备考2024年中考数学计算能力训练2 实数的运算

这是一份备考2024年中考数学计算能力训练2 实数的运算，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

1．下列说法中正确的是（ ）
A．25 的值是±5B．两个无理数的和仍是无理数
C．-3没有立方根.D．a2−b2 是最简二次根式.
2．实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|m|<|n|B．m+n>0C．m−n<0D．mn>0
3．计算：|−2|+3sin30°−2−1−(2022−π)0等于（ ）
A．-2B．−12C．2D．0
4．观察下列各式：1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，…请利用你所发现的规律，计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯⋯+1+192+1102，其结果为（ ）
A．8910B．9910C．989D．889
5． 估计2(23−2)的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间．
6．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为5−12，下列各数中最接近于5−12的是（ ）
A．25B．12C．35D．34
7．若x为实数，在“(3+1)◯ x”的“◯”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（ ）
A．3−1B．1−3C．33D．1+3
8．计算sin60°⋅tan30°−sin45°⋅cs30°的结果是（ ）
A．−12+62B．32+12C．−32+12D．12−64
9．下列运算正确的是（）
A．3+2=5B．|3.14−π|=π−3.14
C．a2⋅a3=a6D．(a−1)2=a2−2a−1
10．今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来．按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A．211−47B．212−57C．213−68D．214−80
二、填空题
11．(3−1.732)0+(−14)−2= ．
12．【中考变形】
已知a=12−1+−30，b=3+2(3−2)，则a+b= .
13．计算：|−5|+(3−π)0−6×3−1+23−1−2sin60°= 。
14．计算： (π−3)0+(−1)3= ．
15． 计算：−12+(−12)−1−|3−2|= ．
16．计算：(13)−1+(2023−π)0−12sin60°= ．
三、计算题
17．计算：
（1）sin230°＋2sin60°＋tan45°＋cs230°；
（2）(π−3.14)0+(−12)−1+|3−8|−4cs45°．
18．计算：9−2cs30°−(12)−1+(π−3.14)0+|1−3|
19．计算：(12)−1−(π−2024)0+23⋅cs60°−13+2．
20．计算： (12)−1−4sin60°−(1−3)0+12 ．
21． 计算：
（1）(−12)−2+4cs30°−(3−π)0−12.
（2）(a+3)(a−3)−a(a−2)．
四、综合题
22．
（1）在计算−22−(−1)10+|−6|+333tan30°−364×(−2)−2+(−2)0时，小亮的计算过程如下：
解：−22−(−1)10+|−6|+333tan30°−364×(−2)−2+(−2)0
=4−(−1)−6+273×3−4×22+0
=4+1−6+273−16
=−2
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①−22=4；②(−1)10=−1；③|−6|=−6；
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9，其中x是方程x2−2x−3=0的根．
23．老师就式子3×□+9−○，请同学们自己出问题并解答．
（1）小磊的问题：若□代表(−2)2，○代表(−3)3，计算该式的值．
（2）小敏的问题：若□代表5，○代表a，计算的结果是有理数，求有理数a的值．
（3）小捷的问题：若3×□+9−○<4，且□和○所代表的数是互为相反数，直接写出□所代表的数的取值范围．
五、实践探究题
24．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位。那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似。
例如计算：(5+i)×(3−4i)=19−17i.
（1）填空：i3= ，i4= .
（2）计算：(3+i)2；
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将2+i2−i化简成a+bi的形式.
25．阅读理解下面内容，并解决问题.
请解决以下问题：
（1）用“>”或“<”填空：3−2 4−22．
（2）制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，6块B型钢板；方案2：用3块A型钢板，7块B型钢板；已知A型钢板的面积比B型钢板的面积大，若A型钢板的面积为x，B型钢板的面积为y，则从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由．
（3）已知a>0，比较a与1a的大小．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、25=52=5，故此选项错误，不符合题意；
B、如π与−π是两个无理数，但π+（−π）=0，0是有理数，故此选项错误，不符合题意；
C、如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根，所以-3的立方根是3−3，故此选项错误，不符合题意；
D、 a2−b2 是最简二次根式，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由一个正数的正的平方根是其算术平方根，可判断A选项；根据无理数的定义，利用举特例的方法可判断B选项；根据立方根的定义可判断C选项；由被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，可判断D选项.
2．【答案】B
【解析】【解答】由图可知，−2n，A错误；m+n>0，B正确；m−n>0，C错误；mn<0，D错误.
故答案为B
【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的运算法则、绝对值的定义、不等式的基本性质可解决此题．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：|−2|+3sin30°−2−1−(2022−π)0
=2+3×12−12−1
=2+32−12−1
=2，
故答案为：C．
【分析】先化简再计算即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：原式=1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+19×10
=9+1−12+12−13+…+19−110
=10−110
=9910
故答案为：B.
