备考2024年中考数学计算能力训练3 整式的运算

这是一份备考2024年中考数学计算能力训练3 整式的运算，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．计算(−x2)3的结果是（ ）
A．−x6B．x6C．−x5D．−x8
2．下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x＝x7B．(−3x2)2=−9x4
C．x3•x3＝2x6D．（x3）2＝x6
3．下列计算正确的是（ ）
A．3x+3y=6xyB．a2•a3=a6C．b6÷b3=b2D．（m2）3=m6
4．下列计算正确的是（ ）
A．3a3⋅2a3=6a3B．(−4a3b)2=8a6b2
C．(a+b)2=a2+b2D．−2a2+3a2=a2
5．下列运算正确的是（ ）
A．(x−1)(x+1)=x2−x−1B．x2−2x+3=(x−1)2+4
C．(x−1)2=x2−2x−1D．(x−1)(−1−x)=1−x2
6．观察一列单项式：x，−3x3，7x5，−15x7，31x9，⋯．则第n个单项式是（ ）
A．(−1)n+1(2n−1)x2n−1B．(−1)n(2n−1)x2n+1
C．(−1)n+1(2n−1)x2n−1D．(−1)n(2n+1)x2n−1
7． 若k为任意整数，则(2k+3)2−4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
8．已知10a=25,100b=40，则a+2b的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9． 对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（ ）
A．总能被3整除B．总能被4整除C．总能被6整除D．总能被7整除
10．若2a-3b=-1，则代数式 4a2−12ab+9b2的值为（ ）
A．-1B．1C．2D．3
11．已知关于x的两个多项式A=x2−ax−2，B=x2−2x−3．其中a为常数，下列说法：
①若A−B的值始终与x无关，则a=−2；
②关于x的方程A+B=0始终有两个不相等的实数根；
③若A⋅B的结果不含x2的项，则a=52；
④当a=1时，若AB的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有（ ）
A．4B．3C．2D．1
12．对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”． 例如：对2，3，4作“差绝对值运算”，得到|2−3|+|2−4|+|3−4|=4，则
①对1，3，4，7作“差绝对值运算”的结果是19；②对x2，x，−3(x2>x>−3)进行“差绝对值运算”的结果是38，则x=±4；③对a，b，c（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有7种．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．已知3x+y=-3， xy=-6，则 xy3+9x3y= .
14．若实数m满足(m−2023)2+(2024−m)2=2025，则(m−2023)(2024−m)= ．
15． 已知 m+n+2m+n=4，则 m+n2+2m+n2的值为 .
16．小明在化简：(4x2−6x+7)−(4x2−□x+2)时发现系数“□”印刷不清楚，老师提示他：“此题的化简结果是常数”，则多项式中的“□”表示的数是 .
17．如果一个三位自然数m=abc的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a+c=b，那么称这个三位数为“中庸数”．将“中庸数”m=abc的百位、个位数字交换位置，得到另一个“中庸数”m'=cba，记F(m)=m−m'99，T(m)=m+m'121．例如：m=792，m'=297．F(m)=792−29799=5，T(m)=792+297121=9．计算F(583)= ；若“中庸数”m满足2F(m)=s2，2T(m)=t2，其中s，t为自然数1，2，3……，则该“中庸数”m是 ．
18．一个四位自然数M，若它的千位数字与十位数字的差为3，百位数字与个位数字的差为2，则称M为“接二连三数”，则最大的“接二连三数”为 ；已知“接二连三数”M能被9整除，将其千位数字与百位数字之和记为P，十位数字与个位数字之差记为Q，当PQ为整数时，满足条件的M的最小值为 ．
三、计算题
19．计算：
（1）x(1−x)；
（2）(a−1)(2a+3)−2a(a−4)；
（3）x2x−1−x−1．
20．计算：
（1）(−2xy2)2⋅3x2y．
（2）(−2a2)(3ab2−5ab3)．
（3）(3m2n)2⋅(−2m2)3÷(−m2n)2．
（4）(a−2b−3c)(a−2b+3c)．
21．（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝−12.．
22．−12(xy−x2)+3(y2−12x2)+2(14xy−12y2)，其中x=−2，y=12．
23．先化简，再求值：[(x+2y)2−(x+2y)(x−2y)]÷4y，其中x=1，y=−1．
四、解答题
24．观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，92−72=8×4，⋯
（1）写出192−172的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
25．尝试：①152=225=1×2×100+25.
