人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题19一次函数的最值问题-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题19一次函数的最值问题-原卷版+解析，共35页。

◎考法类型1 坐标系中两点之间的距离最值问题
方法技巧：①点到直线的垂线段最短；②两点之间线段最短。
1．如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（－，－）B．（，）C．（－，－）D．（0，0）
2．如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，点P是直线y＝﹣x＋2上一动点，当线段OP最短时，OP的长为__．
◎考法类型2 坐标内的线段和（差）最值问题
方法技巧：运用“将军饮马”模型和最小，差最大
4．（2023春·八年级课时练习）如图，已知点，点，点D是一次函数上的点，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
5．（2022·广东东莞·校考一模）如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为，在y轴上有一点P使的值最小，则点P坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
◎考法类型3 坐标系中三角形周长最小问题
方法技巧：通常已知一线段是定值，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小
8．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，且点C坐标为，点D为线段的中点，点P为上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·甘肃酒泉·八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点，D为线段的中点，P为y轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，AC⊥y轴，D是OB的中点．E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（0，）B．（0，1）C．（0，）D．（0，2）
11．（2020秋·四川达州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，1)，B(3，5)，要在x轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．(0，1)B．(0，2)C．(，0)D．(，0)或(0，2)
12．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，一次函数与的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，且．
(1)求线段的长；
(2)试探索的面积是否是一个定值？若是，求出的面积；若不是，请说明理由；
(3)当t为何值时，的周长最小，并求出周长的最小值．
◎考法类型4 坐标系中四边形周长最小问题
方法技巧：已知两线段为定值，通过平移的方法，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小
13．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）一条直线与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点P是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），过点P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的周长为8，则点A的坐标为______．
14．（2022春·河南南阳·八年级统考期末）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y=2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的周长为______．
15．（2022春·吉林·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，轴，则菱形ABCD的周长是______．
16．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）已知直线：经过点，将直线向上平移个单位得直线，与x轴交于点C，直线与直线关于直线对称，且与相交于B．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点P在x轴上，点Q在y轴上，当四边形的周长最小时，求点P、Q点的坐标．
◎考法类型5 其它最值问题
方法技巧：根据具体题型求最值
17．（2022春·福建福州·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，点，，，点C在直线AB上，且，，．
(1)求n和b的值；
(2)若三角形的面积为6，求m的值；
(3)过点A作直线轴，D是直线l上的一动点．若，求CD的最小值．
18．（2022秋·江苏·八年级期末）如图1，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)则点A的坐标为_______，点B的坐标为______；
(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB＝PE，求证：∠BPE＝2∠OAB；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝2∠OAB．连接OQ．
①则图中（不添加其他辅助线）与∠EPA相等的角有______；（都写出来）
②试求线段OQ长的最小值．
19．（2022春·山东淄博·七年级校考期中）某班“数学兴趣小组，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x可以是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中m＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．
（3）观察函数图象发现：
①该函数的最小值为 ；该函数是轴对称图形吗？ （填“是”或“否”）；若是，其对称轴是 ．
②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是 ．
（4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组：的解是 ．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
m
2
培优专题19一次函数的最值问题
【考法导图】
◎考法类型1 坐标系中两点之间的距离最值问题
方法技巧：①点到直线的垂线段最短；②两点之间线段最短。
1．如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（－，－）B．（，）C．（－，－）D．（0，0）
【答案】A
【分析】先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由于点B在直线y＝x上运动，所以△AOB′是等腰直角三角形，由勾股定理求出OB′的长即可得出点B′的坐标．
【详解】先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当点B与点B′重合时AB最短，
∵点B在直线y＝x上运动，
∴∠AOB′＝45°，
∵AB′⊥OB，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
过B′作B′C⊥x轴，垂足为C，
∴△B′CO为等腰直角三角形，
∵点A的坐标为（−1，0），
∴OC＝CB′ ，
∴B′坐标为，
即当B与点B′重合时AB最短，点B的坐标为.