【分析】根据题干提供的方法分别化简各个二次根式，再根据“1n（n+1）=1n−1n+1”进行拆分加数，最后根据有理数的加减法法则计算即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】2(23−2)=46−2，
∵36<46<49，
∴6<46<7，
∴4<46−2<5，
故答案为：C.
【分析】先求出2(23−2)=46−2，再估算大小即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴2<5<3，
∴1<5−1<2，
∴12<5−12<1，
∴最接近5−12的是35.
故答案为：C.
【分析】先求出5−12的取值范围，再根据取值范围去判断最接近的数即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A．原式＝（3+1）×（3−1）=2 ，结果为有理数；
B．原式＝（3+1）×（1−3）=−2 ，结果为有理数；
C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数；
D．原式＝（3+1）÷（3+1）=1 ，结果为有理数．
故答案为：C．
【分析】利用实数的运算及有理数的定义求解即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：sin60°⋅tan30°−sin45°⋅cs30°
=32×33−22×32
=12−64
故答案为：D．
【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 3 与 2 不是同类二次根式，不好合并，故不符合题意；
B、 |3.14−π|=π−3.14 ，故符合题意；
C、 a2⋅a3=a5 ，故不符合题意；
D、 (a−1)2=a2−2a+1 ，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据相关运算法则逐项计算即可。
10．【答案】B
【解析】【解答】根据已有数据可得规律为：从6点30分进园人数为21人，然后每个30分钟进园人数分别为：22，23，24，，出园人数分别为：6点30分为0人，然后每个30分钟出园人数分别为：1，2，3，
∵11点30分-6点30分=5（小时）=10个30分钟，
∴上午11时30分公园内的人数是 ：2+22-1+23-2+24-3+25-4+26-5+27-6+28-7+29-8+210-9+211-10=(2+21+22+23++211)-(1+2+3+4++10)=2（1−211）1−2−55=212-57.
故答案为：B。
【分析】首先根据已有数据找出规律，每往后n个30分钟，进园人数分别为2n，出园人数分别为1，2，，由此得出 上午11时30分公园内的人数是 ：(2+21+22+23++211)-(1+2+3+4++10)，然后简便计算得出结果为212-57.
11．【答案】17
【解析】【解答】解：(3−1.732)0+(−14)−2=1+16=17．
故答案为：17．
【分析】利用零指数幂及负整数指数幂的性质先计算，再计算加法即可.
12．【答案】2
【解析】【解答】解：∵ a =(12)-1 +(−3）° = 2+1= 3，
b=(3+2)(3−2)=3-2=1
∴a+b=3+1=2
故答案为：2.【分析】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值.
13．【答案】5
【解析】【解答】解：|−5|+(3−π)0−6×3−1+23−1−2sin60°
=5+1−6×13+23+13−13+1−2×32
=6−2+3+1−3
=5
故答案为：5.
【分析】先化简算式中的各式，再把结果相加减即可；化简时，要注意负指数幂的计算方法和分母有理化的过程，要熟记特殊角的三角函数值.
14．【答案】0
【解析】【解答】解： (π−3)0+(−1)3
= 1−1
=0，
故答案为：0．
【分析】利用零指数幂的性质以及乘方的法则进而得出答案．
15．【答案】−5+3
【解析】【解答】
−12+(−12)−1−|3−2|
=-1-2-2+3
=-5+3
【分析】本题考查实数的运算，注意区别（-1）²和-1²；负整数指数幂a−n=1an（a≠0），绝对值运算时要判断绝对值内的数的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，对于代数式，脱去绝对值时要注意带括号。
16．【答案】1
【解析】【解答】解：原式=3+1-23×32=1；
故答案为：1.
【分析】利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质及特殊角三角函数值先计算，再计算加减即可.
17．【答案】（1）解：原式＝sin230°＋cs230°＋2sin60°＋tan45°＝1＋2×32＋1＝2＋3
（2）解：原式＝1＋（－2）＋|3−22|−4×22
＝1－2＋3－22−22=2−42
【解析】【分析】（1）利用sin2α+cs2α=1，只需要把sin60°和tan45°代入计算即可.
（2）根据实数的混合运算法则运算即可.其中非零数的零次幂，负整数指数幂，绝对值和特殊角的三角形函数值可以同时计算.
18．【答案】解：原式=3-2×32-2+1 +3-1
=1
【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入，再根据零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、实数的绝对值进行化简，再进行计算，即可得出答案.