②252=625=2×3×100+25.
③352=1225=_▲_
...
运用：小滨给出了猜想和证明，请判断是否正确，若有错误请给出正确解答.
猜想：(10a+5)2=100a(a+1)+25.
证明：(10a+5)2=100a(a+1)+25，
所以10a2+100a+5=100a2+100a+25.
所以10a2=100a2.
因为a≠0，
所以10a2≠100a2.
所以等式不成立，结论错误.
26．已知实数a、b满足（2a2+b2+1）（2a2+b2-1）＝80，试求2a2+b2的值．解：设2a2+b2＝m，则原方程可化为（m+1）（m-1）＝80，即m2＝81，解得：m＝±9，∵2a2+b2≥0，∴2a2+b2＝9，上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．根据以上阅读材料，解决下列问题：
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2-1）（x2+y2）＝3，求3x2+3y2-2的值；
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个正整数．
27．阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式x2+2x-3的最小值．
解：x2+2x-3＝x2+2x+12-12-3＝（x2+2x+12）-4＝（x+1）2-4．
∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2-4≥-4，
∴当x＝-1时，x2+2x-3的最小值为-4．
再例如：求代数式-x2+4x-1的最大值．
解：-x2+4x-1＝-（x2-4x+1）＝-（x2-4x+22-22+1）
＝-[（x2-4x+22）-3]＝-（x-2）2+3
∵（x-2）2≥0，∴-（x-2）2≤0，∴-（x-2）2+3≤3．
∴当x＝2时，-x2+4x-1的最大值为3．
（1）【直接应用】代数式x2+4x+3的最小值为 ；
（2）【类比应用】若M＝a2+b2-2a+4b+2023，试求M的最小值；
（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20m的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
28．在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下：
a2+b2＝a2+b2+2ab-2ab＝（a+b）2-2ab＝52-2×3＝19．
（1）若a+b＝7，ab＝6，则a2+b2＝ ；
（2）若m满足（8-m）（m-3）＝3，求（8-m）2+（m-3）2的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设8-m＝a，8-m＝a，m-3＝b，
则a+b＝（8-m）+（m-3）＝5，a+b＝（8-m）+（m-3）＝5，ab＝（8-m）（m-3）＝3，
所以（8-m）2+（m-3）2＝a2+b2＝（a+b）2-2ab＝52-2×3＝19．
请参照上述方法解决下列问题：若（3x-2）（10-3x）＝6，求（3x-2）2+（10-3x）2的值；
29． 利用完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2和a2−2ab+b=2(a−b)2的特点可以解决很多数学问题.下面给出两个例子：
例1、分解因式：x2+2x−3
x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
例2、求代数式2x2−4x−6的最小值：
2x2−4x−6=2(x2−2x)−6=2(x2−2x+1−1)−6=2[(x−1)2−1]−6=2(x−1)2−8
又∵2(x−1)2≥0
∴当x=1时，代数式2x2−4x−6有最小值，最小值是−8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：m2−8m+12；
（2）代数式−x2+4x−2有最 (大、小)值，当x= 时，最值是 ；
（3）当x、y为何值时，多项式2x2+y2−8x+6y+25有最小值？并求出这个最小值．
30．发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数．如：132−32=160，160是20的8倍；262−62=640，640是20的32倍．
（1）请你仿照上面的例子，再举出一个例子：(⋅⋅⋅⋅)2−(⋅⋅⋅⋅⋅)2=(⋅⋅⋅⋅⋅)；
（2）十位数字为1，个位数字为a的两位数可表示为 ，若该两位数的平方与a的平方的差是20的5倍，则a= ；
（3）设一个两位数的十位数字为m，个位数字为n（031．灵活运用完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2可以解决许多数学问题．
例如：已知a−b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a−b=3，ab=1，∴(a−b)2=9，2ab=2，∴a2−2ab+b2=9，
∴a2−2+b2=9，∴a2+b2=9+2=11．
请根据以上材料，解答下列问题．
（1）若a2+b2与2ab−4互为相反数，求a+b的值．
（2）如图，矩形的长为a，宽为b，周长为14，面积为8，求a2+b2的值．
32．定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．
例如，三位正整数234，因为3=12×(2+4)，所以234是“半和数”．
（1）判断147是否为“半和数”，并说明理由；
（2）小林列举了几个“半和数”：111、123、234、840…，并且她发现：111÷3=37，123÷3=41，234÷3=78，840÷3=280…，所以她猜测任意一个“半和数”都能被3整除．小林的猜想正确吗？若正确，请你帮小林说明该猜想的正确性；若错误，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：−x23=−x2×3=−x6，
故答案为：A.
