2024年陕西省西安市爱知初级中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 实数在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小，熟知数轴上负方向的数总是小于正方向的数是解本题的关键．
根据数轴上负方向的数总是小于正方向的数即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，
∴四个数种最小的数为，
故答案为：A．
2. 用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥、长方体方体、棱锥、球，被一个平面去截，所得到的截面去判断即可求解，本题考查了截一个几何体所得截面的形状判断，解题的关键是：掌握各种几何体的截面形状．
【详解】解：、用一个平面去截，截面可能是三角形，不符合题意，
、用一个平面去截，截面可能是三角形、四边形，不符合题意，
、用一个平面去截，截面可能是三角形、四边形，不符合题意，
、用一个平面去截，截面一定是圆，符合题意，
故选：．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、多项式除单项式法则、积的乘方、完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．，故C选项符合题意；
D．，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项法则、多项式除单项式法则、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 如图，已知直线，在中，，则图中与互余的角有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．根据直角三角形两锐角互余可得与互余，然后证明即可．
【详解】解：∵在中，，
∴与互余．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴与互余．
∴与互余的角有4个．
故选D．
5. 若直线经过点，且与轴的交点在轴下方，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．直线与轴交于点，依据直线经过点，即可得出，再根据直线与轴的交点在轴下方，即可得到的取值范围．
【详解】解：直线中，令，则，
直线与轴交于点，
又直线经过点，
，
，
又直线与轴的交点在轴下方，
，即，
解得，
故选：C
6. 如图，正方形的边长为6，分别是的中点，交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而推出，利用勾股定理求出，解直角三角形得到，则．
【详解】解：∵正方形的边长为6，分别是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，已知内接于，为直径，半径，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．先求出，，得出，然后再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
故选：C．
8. 若二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象性质，掌握，当时开口向上，当时开口向下，对称轴，函数与y轴的交点坐标等知识内容是解题的关键，姚注意分类讨论，先当时或当时，再判断出对称轴的位置以及与y轴的交点坐标的位置，进行分析作答即可．
【详解】解：∵，
∴当时，即时，开口向上，
则对称轴在轴的负半轴，
当时，则，
∵二次函数的图象经过四个象限，
∴，即二次函数与y轴的交点在负半轴，
∴；
∴当时，即时，开口向下，
则对称轴在轴的正半轴，
当时，则，
∵二次函数的图象经过四个象限，
∴，即二次函数与y轴的交点在正半轴，
∴；
综上：二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围是或，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 比较大小：_____________5（填、或）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较，利用平方法比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
10. 如图，已知正五边形，连接，、交于点，则的度数为_____________．
【答案】72
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质，先求出，进而根据等边对等角和三角形内角和定理得到，，则由三角形外角的性质可得．
【详解】解：由正五边形内角和定理可得，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：72．
11. 如图，在中，点在边上，，点、点分别是的中点，，，则的长为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，连接根据，等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求得，进而根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：连接，由题意可得，
∵，点是的中点，
∴，
∵，，
∴,
在中，
在中，
∵点是的中点，
∴,
故答案为：．
12. 如图，在中，轴，，，反比例函数的图象经过点，且与交于点．若，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形、平行四边形的性质及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题关键．设，则，根据平行四边形的性质，结合点、坐标可得，，根据反比例函数图像上点的坐标特征得出，解方程求出值即可得答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵在中，轴，，，
∴，，，
∵反比例函数的图象经过点，点，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：
13. 如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据菱形性质得出，结合直角三角形的性质，得出，分析出当三点共线，则有最大值，且为，再运用勾股定理列式，计算出，最后把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，
∵，于点，
∴在中，，
∴，
则
作线段关于所在直线的对称线段，此时点N的对应点为，连接，并延长交于一点，即为，如图：
当三点共线，则有最大值，且为
∴
∴是等边三角形，
过作
则在中，
则
∴
则的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，三点共线求线段的差最小值，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14. 计算：.
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用负整数指数幂，立方根的定义及零指数幂计算即可．
【详解】解：原式
15. 解不等式：，并求出最小整数解．
【答案】，最小整数解为8
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再找出最小的整数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小整数解为8．
16. 解方程：.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：

