人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题07锐角平分线模型-原卷版+解析

这是一份人教版八年级数学下学期题型模型培优专题练专题07锐角平分线模型-原卷版+解析，共23页。

◎结论：如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AP是∠CAB的角平分线，求PC的长

解：如图，

在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，
过P作PD⊥AB于D，可知△ACP与△ADP全等，得AC＝AD＝6，DB＝AB－AD＝4，
在直角三角形PBD中，，设PC＝X,则PD＝X，PB＝8-X，由勾股定理得X＝3，所以PC＝4.
方法总结：由模型解法可以发现，当遇到直角三角形中锐角平分线的时候，往往利用角平分线的性质由角平分线上的点向这个角两边做垂线，把所求线段转化到同一葛直角三角形中，利用勾股定理解决。

角平分线的性质：
1.由角平分线可以得两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。
1．（2023·四川成都·统考一模）如图，在中，，是角平分线，于点，，，则（ ）
A．2B．C．D．6
2．（2022·安徽滁州·校考一模）如图，在中，是的角平分线，交于点E，F为上一点，连接，已知，则的面积（ ）
A．12B．7.5C．8D．6
3．（2023春·广西南宁·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，则的周长是（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，中，是角平分线，若，则线段的长（ ）
A．1B．2C．D．3
5．（2023春·八年级课时练习）如图，和分别是的高和角平分线，连接，若，，，则线段的长为（ ）
A．B．2C．D．
6．（2023春·陕西西安·八年级西安市华山中学校考阶段练习）已知：如图，中，，，是角平分线，
(1)求证．
(2)如果，求到的距离．
7．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
(1)出发2秒后，求的周长；
(2)当点在的角平分线上时，求出此时的值；
(3)当在运动过程中，求出为何值时，为等腰三角形．（直接写出结果）
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在中，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)_________；当点P在上时，_________（用含t的代数式表示）；
(2)如图2，若点P在的角平分线上，求t的值；
(3)在整个运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值．
9．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动.设点P的运动时间为t（）．
(1)BC=_______；
(2)求斜边AC上的高线长．
(3)①当P在上时，的长为_______，t的取值范围是_____（用含t的代数式表示）
②若点P在的角平分线上，则t的值为______．
(4)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时t的值．
10．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，是角平分线，于点 E，F在边上，．
(1)如图 1，若，求证：；
(2)如图 2，求证：；
(3)若，，，直接写出的长．
培优专题07 直角三角形锐角平分线模型
【模型讲解】
◎结论：如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AP是∠CAB的角平分线，求PC的长

解：如图，

在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，
过P作PD⊥AB于D，可知△ACP与△ADP全等，得AC＝AD＝6，DB＝AB－AD＝4，
在直角三角形PBD中，，设PC＝X,则PD＝X，PB＝8-X，由勾股定理得X＝3，所以PC＝4.
方法总结：由模型解法可以发现，当遇到直角三角形中锐角平分线的时候，往往利用角平分线的性质由角平分线上的点向这个角两边做垂线，把所求线段转化到同一葛直角三角形中，利用勾股定理解决。