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 x7÷x＝x6 ，故不符合题意；
B、 （﹣3x2）2＝9x4 ，故不符合题意；
C、 x3•x3＝x6 ，故不符合题意；
D、 （x3）2＝x6 ，故符合题意。
故答案为： D 。
【分析】A、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，所以 x7÷x＝x6 ≠x7，故不符合题意；
B、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以 （﹣3x2）2＝9x4 ≠-9x4，故不符合题意；
C、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，所以 x3•x3＝x6 ≠2x6，故不符合题意；
D、 幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以（x3）2＝x6 ，故符合题意。
3．【答案】D
【解析】【解答】A、3x与3y不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B、a2•a3=a5，故B选项错误；
C、b6÷b3=b3 ，故C选项错误；
D、（m2）3=m6 ，故D选项正确．
故选：D．
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A 3a3⋅2a3=6a6，故A项不符合题意；
B (−4a3b)2=16a6b2，故B项不符合题意；
C (a+b)2=a2+b2+2ab，故C项不符合题意；
D −2a2+3a2=a2 ，故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据单项式乘单项式的法则、积的乘方、完全平方公式和合并同类项法则，即可求得.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 (x−1)(x+1)=x2−1，故A错误；
B、 x2−2x+3=(x−1)2+2，故B错误；
C、 (x−1)2=x2−2x+1故C错误；
D、 (x−1)(−1−x)=−（x−1）（1+x）=1−x2，故D正确。
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，
∴可以用(−1)n−1或(−1)n+1来表示，其中n为大于1的正整数，
∵数字系数（不含正负）为：1，3，7，15，31，⋯，
∴第n个单项式的数字系数（不含正反）为：2n−1，
∵指数是从1开始的连续奇数，
∴第n个单项式的指数为：2n−1，
∴第n个单项式为：(−1)n−1(2n−1)x2n−1或(−1)n+1(2n−1)x2n−1，
故答案为：C
【分析】先观察得到奇数项系数为正，偶数项系数为负，进而可以用(−1)n−1或(−1)n+1来表示，其中n为大于1的正整数，再结合题意即可求解。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得(2k+3)2−4k2=(2k+3+2k)(2k+3−2k)=3(4k+3)，
∴(2k+3)2−4k2的值总能被3整除，
故答案为：B
【分析】先运用平方差公式进行因式分解，再结合题意即可求解。
8．【答案】C
【解析】【解答】 解： ∵100b=102b=102b，
∴102b=40，
∴10a+2b=10a×102b=25×40=1000=103.
∴a+2b=3.
故答案为：C.
【分析】逆用幂的乘方法则和同底数幂的乘法运算法则计算即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣5）2
=n2+14n+49-（n2-10n+25）
=n2+14n+49-n2+10n-25
=24n+24
=24（n+1），
∴代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2 的值一定能被24整除，
∴代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2 的值也一定能被3或4或6整除.
故答案为：D.
【分析】将代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2 化简为24（n+1）即可得到答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵2a-3b=-1，
∴原式=（2a-3b）2=（-1）2=1.