经检验为原方程的根
17. 如图，在中，，AD为底边BC上的高，请用尺规作图法，作的内切圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析．
【解析】
【分析】由于三角形内切圆是三角形三条角平分线的交点，因此由三线合一定理可知内切圆圆心一定在AD上，因此只需要作∠ABC的角平分线与AD的交点即为内切圆圆心O，由此作图即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】本题主要考查了作三角形内切圆，角平分线的尺规作图，熟知三角形内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
18. 如图，平行四边形中，E，F是直线上两点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，，再利用全等三角形的判定方法证明即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，，
，
∴；
19. 随着中国传统文化的复兴，汉服拍照打卡逐渐成为年轻人最喜爱的活动之一，各个汉服店的汉服供不应求．某制衣厂接到一批汉服的生产任务，汉服店要求6天内完成．若工厂安排12位工人缝制，则6天后剩余80套汉服未缝制；若安排16位工人缝制，则恰好提前一天完成任务，假设工人们每天缝制的汉服数量相同，问每位工人每天可以缝制多少套汉服？
【答案】每位工人每天可以缝制10套汉服
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设每位工人每天可以缝制套汉服，根据生产的汉服数量关系列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每位工人每天可以缝制套汉服，则


答：每位工人每天可以缝制10套汉服．
20. 学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏．盘被分成面积相等的4个扇形，盘中小的扇形区域所占的圆心角是．游戏规则如下：分别任意旋转两个转盘，用盘转出的数字，与盘转出的数字相加，如果和是3的倍数．则小红赢得游戏；如果和是4的倍数，则小明赢得游戏．
（1）任意旋转盘，转出的数字是偶数的概率是 ；
（2）请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由．
【答案】（1）
（2）不公平，见解析
【解析】
【分析】（1）根据概率公式，即可求解；
（2）根据列表得出所有等可能的情况数，分别计算他们两个获胜的概率，比较其大小，可知游戏是否公平．
小问1详解】
解：∵盘被分成面积相等的4个扇形，其中有2个偶数
∴任意旋转盘，转出的数字是偶数的概率是,
故答案为：．
【小问2详解】
列表如下：
由表可知共12种可能得结果，和是3的倍数的有5种，和是4的倍数有3种，
∴小红赢得游戏的概率为，小明赢得游戏的概率为
∴游戏不公平
21. 王叔叔批发甲、乙两种水果到农贸市场去卖，已知甲、乙两种水果的批发价和零售价如下表所示．
（1）若王叔叔批发甲、乙两种水果共，其中甲水果批发了，两种水果共花费了元，求与的函数关系式；
（2）在（1）的前提下，若王叔叔批发甲种水果的质量不超过乙种水果质量的倍，且所批发的水果全部卖完（不计损耗），求他卖完全部水果后能获得的最大利润．
【答案】（1），过程见详解
（2）元，过程见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设批发甲水果，乙水果，根据题意写出函数关系；
（2）批发甲种水果的质量不超过乙种水果质量的倍列不等式，确定得范围，根据函数中，由一次函数性质可知当取最大值时利润最大．
小问1详解】
解：甲水果批发了，则乙水果批发了，
由题的 ，
整理得：，
与的函数关系式为：；
【小问2详解】
由题意得：

，
设王叔叔卖完全部水果后能获得的利润为元，


，随增大而增大，
当时，
，
王叔叔卖完全部水果后能获得的最大利润为元．
22. 汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高．
【答案】21.6米
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，先证明，则，设，则，过点作，交于点，交于点，证明四边形为矩形，得到，，再证明，则，得到，解得：，即可得到答案．
【详解】解：
光线