角平分线的性质：
1.由角平分线可以得两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。
1．（2023·四川成都·统考一模）如图，在中，，是角平分线，于点，，，则（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得出，根据已知条件得出，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，是角平分线，
∴
∵，，
∴，，
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2022·安徽滁州·校考一模）如图，在中，是的角平分线，交于点E，F为上一点，连接，已知，则的面积（ ）
A．12B．7.5C．8D．6
【答案】B
【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后利用角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，从而可得，然后利用三角形的面积公式求出的面积，最后根据平行线间的距离处处相等可得的面积的面积，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴的面积的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
3．（2023春·广西南宁·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，则的周长是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出，再由角平分线的性质得到，证明，得到，求出，则的周长．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵是的角平分线，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，中，是角平分线，若，则线段的长（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】B
【分析】首先根据直角三角形的性质推出的度数，然后由角平分线的性质求出，最后根据特殊角的三角函数值即可求出的长度．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质以及含30度角的直角三角形．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，和分别是的高和角平分线，连接，若，，，则线段的长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】由勾股定理求出的长，再证明是等边三角形，过作于，过作于，证明，可得，可得，再根据含角的直角三角形的性质得出的长即可求解．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得， ，
如图，过作于，
∴由等面积法可得：，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，E是的中点，
过作于，过作于，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的应用，证明是解题的关键．
6．（2023春·陕西西安·八年级西安市华山中学校考阶段练习）已知：如图，中，，，是角平分线，
(1)求证．
(2)如果，求到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)到的距离为
【分析】（1）根据中，，，求出，根据角平分线的性质，得出，证明，得出，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半证明结论即可；
（2）过点D作于点E，根据角平分线的性质，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵中，，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：过点D作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
在中根据勾股定理可得：，
即，
解得：或（舍去），
∴，
即到的距离为．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．
7．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
(1)出发2秒后，求的周长；
(2)当点在的角平分线上时，求出此时的值；
(3)当在运动过程中，求出为何值时，为等腰三角形．（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)
(3)秒或或秒或秒
【分析】（1）根据勾股定理可得，根据题意可得，根据勾股定理可得，然后得出，进而得出三角形的周长；
（2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，然后根据即可得出答案；
（3）分，，三种情况进行讨论即可．
【详解】（1）如图：
∵，，，
∴，
根据题意可得，
∴，
∴，
∴的周长；
（2）过点作于点，
∵点在的角平分线上，
∴，
设，
则根据，
可得：，
即，
解得：，
∴，
∴点P的运动路径为，
∴；
（3）当时，
则，
∴秒；
过点作于点，
则，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴点的路程为，
∴；
当时，
则，
∴点的路程为，
∴秒；
当时，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的路程为，
∴秒；
综上所述：秒或或秒或秒，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义以及性质，三角形的面积等知识点，灵活运用所学知识点是解本题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在中，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)_________；当点P在上时，_________（用含t的代数式表示）；
(2)如图2，若点P在的角平分线上，求t的值；
(3)在整个运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）利用勾股定理求出，利用，求出；
（2）过点作，交于点，利用勾股定理列式求解即可；
（3）分，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线运动，
∴当点P在上时，，
∴；
故答案为：；
（2）解：点作，交于点，则：，
∵点P在的角平分线上，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
在中，，即：，
解得：；
（3）解：点运动的总时间为：秒，
当是等腰三角形时：
①当，点在上时：如图，
此时：，解得：；
当，点在上时：如图，过点作，交于点，
则：，
∵，即：，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图：
由①可知：，
∴，
在中，，即：，
解得：；
③当时，如图：
此时：，解得；
综上：当是等腰三角形时，的值为：或或或．
【点睛】本题考查三角形上的动点问题．熟练掌握勾股定理，以及等腰三角形的定义是解题的关键．注意，分类讨论．
9．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动.设点P的运动时间为t（）．
(1)BC=_______；
(2)求斜边AC上的高线长．
(3)①当P在上时，的长为_______，t的取值范围是_____（用含t的代数式表示）
②若点P在的角平分线上，则t的值为______．
(4)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时t的值．
【答案】(1)12
(2)斜边AC上的高线长为
(3)①；；②
(4)t的值为或
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）过点作于点，利用面积法求解；
（3）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可；
（4）分和两种情况，列用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
故答案为：12；
（2）解：如图所示，过点作于点，
，
即，
∴斜边上的高线长为；
（3）解：①点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，，
，
，即
，
②点在的角平分线上时，过点作于，如图所示，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
由（2）知，
∴，
∴，
在中，，即，
解方程得，，
∴点在的角平分线上时，．
故答案为：①；；②；
（4）解：是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当时，如图所示，
则，
；
当时，过点作于点，如图所示，
由（2）知，
，
，，
，
，
；
故是以为一腰的等腰三角形时t的值为或．
【点睛】本题考查三角形上的动点问题，涉及勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握上述定理、性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
10．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，是角平分线，于点 E，F在边上，．
(1)如图 1，若，求证：；
(2)如图 2，求证：；
(3)若，，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质得出，利用证明即可；
（2）根据角平分线的性质得出，利用证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是角平分线，，
∴，
在与中，
∴；
（2）证明：过D作于G，
∵是角平分线，，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
由（1）可知，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了三角形综合题，直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．