2024年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷

这是一份2024年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作
A．B．C．D．
2．（4分）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是
A．B．C．D．
3．（4分）2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．（4分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
5．（4分）《义务教育课程标准年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是
A．2，2B．2，2.5C．2，3D．3，3
6．（4分）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点，在近岸取点，，使得，，在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点，并测得，．如果，则河宽为
A．B．C．D．
7．（4分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是
A．
B．
C．关于的方程没有实数根
D．若点在该抛物线上，则
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）分解因式： ．
10．（4分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
11．（4分）如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为 ．
12．（4分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则关于的不等式的解集为 ．
13．（4分）如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；③分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；④作射线，交直线于点，连接．若，，则 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）；
（2）解不等式组：．
15．（8分）“岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“：非遗博览园；：武侯祠；：杜甫草堂；：大熊猫繁育基地；：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人，在扇形统计图中，地点所对应的圆心角是 度；
（2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图；
（3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．
16．（8分）如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，
17．（10分）如图，在中，以边为直径作，交于点，交的延长线于点，连接交于点，且．
（1）求证：；
（2）如图1，若，求的值；
（3）如图2，若，求阴影部分的面积．
18．（10分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）连接，，点为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点的坐标；
（3）已知为轴上一点，作直线关于点中心对称的直线，交反比例函数的图象于点，，若，求的值．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）若，则的值为 ．
20．（4分）如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为 ．
21．（4分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．直线经过格点，，直线经过格点，，直线经过格点，．点，分别在直线，上，连接交直线于点，则的值为 ．
22．（4分）如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为 米．
23．（4分）如图，在等边中，，点是边上一点，且，过点作于点，连接，则 ；点是的中点，连接，过点作交于点，则 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
25．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为．
（1）若，求顶点的坐标及线段的长；
（2）当时，二次函数的最小值为，求的值；
（3）连接，，，若，求点的坐标．
26．（12分）已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”．
【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明；
【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点在线段上，且，点是边上的动点，连接，以为边作矩形，点在边上，点落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长；
【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点是的中点，点是边上的动点，连接，以为边作矩形，点在边上，点始终落在矩形内（不含边界）．连接，点是的中点，连接，求长的取值范围（用含，的式子表示）．
2024年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作
A．B．C．D．
【解答】解：低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作，
故选：．
2．（4分）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是
A．B．C．D．
【解答】解：从正面看，共有三列，左边一列是三个小正方形，中间和右边一列分别是一个小正方形．
故选：．
3．（4分）2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
4．（4分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，故错误，不符合题意；
，故正确，符合题意；
，故错误，不符合题意；
，故错误，不符合题意；
故选：．
5．（4分）《义务教育课程标准年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是
A．2，2B．2，2.5C．2，3D．3，3
【解答】解：这组数据2，2，2，3，3，4，5中2出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为2，
中位数为3．
故选：．
6．（4分）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点，在近岸取点，，使得，，在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点，并测得，．如果，则河宽为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，
，
即：，
解得：．
故选：．
7．（4分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是
A．B．
C．D．
【解答】解：如果每人分七两，则剩余四两，
；
如果每人分九两，则还差八两，
．
根据题意可列出方程组．
故选：．
8．（4分）如图，抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是
A．
B．
C．关于的方程没有实数根
D．若点在该抛物线上，则
【解答】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴的右侧，
、异号，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故错误；
抛物线与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
，故错误；
由图象可知抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等的实数根，故错误；
当时，该函数取得最大值，此时，
当点在该抛物线上，此时，
，
即，故正确；
故选．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）分解因式： ．
【解答】解：
，
故答案为：．
10．（4分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 2 ．
【解答】解：根据题意得△，
解得，
即的值为2．
故答案为：2．