设，则
过点作，交于点，交于点
，，

四边形为矩形
，





解得：

答：汉武大帝雕像的高为米.
23. 西安市某校为了了解本校九年级全体学生“体育中考项目”的锻炼情况，随机抽查了本年级部分学生的体育测试成绩.并将抽查的测试成绩分为四个等级．【：60分至54分为优秀（含54分）；：53.9分至45分为良好（包含45分）；：44.9分至30分为合格（包含30分）；：29.9分及以下为不合格】．
如图是根据调查结果进行数据整理后绘制的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图；
（2）本次调查中，体育测试成绩的中位数落在 等级；
（3）若该校九年级共有1150名学生，达到良好及以上的学生约有多少人？
【答案】（1）50，
（2）C （3）483人
【解析】
【分析】本题考查了，中位数，用样本估计整体的知识点，问题的解决关键在于对于数据分析的理解.
（1）根据C所占的百分比，以及C所对应的人数得出总人数，再利用得出的总人数，减去得分为A、C、D等级的人数，得出等级B的人数，画出统计图；
（2）根据中位数的定义，由于人数为50人，所以找第25名和第26名同学的成绩所在的等级，即可得出结果.
（3）求出抽取的学生中达到良好及以上的学生所占样本容量的百分比，再用求出的百分比估计总体中达到良好及以上的学生的人数.
【小问1详解】
由图可知，A等级学生有5人，C等级学生有2人，D等级学生有7人，其中D等级学生占被抽查学生总数的，故本次共调查了学生，B等级的学生共有，补全条形统计图如下：
【小问2详解】
由（1）可知，本次调查中，被抽查的学生总数为50名，把他们的这次成绩按从小到大的顺序排列后，第25名和第26名同学成绩的平均数就是这次体育测试成绩的中位数，，，故体育测试成绩的中位数落在C等级.
【小问3详解】
由题意可知，被抽查学生体育测试成绩达到良好及以上的学生有占被抽查学生数的，于是可以估计该校九年级学生这次体育测试成绩达到良好及以上的学生占全校九年级学生总数的，故该校九年级1150名学生中，达到良好及以上的学生约有.
24. 如图，四边形为的内接四边形，，连接，延长，交于．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用同圆中等弧所对的圆周角相等，得到，再根据三角形外角结合等量代换，即可得到；
（2）利用直径所对的圆周角等于90度，得到，利用解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质得到，从而得到．
【小问1详解】
证明：，
，
又，，
；
【小问2详解】
解：连接并延长交于点，连接，
，
为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了同圆中等弧所对的圆周角，三角形外角性质，直径所对的圆周角等于90度，解直角三角形，相似三角形性质和判定，熟练掌握相关性质是解题的关键．
25. 为了庆祝“五四青年节”，班级准备举办联欢会，由小明和小新同学对班级联欢会场进行装饰，如图1所示，小新同学在会场的两面墙，之间悬挂一条抛物线形的彩带，已知墙与高度均为3米且两墙之间的水平距离为，彩带最低点距离地面1米.
（1）求图1中抛物线的函数关系式.
（2）小明同学觉得彩带距离地面太近，他把彩带从点处用一根细绳吊在天花板上，如图2所示，彩带形成了两条抛物线，点到墙距离为3米且到地面距离也是3米，此时发现原来的最低点距离墙的距离竟然没有变化，且右侧抛物线与图1中的抛物线开口大小相同（即抛物线关系式中相同），求点升高的高度．
【答案】（1）
（2）1.5米
【解析】
【分析】（1）由题意，结合图（1），设抛物线的表达式为，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由题意设右侧抛物线的表达式为，利用待定系数法确定函数关系式得到，由题意，将代入表达式得到值即可得到答案．
小问1详解】
解：由题可设图（1）中抛物线的表达式为，
把代入得，解得，
此抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：由题可设右侧抛物线表达式为，
把代入得，解得，
此抛物线的表达式为，
把代入，
点升高的高度为米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、求二次函数值等知识，读懂题意，将实际问题抽象为二次函数模型求解是解决问题的关键．
26. 综合与实践
（1）如图1，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值.
（2）如图2，小王在屋外空地修建一个四边形花园，点为的中点，为两条小路（路宽忽略不计），其中米，米，，计划在区域种植郁金香，区域种植牡丹，区域种植芍药，请问：郁金香花区域的面积是否存在最大值，如果存在，请求出面积最大值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，平方米
【解析】
【分析】（1）连接、，根据勾股定理求出，根据三角形的三边关系求出的最小值为；
（2）过点作于点，求出（米），延长到点，使，连接，证明，得出，过A、C、F作，过点作于点，并反方向延长交点，在优弧上取异于点的一点，过点作于点，连接，过点O作于点N，证明，说明点在时的面积最大，求出平方米，根据平方米，求出最大值即可．
【详解】解：（1）连接、，
在中，
，
三角形第三边大于两边之差
，
的最小值为．
（2）存在；过点作于点，
∵，米，
∴米，
又∵米，
∴（米），
∴（米），
延长到点，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
过A、C、F作，过点作于点，并反方向延长交点，在优弧上取异于点的一点，过点作于点，连接，过点O作于点N，
则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
点在时的面积最大，
连接，
∵，
∴，
又，
∴米，米，
∴米，
∴平方米，
点为的中点，
∴，
平方米，
又，
∴平方米．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
A转盘
B转盘
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
6
7
8
9
10
品名
甲水果
乙水果
批发价/（元）
零售价/（元）