故答案选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、垂线段最短和等腰直角三角形的性质，找到表示B′点坐标的等腰直角三角形是解题的关键．
2．如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=1，由此可得出结论．
【详解】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，
∵垂线段最短，
∴当点B与点D重合时线段AB最短．
∵直线OB的解析式为y=x，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OE=OA=，
∴D（-，-）．
故选B．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3．（2021秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，点P是直线y＝﹣x＋2上一动点，当线段OP最短时，OP的长为__．
【答案】
【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长度，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，利用三角形的面积列式即可求解．
【详解】解：当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，
∴点A、B的坐标是A（0，2），B（4，0），
∴AB＝＝＝2，
根据垂线段最短的性质，OP⊥AB时，OP最短，
此时，S△AOB＝×OA×OB＝×AB×OP，
即×2×4＝××OP，
解得OP＝．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，主要利用勾股定理，垂线段最短的性质，根据直线解析式求出点A、B的坐标是解题的关键．
◎考法类型2 坐标内的线段和（差）最值问题
方法技巧：运用“将军饮马”模型和最小，差最大
4．（2023春·八年级课时练习）如图，已知点，点，点D是一次函数上的点，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】D
【分析】设直线与y轴交于点M，与x轴交于点C，连接，并延长到点，使，过点A作于点E，过点作轴于点，证明直线垂直平分，连接交直线于一点D，连接，求出，求出即可．
【详解】解：设直线与y轴交于点M，与x轴交于点C，连接，并延长到点，使，过点A作于点E，过点作轴于点，
把代入得：，则点，
把代入得：，则点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线垂直平分，
连接交直线于一点D，连接，
∴，
∴，此时最小，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴最小值为5，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，直角坐标系中两点之间距离，解题的关键是作出辅助线，找出使时，点D的位置．
5．（2022·广东东莞·校考一模）如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由轴对称性质可知：作D点关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，此时值最小，再求出直线的解析式，即可求得P点坐标．
【详解】解：如图所示：作D点关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，此时值最小，且最小值为，
∵直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，
∴令x=0，则y=8，则 ，
令y=0，则x=-8，则 ，
∵点C，D分别为线段AB，OB的中点，
， ，
D点关于x轴的对称点为，
，
设直线 解析式为 ，
将，代入得： ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
∵P为直线与x轴交点，
∴令y=0，则x=-2，
．
故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，中点坐标，轴对称中的最短路径问题，熟练掌握轴对称中的最短路径问题和求一次函数解析式是解题的关键．
6．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为，在y轴上有一点P使的值最小，则点P坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过轴对称最短路径求解方法先找出符合题意的点P，再求解函数解析式即可．
【详解】如图，将点沿轴对称至，连接，与轴交于点，此时的值最小，
设直线的解析式为：，将代入解得，
则解析式为：，与轴交于点，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，以及一次函数图像与坐标轴的交点问题，熟练掌握最短路径问题的求法是关键．
7．（2023·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先确定A、B、C、D的坐标，构造点D关于x轴的对称点，连接交x轴与点P，此时的值最小，确定直线的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】因为直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，
所以，，，，
作点D关于x轴的对称点，
则
连接交x轴与点P，此时的值最小，
设直线直线的解析式为，
所以，
解得，
所以直线解析式为，
当时，
，
解得，
所以，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，中点坐标公式，线段和最小问题，熟练掌握待定系数法，利用轴对称的性质求线段和最小是解题的关键．
◎考法类型3 坐标系中三角形周长最小问题
