安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知某平面图形OABC的直观图是如图所示的梯形,且,，，则原图形OABC的面积是( )
A.B.C.12D.10
3．若同一平面内的三个力,,作用于同一个物体,且该物体处于平衡状态.已知,,且与的夹角为,则力的大小为( )
A.37B.C.13D.
4．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则( )
A.B.C.D.
5．如图所示，在平行四边形OADB中，设向量，，且满足，，则用，表示向量( )
A.B.C.D.
6．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足,则该三角形为( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不能确定
7．已知外心是点O,且,,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
8．在中,点D满足,点E在射线AD（不含点A）上移动，若，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题中正确的有( )
A.若,则
B.
C.与的方向相反
D.若非零向量，满足,则向量与的夹角为
10．下列命题正确的有( )
A.若复数z满足,则|z|的最大值为2
B.若复数z满足,则
C.若复数，满足,则
D.若复数，满足且,则
11．在等腰梯形ABCD中,,，，以CD所在的直线为轴,其余三边绕CD旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的有( )
A.等梯形ABCD的高为1B.该几何体为圆柱
C.该几何体的表面积为D.该几何体的体积为
三、填空题
12．已知向量,，则向量与的夹角大小为______.
13．现有一块如图所示的三棱锥木料,其中,,木工师傅打算过点A将木料切成两部分,则截面周长的最小值为______.
14．由三角形内心的定义可得:若点O为内心,则存在实数,使得.在中,,若点O为内心,且满足,则的最大值为______.
四、解答题
15．（1）在复数范围内解方程:;
（2）已知关于的方程,其中a,b为实数,若(是虚数单位)是该方程的根,求a与b的值.
16．已知向量，
(1)设,若,求实数的值;
(2)若与共线,求实数的值.
17．2024年是宿州市泗县北部新城建立7周年,泗县县政府始终坚持财力有一分增长,民生有一分改善,全力打造我县民生样板,使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”,老厂房、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老厂房,计划对其改造,规划图如图中五边形ABCDE所示,其中为等腰三角形,且,，，，计划沿线段BE修建步行道.
（1）求步行道BE的长度；
（2）现准备将区域建为绿化带且,当绿化带的周长最大时,求该绿化带的周长与面积.
18．给出以下三个条件:①,②,③.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解.
已知在锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求边长C;
(2)若的面积,求角C的最大值.
19．定义1:对于一个数集A,定义一种运算,对任意都有,则称集合A关于运算是封闭的(例如:自然数集N对于加法运算是封闭的).
定义2:对于一个数集A,若存在一个元素,使得任意,满足,则称a为集合A中的零元,若存在一个元素,使得任意,满足,则称b为集合A中的单位元(例如:0和1分别为自然数集N中的零元和单位元).
定义3:对于一个数集A,如果满足下列关系:
①有零元和单位元;
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的;
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律,且满足乘法对加法的分配律;则称这个数集A是一个数域.
（1）指出常用数集N，Z，Q，R，C中，那些数集可以构成数域（不需要证明）;
（2）已知集合,证明:集合A关于乘法运算是封闭的;
（3）已知集合,证明:集合A是一个数域.
参考答案
1．答案：C
解析：,共轭复数为,
共轭复数在复平面内对应的点为,位于第三象限,
故选:C.
2．答案：D
解析：根据题意,直观图梯形中,，，，
则该梯形的高,
则其面积,
则原图的面积.
故选:D.
3．答案：D
解析：由题意可知,,
所以,
所以
所以,
即力的大小为.
故选:D.
4．答案：D
解析：因为,且,所以,
由正弦定理得,即,
解得.
故选:D.
5．答案：C
解析：四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形,，，
，
故选C.
6．答案：B
解析：由及余弦定理,得,化简得.所以一定是等腰三角形.故选B.
7．答案：A
解析：
8．答案：B
解析：设,
所以
又因为,
所以,
所以
故选:B.
9．答案：CD
解析：对于A,向量不能比较大小,故A错误;
对于B,
故B错误;
对于C，，a与b的方向相反,故C正确;
对于D,若非零向量a,b满足,则,即,即,所以向量a与b的夹角为,
故D正确.故选:CD.
10．答案：AD
解析：对于A,由,所以,即|z|的最大值为2,选项A正确;对于B，时,,但,选项B错误;
对于C，,，满足,但,选项C错误;
对于D,由且,则,所以,选项D正确.
故选:AD.
11．答案：ACD
解析：在等腰梯形ABCD中,,，,
以CD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体,
由题意得,等腰梯形ABCD的高为1,
该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上下两个圆锥,A正确，B错误.
该几何体的表面积,体积正确,D正确.
故选:ACD.
12．答案：（或）
解析：设向量与的夹角为,，
，
则,，
故,
所以.
故答案为:.
13．答案：
解析：根据题意,沿着侧棱VA把正三棱锥展开在一个平面内,如下图所示:
则即为的周长的最小值,
又因为,则,
故
则截面周长的最小值为.
故答案为:.
14．答案：
解析：如图：
延长AO交BC于点D，于点E，
于F
又B，C，D三点共线
又
的最大值为
补充:
为锐角.
15．答案：（1）；（2）
解析：(1)
方程的根为.
(2)是方程的根
也是方程的根
由实系数一元二次方程根与系数的关系得
解得
16．答案：（1）；（2）
解析：（1），
，
，，
即，
(2)与共线,且与不共线
存在,使得
故,即
从而
17．答案：（1）；（2）
解析:(1)在中,由正弦定理知
，解得
，，
为等腰直角三角形
,，即步行道BE的长度为
(2)在中,由余弦定理知
,即
当且仅当时,等号成立,此时
即的最大值为8
的周长为
绿化带的周长最大为
18．答案：（1）；（2）
解析:（1）选①,
，
选②,，
，
选③,，
，
,由正弦定理得，
（2），当且仅当时，等号成立
，
又由于，，
,，即
又在锐角中,,则
,即,所以角C的最大值为
19．答案：（1）Q，R，C；（2）答案见解析；（3）答案见解析
解析：（1）Q，R，C；
（2）设，都为整数),显然,且,
易得
显然，
所以
即集合A关于乘法运算是封闭的
（3）①显然,当时;当，时,
又易得,对任意都有,，所以集合A中有零元0和单位元1
②设，
则
因为，，，都为有理数,所以，也都为有理数
所以
又由(2)同理可得,，，，都为有理数时
，也都为有理数
所以当时,令
显然，都是有理数，所以
所以
所以集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的；
③显然任意,都有,由R中加法,乘法运算都满足交换律、结合律,还满足乘法对加法的分配律,所以集合A中加法,乘法运算都满足交换律、结合律,还满足乘法对加法的分配律；综上可知,集合A是一个数域.