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式，可将代数式分解为（2a-3b）2，然后整体代入求值.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：①∵A=x2−ax−2，B=x2−2x−3，
∴A−B=(x2−ax−2)−(x2−2x−3)=(2−a)x+1，
∵A−B的值始终与x无关，
∴a=2，故①不符合题意；
②A+B=x2−ax−2+x2−2x−3=2x2−(a+2)x−5=0，
∵Δ=(a+2)2+40>0，
∴关于x的方程A+B=0始终有两个不相等的实数根，
故②符合题意；
③A⋅B=(x2−ax−2)⋅(x2−2x−3)=x4−(2+a)x3+(2a−5)x2+(3a+4)x+6，
∵A⋅B的结果不含x2的项，
∴2a−5=0，
解得a=52；故③符合题意；
④当a=1时，A=x2−x−2，
∴AB=x2−x−2x2−2x−3=(x−2)(x+1)(x−3)(x+1)=x−2x−3=1+1x−3，
∵AB的值为整数，
∴x−3=±1，
解得x=4或x=2，故④符合题意；
综上，②③④符合题意；
故选：B．
【分析】先将A-B进行化简，所以A-B的值与x无关时解得a=2，故①不正确，不符合题意；将A+B=0进行化简得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得Δ>0，所以关于x的方程A+B=0始终有两个不相等的实数根，故②正确，符合题意；将A⋅B 进行化简，结合题意解得a=52故③正确，符合题意；将a=1代入 AB 进行化简，再结合题意解得x=4或x=2，故④正确，符合题意；从而求解.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：①对1，3，4，7作“差绝对值运算”得到：
|1−3|+|1−4|+|1−7|+|3−4|+|3−7|+|4−7|=2+3+6+1+4+3=19，故①正确；
②对x2，x，−3(x2>x>−3)进行“差绝对值运算”得到：
|x2−x|+|x2−(−3)|+|x−(−3)|=38，
∴x2−x+x2+3+x+3=38，
解得x=−4(舍去)或x=4，故②错误；
③对a，b，c(互不相等)进行“差绝对值运算”得到：|a−b|+|a−c|+|b−c|，
当a>b>c时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b+a−c+b−c=2a−2c；
当a>c>b时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b+a−c−b+c=2a−2b；
当b>a>c时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b+a−c+b−c=2b−2c；
当b>c>a时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b−a+c+b−c=−2a+2b；
当c>a>b时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b−a+c−b+c=−2b+2c；
当c>b>a时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b−a+c−b+c=−2a+2c；
综上，a，b，c的“差绝对值运算”的化简结果一共有6种，故③错误；
∴正确的个数为1个，
故答案为：B．
【分析】根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出对应式子计算即可判断①，根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出一元二次方程求解即可判断②，根据分类讨论的思想，分出所有a，b，c大小比较的情况并根据新定义求出所有对应的结果，据此即可求解。
13．【答案】-270
【解析】【解答】解：∵3x+y=-3， xy=-6，
∴（3x+y）2=9
∴y2+9x2+6xy=9
∴y2+9x2=9-6×（-6）=45，
∴原式=xy（y2+9x2）=-6×45=-270.
故答案为：-270.
【分析】利用已知3x+y=-3，两边平方可求出y2+9x2的值，利用因式分解法将代数式转化为xy（y2+9x2），然后整体代入求值.
14．【答案】−1012
【解析】【解答】解：∵[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，
∴1=2025+2(m-2023)·(2024-m)，
∴2(m-2023)·(2024-m)=-2024，
∴(m-2023)·(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】根据完全平方公式可得[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，然后代入计算即可.
15．【答案】12
【解析】【解答】解：∵m+n+2m+n=4，
∴m+n+2m+n2=16
∴m+n2+2m+n2+4=16，
∴m+n2+2m+n2=12.
故答案为：12.
【分析】将m+n+2m+n=4的两边同时平方，可求出m+n2+2m+n2的值.
