专题10 解答题压轴题（几何探究）-2024年中考数学压轴题（安徽专用）

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通用的解题思路：
解决矩形翻折问题：
利用折叠和矩形性质找出对应线段关系；
在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理构造方程求解。
2、十字架模型：

3、动态问题中的线段长度最值
通常利用三点共线解决，关键在于找到与这条线段两个端点之间恒为定长的点。
4、奔驰模型：
解题方法是旋转一边利用等边三角形构造“手拉手”模型证全等，结合勾股定理的逆定理得到结论。
5、线段长度、比值及最值问题：
（1）特殊图形、全等、相似、勾股定理；
（2）圆中垂径定理。
1．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连接PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．
【变式求异】
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，过点D作，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连接，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC=8，AC=10，AD=2DB，求PQQM的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作∠PQM=∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC=mAB，CQ=nAC（m，n是常数），求PQQM的值（用含m，n的代数式表示）．

2．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的14.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，（k为常数）．

【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N.
①填空：k=______；
②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若，求k的值．
3．（2023·江苏盐城·中考真题）综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.
【活动猜想】
（1）如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】
（2）如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A'，B'，C在同一条直线上.
【深入探究】
（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B'D，EF之间满足的等量关系，并说明理由.
1．（2023·安徽合肥·一模）通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，则CE=DF”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

(1)【问题探究】如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH=_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF的值．
2．（2024·安徽阜阳·一模）【数学模型】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，且AE⊥DF，求证：DE=CF．
【模型迁移】
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，点M，N分别在边AB，CD 上，且BE⊥MN，求BEMN的值．
【模型应用】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，，AB=BC，AD=CD，点E，F分别在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，求CFDE的值．
3．（2022·安徽滁州·二模）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC=60°，点E在线段AB上，AE=AC，求证：DE平分∠ADB；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G．若FB=FC，
求证：DE2=BD⋅DG；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，，点E在AC上，∠EDC=∠ABC，若，CD=25，AD=2AE，求AC的长．

4．（2024·广东惠州·一模）数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【感知】（1）如图1，连接，DE．求证：BE=DE；
【探究】（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①求证：∠FBG=∠FGB；
②若G为AB的中点，且AB=4，求的长．
【应用】（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE=BF．求证：GD=2DE．
5．（2024·甘肃平凉·模拟预测）问题情境】已知等腰三角形ABC中，点D在底边BC上．将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=∠ACB=α，连接AF．
【尝试探究】
（1）如图1，当α=60°时，易知AF=BE；
如图2，当α=45°时，则AF与BE的数量关系为______．
（2）如图3，探究AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，当α=30°，且B，E，F三点共线时，若BC=221，BD=15BC，则AF的长为______．
6．（2023·广东东莞·一模）（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC,BD交于点M，填空：ACBD= ；∠AMB= ；
（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将△OCD绕点O旋转至点C与点M重合，若OD=1， OB=7，填空：AC= ．
7．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，连接AP，CP，则AP ______CP；（填“>”“<”或“=”）
【问题探究】
（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，点D是AC边上一点，连接BD，将△ABD绕点B顺时针旋转得到△CBE，求证：∠DBE与∠DCE互补．
8．（2024·江西抚州·一模）课本再现
（1）如图1，CD与相交于点A,△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，若DE∥BC，求证：△ADE是等腰直角三角形．
类比探究
（2）①如图2，AB是等腰直角△ACB的斜边，G为边AB的中点，E是BA的延长线上一动点，过点E分别作AC与BC的垂线，垂足分别为D,F，顺次连接DG,GF,FD，得到△DGF，求证：△DGF是等腰直角三角形．
②如图3，当点E在边AB上，且①中其他条件不变时，△DGF是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD中，BC=CD,∠BCD=∠BAD=90°,AC平分∠BAD，当AD=1,AC=22时，求线段BC的长．

9．（2024·山东青岛·一模）【探究1】
如图1， ∠BAD的平分线AE与 ∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD， ∠ABC=30°，∠ADC=36°，则 ∠AEC= ；
【探究2】
如图2， ∠BAD的三等分线AE与 ∠BCD的三等分线CE交于点E，∠EAD=13∠BAD,∠BCE=13∠BCD，AB∥CD，∠ABC=30°，∠ADC=36°，则 ∠AEC= ；
【探究3】
如图3，∠BAD 的n等分线AE与 ∠BCD的n等分线CE交于点E，∠EAD=1n∠BAD，∠BCE=1n∠BCD，AB∥CD，∠ABC=x°,∠ADC=y°，则 ∠AEC= (用含x，y，n的式子表示) ．

10．（2024·山东临沂·二模）用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD，点P是线段DC上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线BP上取一点M，连接DM，CM，使∠CDM=∠CBP．
【操作探究一】
（1）如图1，调整菱形ABCD，使∠A=90°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使BN=DM，连接CN，则∠BMC=______，MCMN=______；
【操作探究二】
（2）如图2，调整菱形ABCD，使∠A=120°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使BN=DM，连接CN，探索MC与MN的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】
（3）在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=32．若点P在直线CD上，点M在射线BP上，且当时，请直接写出的长．
11．（23-24九年级上·广东茂名·期末）问题提出：如图1，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=ββ≥90°，交CD于点G，探究∠GCF与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当β=90°时，求∠GCF的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求∠GCF与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当，β=120°，且DGCG=12时，求CF的值．
12．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】华师版教材九年级上册P ₇页16题．已知：如图①，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点．求证：四边形ADEF是菱形．
【拓展延伸】
（1）如图②，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD交AD延长线于点E，点F为BC的中点，连结EF．若AB=52，EF=1，则AC=_______．
（2）如图③，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，连结CE，点P、G、分别为CE、DE、BC的中点．若，AC=2，∠AED=∠ACB=30°，则PG+PH的最小值为_______．
13．（2024·山西太原·一模）综合与实践
问题情境：综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之间的数量关系．如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E在线段BC上，以CE为边作正方形EFGC，使点G在线段CD上．延长CD至点，使DH=GD，连接．

数学思考：（1）拼搏小组提出如下问题，请你解答：
①求证：AH=AE；
②猜想线段HG与之间的数量关系，直接写出结论；
深入探究：（2）奋进小组将正方形CEFG从图1中位置开始，绕点E逆时针旋转（设点C的对应点为C'），提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点F恰好落到线段AE上时，连接HG．猜想此时线段HG与之间的数量关系，并说明理由；
②若AB=6,BE=2，在正方形CEFG旋转过程中，直接写出A,F,G三点在同一直线上时线段HG的长．
14．（2023·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在△OAB中，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得到△OA'B'，连接BB'；求∠OBB'= ；
（2）【问题探究】如图②，已知△ABC是边长为43的等边三角形，以BC为边向外作等边三角形BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q．
①求证：△DCQ≌△BCP；
②求PA+PB+PC的最小值；
（3）【实际应用】如图③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形内一动点S△PAD=2S△PBC，Q为△ADP内任意一点，是否存在点P和点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由．
15．（2021·湖北襄阳·一模）在矩形ABCD中，ADAB=k（k为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与射线CB交于点E，连接AE．

(1)特例发现：如图1，当k=1时，将点P移动到对角线交点处，则PAPE=______，∠AEP= ______；当点P移动到其它位置时，∠AEP的大小______（填“改变”或“不变”）；
(2)类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，请探究∠AEP的大小是否会随着点P的移动而发生变化，并说明理由；
(3)拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC,PC⊥BD,AE∥PC,PC=2，求AP的长．
16．（2024·山东枣庄·一模）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，，延长BC到点，使CH=DE，连接DH．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．