算这个不透明的口袋中白球有18个．
故答案为：18．

【解析】【分析】(1)根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
(2)从表中的统计数据可知，摸到黑球的频率稳定在0.4左右；
(3)摸到黑球的概率为0.4，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB//DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF,
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(2)证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．

【解析】【分析】(1)根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE；
(2)证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，
在△DCE和△BCE中
DC=CB∠DCE=∠BCEEC=EC,
∴△DCE≌△BCE(SAS)，
∴∠CDE=∠CBE，
∵CD // AB，
∴∠CDE=∠AFD，
∴∠EBC=∠AFD．
(2)分两种情况，
①如图1，当F在AB延长线上时，
∵∠EBF为钝角，
∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，
可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x=180，
解得：x=30，
∴∠EFB=30°．
②如图2，当F在线段AB上时，
∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，
可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，
得x+2x=90，
解得：x=30，
∴∠EFB=120°．
综上：∠EFB=30°或120°．

【解析】【分析】(1)直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE(SAS)，即可得出答案；
(2)利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当F在AB延长线上时；②当F在线段AB上时；分别求出即可．
此题主要考查了菱形的性质以及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
25.【答案】(1)解：设：一副A品牌球拍需x元、一副B品牌球拍需x+5元，
∴1800x=700x+5×3
解得：x=30，
经检验：x=30是原分式方程的解，
∴x+5=35，
∴一副A品牌球拍需30元、一副B品牌球拍需35元．
(2)解：调整价格后，一副A品牌球拍需30×1+5%=31.5元，一副B品牌球拍需35×0.6=21元，
设：此次购买m副A品牌球拍与n副B品牌球拍，
∴31.5m+21n=903，
∴m=863−23n，
∵每种品牌的球拍都不少于16副，
∴863−23n≥16n≥16,
解得：16≤n≤19，
∴n的取值有：16、17、18、19，
∴当n=16时，31.5m+21×16=903，此时m=18，
当n=17时，31.5m+21×17=903，此时m不是整数，不合题意，
当n=18时，31.5m+21×18=903，此时m不是整数，不合题意，
当n=19时，31.5m+21×19=903，此时m=16，
∴方案一：购买18副A品牌球拍与16副B品牌球拍，
方案二：购买16副A品牌球拍与19副B品牌球拍．

【解析】【分析】(1)设一副A品牌球拍需x元、一副B品牌球拍需x+5元，根据购买A品牌球拍数量是购买B品牌球拍的3倍，列出方程解答即可；
(2)先求出A品牌球拍与B品牌球拍的单价，设此次购买m副A品牌球拍与n副B品牌球拍，根据花费恰好为903元，列出m与n的关系式，利用每种品牌的球拍都不少于16副，列出不等式，求出n的取值范围，通过分析得出结论即可．
本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，注意分式方程需检验，正确理解题目意思并列出方程与不等式是解题的关键．
26.【答案】(1)解：如图，过点A′作A′Q⊥AB于点Q，
∵矩形OABC中，A83,0，C0,2，
∴OA=83，AB=2，
∴OB= OA2+AB2=103，
由对称得OA′=OA=83，AP=A′P，则A′B=OB−OA′=23，
设AP=A′P=x，则BP=AB−x=2−x，
由勾股定理得：A′B2+A′P2=BP2，
即232+x2=2−x2，
解得：x=89，
∴BP=AB−AP=2−89=109，
∵∠PA′B=90∘，
∴S▵A′BP=12A′B⋅AP=12BP⋅A′Q，即23×89=109A′Q，
解得A′Q=815，
∴点A′的横坐标为83−815=3215，
设OB的函数表达式为y=kx，
将B83,2代入得：k=34，
∴OB的函数表达式为y=34x，
将x=3215代入得：y=34×3215=85，
∴A′3215,85；
(2)解：①连接OM，
∵∠POM=45∘，∠AOC=90∘，
∴∠1+∠4=45∘，∠2+∠3=45∘，
∵▵PAO和▵PA′O对称，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
又∵∠OCM=∠OA′M=90∘，OM=OM，
∴▵OMC≌▵OMA′AAS，
∴OC=OA′=OA=83，
∴C0,83；
②(Ⅰ)当2≤t<83时，
∵▵OMC≌▵OMA′，▵OAP≌▵OA′P，
∴∠POM=12∠AOA′+12∠COA′=12∠AOC=45∘，
(Ⅱ)当t>83时，Rt▵OMA′≌Rt▵OMCHL，
∴∠1=∠2，
∵OC//AP，
∴∠3=∠OPA，
由折叠的性质可得：∠4=∠OPA，∠A′=∠OAP=90∘，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90∘，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=45∘，即∠POM=45∘．
综上：不会改变．

【解析】【分析】(1)过点A′作A′Q⊥AB于点Q，设AP=A′P=x，则BP=AB−x=2−x，由勾股定理解Rt▵BA′P求出x，再利用面积法求出A′Q，利用待定系数法求出OB的函数表达式，即可求解；
(2)①连接OM，根据▵PAO和▵PA′O对称，可得∠3=∠4，结合∠POM=45∘，得出∠1=∠2，再证▵OMC≌▵OMA′AAS，推出OC=OA′=OA=83，即可求解；
②分2≤t<83和t>83两种情况，利用折叠的性质及全等三角形的性质分别证明即可．
本题考查坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正比例函数、矩形的性质等知识点，利用折叠的性质找出全等三角形是解题的关键．
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到黑球的频数
64
123
a
367
486
600
摸到黑球的频率
0.427
0.410
0.415
0.408
0.405
b