11．（4分）如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为 ．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
即，
在和中，
，
；
，
，
故答案为：．
12．（4分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则关于的不等式的解集为 或 ．
【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，
，
关于的不等式的解集为或．
故答案为：或．
13．（4分）如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；③分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；④作射线，交直线于点，连接．若，，则 ．
【解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，
，，
．
，
即，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式
；
（2）由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
15．（8分）“岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“：非遗博览园；：武侯祠；：杜甫草堂；：大熊猫繁育基地；：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有 200 人，在扇形统计图中，地点所对应的圆心角是 度；
（2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图；
（3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．
【解答】解：（1）调查的总人数为（人，
在扇形统计图中，地点所对应的圆心角为；
故答案为：200，36；
（2）组人数为（人，
组人数为（人，
条形统计图补充为：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种，
所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．
16．（8分）如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，
【解答】解：过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
在中，，
（米，
石坝坝顶与坝脚之间的距离约为3.8米．
17．（10分）如图，在中，以边为直径作，交于点，交的延长线于点，连接交于点，且．
（1）求证：；
（2）如图1，若，求的值；
（3）如图2，若，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：如图1，连接，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
（2）解：如图1，连接，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
的值为．
（3）解：如图2，连接，，则，
是的直径，且，
，
，
由（2）得，
，
，
垂直平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是．
18．（10分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）连接，，点为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点的坐标；
（3）已知为轴上一点，作直线关于点中心对称的直线，交反比例函数的图象于点，，若，求的值．
【解答】解：（1）把点代入中得，，
点，
把点代入得，，
反比例函数的表达式为，
由，得或，
，；
（2）延长，交反比例函数的图象于点，则，
，
，
点与点重合，
，，
，，
，，
作，交轴于，
设直线为，
把，代入得，，解得，
直线为，
由一次函数可知，
，
将直线向上平移6个单位得到，
由解得或，
，，
综上，点的坐标为，或，；
（3）设直线为，则，，，，
由消去得，，
整理得，
，是方程的两个根，
，，
，
，
，
，
，
直线为，
令，则，
由可知直线与轴的交点为，，
，，
的值为或．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）若，则的值为 10 ．
【解答】解：
；
故答案为：10．
20．（4分）如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为 2 ．
【解答】解：由平移可得，，，
，
，
，
设，，
，
，
，
解得，
，
故平移的距离为2．
21．（4分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．直线经过格点，，直线经过格点，，直线经过格点，．点，分别在直线，上，连接交直线于点，则的值为 ．
【解答】解：取格点、、，连接交直线于点，连接、，
，
，
，
，，
，，
连接、、、，则四边形和四边形都是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
22．（4分）如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为 6 米．
【解答】解：由题意，如图，建立平面直角坐标系．
由顶点为，
可设抛物线的解析式为．
又，
．
．
抛物线为．
显示屏底部距离地面至少8米，
令．
．
或．
．
又显示屏两侧留1米，
（米，此时是最大值．
故答案为：6．
23．（4分）如图，在等边中，，点是边上一点，且，过点作于点，连接，则 ；点是的中点，连接，过点作交于点，则 ．
【解答】解：，，，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：
．
点是的中点，
，
过点作于，过点作于，过点作于，延长交于，
是等边三角形，，
，，
，
，，
，
，
，即，
，，
，
，
，，
，
，即，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，，
，
，
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
【解答】解：（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元；
（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为62．
答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．
25．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为．
（1）若，求顶点的坐标及线段的长；
（2）当时，二次函数的最小值为，求的值；
（3）连接，，，若，求点的坐标．
【解答】解：（1）当时，抛物线的表达式为：，
则抛物线的顶点坐标为：；
令，则或5，
即；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，，
同理可得：时，，当时，；
当时，
函数在时取得最小值，即，
解得：（舍去）；
当时，
函数在时取得最小值，即，
解得：（舍去）；
当时，
函数在时取得最小值，
即，
解得：（不合题意的值已舍去）；
综上，；
（3）由抛物线的表达式知，点、、、的坐标分别为、、、，
则直线的表达式为：，的表达式为：，
过点作交的延长线于点，
则直线的表达式为：，
联立和的表达式得：，
解得：，
则点，
由中点坐标公式得点的坐标为：，
将点的坐标代入得表达式得：，
解得：（舍去）或，
则点．
26．（12分）已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”．
【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明；
【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点在线段上，且，点是边上的动点，连接，以为边作矩形，点在边上，点落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长；
【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点是的中点，点是边上的动点，连接，以为边作矩形，点在边上，点始终落在矩形内（不含边界）．连接，点是的中点，连接，求长的取值范围（用含，的式子表示）．
【解答】解：（1）图中全等三角形有：，．
选进行证明，
证明：如图1，
四边形、是矩形，
，，
，
，
；
选进行证明，
证明：四边形、是矩形，
，，
，
，
；
（2）如图2，过点作于，于，
则，
四边形、是矩形，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，即，
或5；
（3）当点落在边上时，此时，最小，如图3，连接，过点作于，
四边形是矩形，
经过点，且，
，，
，
当点落在矩形的内部，且时，此时最大，如图4，
则，
长的取值范围为．