方法技巧：通常已知一线段是定值，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小
8．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，且点C坐标为，点D为线段的中点，点P为上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直线解析式可以求出A，B，C，D点坐标，因为的周长，当的值最小，三角形周长最小，作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小，利用C和坐标求出直线解析式，即可求出P点坐标．
【详解】解：由题意可知：
∵直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，
∴，，
∵C在直线，且，
∴，解之得：，即，
∵点D为线段的中点，
∴即：，
∵的周长，
∴若想使三角形周长最小，则需的值最小，
作点D关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，此时的值最小，
∵，，
设直线的解析式为，
利用待定系数法可得，解之得：
∴直线的解析式为，
令，得，即，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数，会求一次函数与坐标轴的交点，以及直线上点的坐标，会利用待定系数法求一次函数解析式．解题的关键是求出A，B，C，D点坐标，理解当最小时，三角形周长最小．
9．（2022秋·甘肃酒泉·八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点，D为线段的中点，P为y轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，进而根据对称性求得当点P与重合时，的周长最小，通过求直线的解析式，即可求得点的坐标
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，连接，
的周长，点是定点，则的长不变，
当重合时，的周长最小，
由，令，令，则
是的中点
,点是关于轴对称的点
设直线的解析式为：，将，代入，
解得
直线的解析式为：
令，则
即
故选A
【点睛】本题考查了轴对称的性质求最值，求一次函数解析式，求直线与坐标轴的交点，求线段中点坐标，掌握根据轴对称的性质求线段和的最值是解题的关键．
10．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，AC⊥y轴，D是OB的中点．E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（0，）B．（0，1）C．（0，）D．（0，2）
【答案】B
【分析】作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，与y轴交于点E，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点．
【详解】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，与y轴交于点E，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；
∵A的坐标为（﹣2，3），AB⊥轴，
B点坐标为（-2,0）， D是OB的中点，
∴D点坐标为：（﹣1，0），
A关于y轴的对称点A'，可知A'（2，3），
设A'D的直线解析式为y＝kx+b，则：
，
解得：，
∴A'D的直线解析式为y＝x+1，
当x＝0时，y＝1
∴E（0，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和求一次函数图象与坐标轴交点坐标，能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为两点之间，线段最短，并能利用一次函数求出点的坐标是解题的关键．
11．（2020秋·四川达州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，1)，B(3，5)，要在x轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．(0，1)B．(0，2)C．(，0)D．(，0)或(0，2)
【答案】C
【分析】要使得△PAB的周长最小，实则在x轴上找到P点，使得最小即可，从而将A沿x轴对称至A1，求解A1B的解析式，其与x轴的交点坐标即为所求．
【详解】∵要使得△PAB的周长最小，A，B为固定点，
∴在x轴上找到P点，使得最小即可，
∴将A沿x轴对称至A1，则，
设直线A1B的解析式为：，
将，B(3，5)，代入求解得：，则解析式为：，
令，解得：，
即时，△PAB的周长最小，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，及一次函数与坐标轴得交点问题，能够对题意进行准确分析，建立合适的最短路径模型是解题关键．
12．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，一次函数与的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，且．
(1)求线段的长；
(2)试探索的面积是否是一个定值？若是，求出的面积；若不是，请说明理由；
(3)当t为何值时，的周长最小，并求出周长的最小值．
【答案】(1)6
(2)是，6
(3)，周长最小值为
【分析】（1）分别令，求出y值，得到A和B的坐标，从而可得的长；
（2）求出点P坐标，利用三角形面积公式求出的面积即可；
（3）画出图形，分析得出要的周长最小，则要最小，作点A关于直线对称的点，连接，找到此时点P的位置，求出直线的表达式，可得点P坐标，可得t值，再根据点的坐标求出周长的最小值．
【详解】（1）解：在中，
令，则，
在中，
令，则，
∴，，
∴；
（2）∵图像相交于点P，
∴令，
解得：，代入中，
，
∴，
∴；
（3）如图，∵，
∴点P在直线上，
若要的周长最小，而，
∴当最小即可，
作点A关于直线对称的点，连接，与直线交于点P，
此时，设直线的表达式为，
则，解得：，
∴直线的表达式为，
令，则，即，