19．【答案】解：(12)−1−(π−2024)0+23⋅cs60°−13+2
=2−1+23⋅12−3−2(3+2)(3−2)
=2−1+3−3+2
=1+2．
【解析】【分析】先化简负整数指数幂、零次幂、代入特殊角三角函数值，分母有理化，再进行计算即可作答．
20．【答案】解：原式=2－4× 32 －1+2 3 =1．
【解析】【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．
21．【答案】（1）解：(−12)−2+4cs30°−(3−π)0−12.
=4+4×32−1−23
=4+23−1−23
=3
（2）解：(a+3)(a−3)−a(a−2)
=a2−9−a2+2a
=2a−9．
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据整式的混合运算结合题意即可求解。
22．【答案】（1）解：其他错误，有：④tan30°=33；⑤（-2）-2=14，⑥（-2）0=1，
正确的计算过程：
解：−22−(−1)10+|−6|+333tan30°−364×(−2)−2+(−2)0
=−4−1+6+273×33−4×14+1
=−4−1+6+271−1+1
=28；
（2）解：(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9
=2x−x+3x(x−3)⋅x(x−3)(x+3)2
=x+3x(x−3)⋅x(x−3)(x+3)2
=1x+3，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式=1−1+3=12．
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义、零指数幂性质解答即可；
（2）根据分式的运算法则，一元二次方程的解法解答即可。
23．【答案】（1）解：由题意，得
3×(−2)2+9−(−3)3
=3×4+9+27
=12+9−27
=48；
（2）解：由题意得
35+9−a
∵计算的结果是有理数，
∴35=a
∴a=45；
（3）解：设口所代表的有理数为y，则〇所代表的有理数为−y，
则3y+9−(−y)<4，
解得y<−54，
∴口所代表的数的取值范围为□<−54．
【解析】【分析】 （1）将□代表(−2)2，○代表(−3)3代入 3×□+9−○， 进行计算即可；
（2）将□代表5，○代表a代入 3×□+9−○计算可得35+9−a，根据计算的结果是有理数可得35=a则a=45；
（3） 设口所代表的有理数为y，则〇所代表的有理数为−y，代入3×□+9−○可得不等式3y+9−(−y)<4，解之可得答案。
24．【答案】（1）-i；1
（2）解：（3+i）=9+6i+i2=8+6i
（3）解：2+i2−i=(2+i)2(2−i)(2+i)=4+4i+i24−i2=3+4i5=35+45i
【解析】【解答】解：（1） i3= -1×i=-i；
i4= （-1）×（-1）=1；
故答案为：-i；1.
【分析】（1）根据虚数单位的定义，直接计算即可；
（2）根据完全平方式和虚数单位的定义，计算即可；
（3）分式化简，去掉分母中的i，分母乘以一个数，使其成平方差公式，可得 i2 ；根据虚数单位的定义，分母变为实数，分子展开完全平方式，合并同类项，即可.
25．【答案】（1）>
（2）解：∵若A型钢板的面积为x，B型钢板的面积为y，
∴方案1的面积为：4x+6y；方案2的面积为：3x+7y，
∴(4x+6y)−(3x+7y)=4x+6y−3x−7y=x−y，
∵A型钢板的面积比B型钢板的面积大，
∴x−y>0，
∴4x+6y>3x+7y，
∴方案2省料．
（3）解：∵a−1a=a2−1a，
∵a>0，
∴①当a2−1>0，即a>1时，a2−1a>0，
∴a>1a，
∴②当a2−1<0，即0∴a<1a，
∴③当a2−1=0，即a=1时，a2−1a=0，
∴a=1a，
综上可知：当01时，a>1a．
【解析】【解答】解：（1）∵(3−2)−(4−22)=3−2−4+22=−1+2>0，
∴3−2>4−22，
故答案为：>；
【分析】（1）利用作差法比较大小即可；
（2）先分别表示出方案1和方案2的面积，再利用作差法比较大小即可；
（3）分类讨论，再比较大小即可。用求差法比较大小
学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子为m和n，那么
当m>n时，一定有m−n>0；
当m=n时，一定有m−n=0；
当m反过来也符合题意，即
当m−n>0时，一定有m>n；
当m−n=0时，一定有m=n；
当m−n<0时，一定有m因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大小的方法被称为“求差法”．
例如：已知a>b>c>0，比较a−cb与b−ca的大小．
解：
a−cb−b−ca=a(a−c)−b(b−c)ab=a2−ac−b2+bcab=(a2−b2)−(a−b)cab=(a−b)(a+b−c)ab
∵a>b>c>0，
∴a−b>0，ab>0，a+b−c>0，
∴(a−b)(a+b−c)ab>0，
∴a−cb>b−ca．
“求差法”的实质是把两个数（或式子）的大小判断的问题，转化为一个数（或式子）与0的大小比较的问题．一般步骤为①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．