16．【答案】6
【解析】【解答】解：设“口”表示的数为a，
(4x2−6x+7)−(4x2−ax+2)
=4x2−6x+7−4x2+ax−2
=(a−6)x+5，
∵此题的化简结果是常数，
∴a−6=0，
∴a=6，
故答案为：6
【分析】设“口”表示的数为a，根据整式的加减混合运算结合题意即可求解。
17．【答案】2；121或484或583
【解析】【解答】解：由题意得：F(583)=583−38599=2，
因为2F(m)=s2，2T(m)=t2，
∴2F(m)=100a+10b+c−(100c+10b+a)99×2=99a−99c99×2=2(a−c)，
2T(m)=2×100a+10(a+c)+c+100c+10(a+c)+a121=2×121a+121c121=2(a+c)均为完全平方数，
即2(a−c)，2(a+c)为完全平方数，且为偶数，可能为4、16、36、64、100等，
则(a−c)，(a+c)可能为0、2、8、18、50等，
因为0所以(a−c)，(a+c)只可能为0，2，8，
可得当a−c=0时，a+c=2或a+c=8；当a−c=2时，a+c=8，
所以a=c=1或a=c=4或a=5，c=3，
可得m=121或484或583．
故答案为：2；121或484或583
【分析】先根据题意结合整式的混合运算得到2F(m)=2(a−c)，2T(m)=2(a+c)均为完全平方数，进而结合题意即可得到(a−c)，(a+c)可能为0、2、8、18、50等，从而即可求出a=c=1或a=c=4或a=5，c=3，再计算m即可求解。
18．【答案】9967；8856
【解析】【解答】解：由题意可得最大的“接二连三数”为9976，设四位数字千位为x，百位为y，则十位为x-3，个位为y-2，
∴M=xy（x−3）（y−2）能被9整除且是“接二连三数”，
∴1010x+101y−329=112x+12y−4+2x+2y+49属于整数，
∵3≤x≤9,2≤y≤9,
∴7≤x+y+2≤9≤20,
∴x+y+2=9或18，
∴x+y=7或16，
当x+y=7，即x=7-y时，
PQ=x+yx−3−（y−2）=7x−y−1=76−2y=72（3−2y），
∵7是奇数，
∴ PQ 不是整数；
当x+y=16，即x=16-y时，
PQ=x+yx−3−（y−2）=16x−y−1=1615−2y，
∴15-2y=±1，±2，±4，±8,±16
解得：x=9，y=7或x=8，x=8，
∴ M=9765，8856，最小值为8856，
故答案为：9765，8856，.
【分析】设四位数字千位为x，百位为y，则十位为x-3，个位为y-2，根据定义即可求得最大的“接二连三数”为9976，由条件3≤x≤9,2≤y≤9,得到7≤x+y+2≤9≤20,进而得到x+y+2=9或18，x+y=7或16，利用分类讨论：当x+y=7，即x=7-y时；当x+y=16，即x=16-y时，得到符合题意的x、y的值，从而求解.
19．【答案】（1）解：x(1−x)=x−x2
（2）解：(a−1)(2a+3)−2a(a−4)
=2a2+3a−2a−3−2a2+8a
=9a−3
（3）解：x2x−1−x−1
=x2x−1−(x+1)
=x2−(x+1)(x−1)x−1
=x2−x2+1x−1
=1x−1．
【解析】【分析】（1）根据乘法分配律计算，即可求得；
（2）根据多项式乘多项式计算，再合并同类项即可求得；
（3）先找到最简公分母，通分，再化简，即可求得.
20．【答案】（1）解：(−2xy2)2⋅3x2y
=4x2y4⋅3x2y
=12x4y5；
（2）解：(−2a2)(3ab2−5ab3)
=−6a3b2+10a3b3；
（3）解：(3m2n)2⋅(−2m2)3÷(−m2n)2
=9m4n2⋅(−8m6)÷m4n2
=−72m10n2÷m4n2
=−72m6；
（4）解：(a−2b−3c)(a−2b+3c)
=[(a−2b)−3c][(a−2b)+3c]
=(a−2b)2−9c2
=a2−4ab+4b2−9c2．
【解析】【分析】（1）利用单项式乘单项式法则计算即可求解；
（2）利用单项式乘多项式法则计算即可求解；
（3）先计算积的乘方，再利用单项式的乘法法则、除法法则进行计算即可求解；
（4）利用平方差公式进行计算即可求解.
21．【答案】解：原式＝x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x
＝x2+3，
当x=−12时，
∴原式＝（−12）2+3
＝314．
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式对原式进行化简得到原式为x2+3，进而把x=−12代入即可求解.
22．【答案】解：−12(xy−x2)+3(y2−12x2)+2(14xy−12y2)
=−12xy+12x2+3y2−32x2+12xy−y2
=−x2+2y2，
当x=−2，y=12时，
原式=−(−2)2+2×(12)2
=−4+2×14
=−4+12
=−72．
【解析】【分析】根据整式的运算法则进行化简，再代入x,y的值进行计算即可。合并同类项时，要认真分辨确认，注意各项的符号。
23．【答案】解：
化简方法一：[(x+2y)2−(x+2y)(x−2y)]÷4y
=[(x+2y)(x+2y−x+2y)]÷4y
=[(x+2y)·4y]÷4y
=x+2y
化简方法二：
[(x+2y)2−(x+2y)(x−2y)]÷4y
=[(x2+4xy+4y2)−(x2−4y2)]÷4y
=(x2+4xy+4y2−x2+4y2)÷4y
=(4xy+8y2)÷4y
=4xy÷4y+8y2÷4y
=x+2y
当x=1，y=−1时，
原式=1+2×(−1)=−1．
【解析】【分析】方法一：先对括号里边部分提取公因式，剩余部分合并同类型，然后再进行除法运算，最终的运算结果要代入求值；
方法二：先利用完全平方公式和平方差公式计算括号里边部分，合并同类项之后再进行除法运算，最终的运算结果要代入求值.