则，解得：，
此时，，
∴的周长最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意（3）中分析出要的周长最小，则要最小．
◎考法类型4 坐标系中四边形周长最小问题
方法技巧：已知两线段为定值，通过平移的方法，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小
13．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）一条直线与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点P是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），过点P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的周长为8，则点A的坐标为______．
【答案】
【分析】过P点分别作轴，轴，垂足分别为D、C，设P点坐标为，由矩形PDOC的周长得到，进而得到该直线的函数表达式是，最后将代入即可．
【详解】解：如图，过P点分别作轴，轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为，
∵P点在第一象限，
∴，，
∵长方形PDOC的周长为8，
∴，
∴，
即该直线的函数表达式是，
把代入得，，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，能够根据长方形的周长求出一次函数解析式是解题的关键．
14．（2022春·河南南阳·八年级统考期末）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y=2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的周长为______．
【答案】12
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的周长．
【详解】解：如图所示，过点B、D分别作y=2x+1的平行线，交AD、BC于点E、F．
由图象和题意可得AE=4-3=1，CF=8-7=1，BE=DF=，BF=DE=7-4=3，
则AB==2，BC=BF+CF=3+1=4，
∴矩形ABCD的周长为2×（2+4）=2×6=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（2022春·吉林·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，轴，则菱形ABCD的周长是______．
【答案】40
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，在Rt△OAB中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出结论．
【详解】解：当x=0时，y=×0+8=8，
∴点B的坐标为（0，8）
∴OB=8；
当y=0时，x+8=0，
解得：x=6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴OA=6，
在Rt△OAB中，OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×10=40．
故答案为：40．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及菱形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，求出AB的长是解题的关键．
16．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）已知直线：经过点，将直线向上平移个单位得直线，与x轴交于点C，直线与直线关于直线对称，且与相交于B．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)若点P在x轴上，点Q在y轴上，当四边形的周长最小时，求点P、Q点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)、
【分析】(1)把代入，即可求得直线的解析式，再根据平移的性质，即可求解；
(2)设点A关于直线的对称点为，分别作轴于M，作轴于N，可证，得，进一步可得直线的解析式为，
由直线、的解析式可得B点的坐标为，于是可求的面积即可；
(3)由于线段为定长，要使四边形的周长最小，则需折线的长最小，
分别作A点关于x轴的对称点，作B点关于y轴的对称点，
则折线的长等于线段的长，求得直线的解析式为，
则与x轴、y轴的交点分别为所求的点．
【详解】（1）解：把代入，得直线的解析式为，
∵直线向上平移个单位得直线，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图：设点A关于直线的对称点为，分别作轴于M，作轴于N，
直线与直线关于直线对称，
，，
又，
，
，，
，
设直线的解析式为，
把代入直线的解析式，
得直线的解析式为，
解得
直线、的交点B点的坐标为，
；
（3）解：由于线段为定长，要使四边形的周长最小，则需折线的长最小，
如图：分别作A点关于x轴的对称点，作B点关于y轴的对称点，
则折线的长等于线段的长，
设直线的解析式为，
把， 分别代入解析式，得
解得
直线的解析式为，
令，得，
解得，
，
令，则，
．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的平移问题，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，最短路径问题，画出图象，准确求得解析式是解决本题的关键．
◎考法类型5 其它最值问题
方法技巧：根据具体题型求最值
17．（2022春·福建福州·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，点，，，点C在直线AB上，且，，．
(1)求n和b的值；
(2)若三角形的面积为6，求m的值；
(3)过点A作直线轴，D是直线l上的一动点．若，求CD的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由算术平方根、绝对值的非负性解答；
（2）根据题意画出示意图，连接OC ，由，，结合三角形面积公式转化为解二元一次方程组
（3）当直线l时，CD最小 ，结合与
解答．
（1）
解：∵，，
∴
解得
（2）
根据题意画出示意图，连接OC
∵，，，，
∴
∵，
∴
解得；
（3）
如示意图所示
当直线l时，CD最小
由（2），得，，
∵
∴
∴由解得
∴
∴CD的最小值为．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及算术平方根、绝对值的非负性、三角形面积公式、解二元一次方程组、垂线段最短等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．（2022秋·江苏·八年级期末）如图1，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．
(1)则点A的坐标为_______，点B的坐标为______；
(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB＝PE，求证：∠BPE＝2∠OAB；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝2∠OAB．连接OQ．
①则图中（不添加其他辅助线）与∠EPA相等的角有______；（都写出来）
②试求线段OQ长的最小值．
【答案】(1)（-3，0）；（0，4）
(2)证明见解析
(3)①∠QPO，∠BAQ；②线段OQ长的最小值为
【分析】（1）根据题意令x＝0，y＝0求一次函数与坐标轴的交点；
（2）由题意可知与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．利用三角形内角和定理解决问题；
（3）根据题意可知如图3中，连接BQ交x轴于T．证明△APE≌△QPB（SAS），推出∠AEP＝∠QBP，再证明OA＝OT，推出直线BT的解析式为为：，推出点Q在直线y＝﹣x+4上运动，再根据垂线段最短，即可解决问题．
【详解】（1）解：在y＝x+4中，令y＝0，得0＝x+4，
解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，
∴B（0，4）；
故答案为：（﹣3，0），（0，4）．
（2）证明：如图2中，设∠ABO＝α，则∠OAB＝90°﹣α，
∵PB＝PE，
∴∠PBE＝∠PEB＝α，
∴∠BPE＝180°﹣∠PBE﹣∠PEB＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），
∴∠BPE＝2∠OAB．
（3）解：①结论：∠QPO，∠BAQ
理由：如图3中，∵∠APQ＝∠BPE＝2∠OAB，
∵∠BPE＝2∠OAB，
∴∠APQ＝∠BPE．
∴∠APQ﹣∠APB＝∠BPE﹣∠APB．
∴∠QPO＝∠EPA．
又∵PE＝PB，AP＝PQ
∴∠PEB＝∠PBE＝∠PAQ＝∠AQP．
∴∠BAQ＝180°﹣∠EAQ＝180°﹣∠APQ＝∠EPA．
∴与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．
故答案为：∠QPO，∠BAQ．
②如图3中，连接BQ交x轴于T．
∵AP＝PQ，PE＝PB，∠APQ＝∠BPE，
∴∠APE＝∠QPB，
在△APE和△QPB中，，
∴△APE≌△QPB（SAS），
∴∠AEP＝∠QBP，
∵∠AEP＝∠EBP，
∴∠ABO＝∠QBP，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠OBT+∠OTB＝90°，
∴∠BAO＝∠BTO，
∴BA＝BT，
∵BO⊥AT，
∴OA＝OT，
∴直线BT的解析式为为：，
∴点Q在直线y＝﹣x+4上运动，
∵B（0，4），T（3，0）．
∴BT＝5．
当OQ⊥BT时，OQ最小．
∵S△BOT＝×3×4＝×5×OQ．
∴OQ＝．
∴线段OQ长的最小值为．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数及最短距离等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键．
19．（2022春·山东淄博·七年级校考期中）某班“数学兴趣小组，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x可以是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中m＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．
（3）观察函数图象发现：
①该函数的最小值为 ；该函数是轴对称图形吗？ （填“是”或“否”）；若是，其对称轴是 ．
②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是 ．
（4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组：的解是 ．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）①-2；是，y轴；②；（4）
【分析】（1）将x=3代入函数解析式中求出y值，即可得出结论；
（2）根据表格数据，描点补充完图形；
（3）根据函数图象，此题得解；
（4）根据函数图象即可求得．
【详解】解：（1）当x=3时，，
∴m=1，
故答案为：1；
（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．
（3）观察函数图象，
①该函数的最小值为-2；
该函数是轴对称图形，其对称轴是y轴；
②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是；
故答案为：①-2；是，y轴；②；
（4）作出函数的图象，
观察函数图象知，的图象与的图象的交点为(1，-1)，
∴方程组的解是．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣1
0
m
2