24．【答案】（1）8×9
（2）(2n+1)2−(2n−1)2=8n
（3）(2n+1)2−(2n−1)2
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=4n×2=8n。
∴结论正确．
【解析】【解答】解：（1）192−172=8×9；
（2）(2n+1)2−(2n−1)2=8n
【分析】（1）观察可得192-172的结果；
（2）观察可得等号右边的底数可表示为2n+1、2n-1，右边的式子可表示为8n，据此解答；
（3）根据平方差公式进行证明.
25．【答案】解：尝试：3×4×100+25；
运用：猜想正确，证明错误，
证明：（10a+5）2=100a（a+1）+25，
左边=100a2+100a+25，
右边=100a2+100a+25，
故左边=右边，
∴等式成立，结论正确.
【解析】【分析】尝试：找出等号右边的规律，即可求解；运用： 利用完全平方公式对等式左边式子进行整理，再与等式右边式子对比即可证明.
26．【答案】（1）解：令 x2+y2＝m，
∴（2x2+2y2-1）（x2+y2）＝3化为：（2m-1）m＝3，
解得：m=32 或m＝-1，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=32，
∴3x2+3y2−2=3×32−2=52；
（2）解：设最小的数为x，则 x（x+1）（x+2）（x+3）＝120，
∴（x2+3x）（x2+3x+2）＝120，
设 x2+3x＝m，则 m2+2m-120＝0，
解得：m1＝-12m2＝10，
∵x是正整数，
∴x2+3x＝10，
解得：x1＝2，x2＝-5 （舍去），
∴这四个正整数为2，3，4，5．
【解析】【分析】（1）令 x2+y2＝m，把式子进行换元，然后计算m的值，再根据平方的非负性判断能取到的m值，最后代入3x2+3y2-2中，求解即可。
（2）设最小的数为x，则 x（x+1）（x+2）（x+3）＝120，对其进行化简，化简结果为（x2+3x）（x2+3x+2）＝120，令x2+3x＝m，用换元法计算m的值，从而求出这四个数。
27．【答案】（1）-1
（2）解：M =a2 +b2- 2a + 4b+2023
=a2- 2a +b2+4b+2023
=a2-2a+12+b2 +4b+22+2018
=(a - 1)2 + (b + 2)2 + 2018，
∵ (a-1)2 ≥ 0， (b+ 2)2 ≥0，
∴ (a - 1)2 + (b + 2)2 +2018≥2018
∴ M的最小值为2018；
（3）解：设垂直于墙的一边长为xm，围成的菜地的面积为S，则平行于墙的一边长为
(20-2x)m，
根据题意得：S =(20-2x)x
=-2x2+20x
=-2(x-5)2 +50，
∵ -2<0，
∴ 当x = 5时，S取得最大值，最大值为50，
答：围成的菜地的最大面积为50m2.
【解析】【解答】(1)x2+4x+3
=x2+4x+4-1
=(x+2)2 - 1，
∵ (x+2)2 ≥0，
∴ (x+2)2 -1≥-1，
∴ 代数式x2+ 4x+3的最小值为一1.
故答案为：-1；
【分析】(1)利用配方法，将原式变形为(x+2)-1，结合(x +2)≥0，可得出原式≥1，进而可得出原式的最小值；
(2)利用配方法，将原式变形为(a - 1)2 + (b + 2)2 + 2018，结合(a - 1) ≥ 0，(b + 2)≥0，可得出M ≥ 2018，进而可得出M的最小值；
(3)设垂直于墙的一边长为xm，围成的菜地的面积为S，则平行于墙的一边长为(20- 2x)m，利用长方形的面积公式，可得出S关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题.
28．【答案】（1）37
（2）解：∵（3x-2）（10-3x）＝6，
∴（3x-2）+（10-3x）＝8，
∴（3x-2）2+（10-3x）2
＝[（3x-2）+（10-3x）]2-2×（3x-2）（10-3x）
＝64-12
＝52．
【解析】【解答】解：（1）根据学习小组的结论可得 a2+b2＝（a+b）2-2ab，
∴当a+b＝7，ab＝6时，a2+b2＝72-2×6=49-12=37，
【分析】（1）根据学习小组的发现结论，将a+b＝7，ab＝6，整体带入即可求解；
（2）根据材料中例子，将3x-2看作一个整体，再进行上述规则进行计算即可.
29．【答案】（1）解：m2−8m+12=(m−2)(m−6)；
（2）大；2；2
（3）解：
2x2+y2−8x+6y+25=2(x2−4x+4)+(y2+6y+9)−8−9+25=2(x−2)2+(y+3)2+8∵(x−2)2≥0，(y+3)2≥0
∴当x=2，y=−3时，这个多项式有最小值，最小值为8．
【解析】【解答】解：（2） −x2+4x−2=−x2−4x−2=−x−22+2，
∵x−22≥0，
∴−x−22≤0，
∴当x=2时， 代数式−x2+4x−2有最大值，最大值是2，
故答案为：大；2；2.
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用配方法求出−x2+4x−2=−x2−4x−2=−x−22+2，再求出−x−22≤0，最后求最值即可；
（3）根据题意先配方，再求出 (x−2)2≥0，(y+3)2≥0 ，最后求最值即可。
30．【答案】（1）15；5；200
（2）10+a；0
（3）解：十位数字为m，个位数字为n（0∴这个表示为10m+n，
∴(10m+n)2−n2=100m2+20mn+n2−n2=100m2+20mn，(100m2+20mn)÷20=5m2+mn，
∴(10m+n)2−n2=100m2+20mn，且(10m+n)2−n2是20的(5m2+mn)倍，且5m2+mn是正整数，
∴一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数，符合题意．
【解析】【解答】（1）解：152−52=225−25=200，200是20的10倍，
故答案为：15，5，200（答案不唯一）．
（2）解：十位数字为1，表示为10×1=10，个位数字为a表示为1×a=a，
∴这个两位数表示为10+a，
根据材料提示得，(10+a)2−a2=100+20a+a2−a2=100+20a，
20的5倍表示为20×5=100，
∴100+20a=100，解得，a=0，
故答案为：0．
【分析】（1）根据题干所给的式子，找出规律求解即可；
（2）先求出这个两位数表示为10+a，再列方程求出100+20a=100，最后求解即可；
（3）根据题意找出规律求出 (10m+n)2−n2=100m2+20mn， 再求解即可。
31．【答案】（1）解：∵a2+b2与2ab−4互为相反数，
∴a2+b2+2ab−4=0，
∴a2+b2+2ab=4，
∴(a+b)2=4，
∴a+b=±2
（2）解：∵矩形的周长为14，面积为8，
∴a+b=142=7，ab=8，
∴(a+b)2=49，2ab=16，
∴a2+2ab+b2=49，
∴a2+16+b2=49，
∴a2+b2=49−16=33．
【解析】【分析】（1） 根据a2+b2与2ab−4互为相反数，可得a2+b2+2ab−4=0， 根据完全平方公式可得 (a+b)2=4， 解之可得答案；
（2）根据矩形的周长和面积公式可得a+b=7，ab=8， 则 (a+b)2=49，2ab=16， 利用完全平方公式可得a2+2ab+b2=49，解之可得答案。
32．【答案】（1）解：∵147的百位数字为1，十位数字为4，个位数字为7，且4=1+72，
∴147是“半和数”；
（2）解：小林的猜想正确．
理由：设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为整数，且m不为0），
则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为：
100m+10×m+n2+n=105m+6n=3(35m+2n)，
∵m，n均为整数，
∴35m+2n为整数，
∴3(35m+2n)是3的倍数，
∴任意一个“半和数”都能被3整除．
故小林的猜想正确．
【解析】【分析】（1）根据“半和数”的定义求解即可；
（2）设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n，根据题意列出算式100m+10×m+n2+n=105m+6n=3(35m+2n)再结合 3(35m+2n)是3的倍数， 即可得到任意一个“半和数”都能被3整除，从而得解。