广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设,在复平面内z对应的点为Z,若,则点Z所在区域的面积为( )
A.15πB.6πC.3πD.2π
3．已知,,则( )
A.B.C.D.
4．在中,已知A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,( )
A.B.2C.D.
5．若直线与单位圆交于A,B两个不同的点,则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6．大学生甲,乙两名同学计划今年五·一假期期间分别从岳阳楼,承德避暑山庄,都江堰,长沙橘子洲头,苏州园林五个不同的景区随机选三个景点前往打卡旅游,则两人恰好有两个景区相同的选法共有( )
A.36种B.48种C.60种D.72种
7．若双曲线的离心率为5,右焦点为,点E的坐标为,则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为( )
A.0个B.1个C.2个D.不确定
8．在数列中,已知,且,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图,则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5%
B.讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C.讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
10．函数的部分图象如图,若的相邻两个零点间的距离为,则( )
A.
B.
C.的零点形成的集合为
D.的单调递减区间为
11．定义域为R的函数的导函数为,若是奇函数,,,且,,,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知,,若,则______.
13．小明喜爱踢足球和打羽毛球.在周末的某天,他下午去踢足球的概率为.若他下午去踢足球,则晚上一定去打羽毛球;若下午不去踢足球,则晚上去打羽毛球的概率为.已知小明在某个周末晚上去打羽毛球,则下午踢足球的概率为______.
14．已知侧棱长为l的正四棱锥的顶点都在直径为6的同一球面上,则该正四棱锥的体积的最大值是______.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求的单调区间;
（2）若在上恒成立,求实数a的取值范围.
16．如图,在正三棱柱中,,O为AB的中点,D为的中点.
（1）证明:平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．A,B两人进行象棋友谊赛,双方约定:在任意一局比赛中,一方获胜,打成平局和失败分别记分,m分和0分.比赛两局,已知在每局比赛中A获胜,打成平局和战败的概率分别为0.5,0.3,0.2.各局的比赛结果相互独立.
（1）若,求A两局得分之和为5的概率;
（2）若,用X表示B两局比赛的得分之和,求X的分布列.
18．已知抛物线C的方程为,直线与C交于A,B两点,且.
（1）求p;
（2）设C的焦点为F,直线与C交于M,N两点,且以MN为直径的圆经过F,当时,求点F到l距离的取值范围.
19．设等比数列:a,,,…,,b,,,…,,c的公比为q,其中s,t都为正奇数,a,b,c构成单调递增的正项等差数列.
（1）求证:;
（2）求证:;
（3）把用a,c,s,t表示.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意.故选A.
2．答案：A
解析：因为,所以点Z所在区域的面积为.故选A.
3．答案：C
解析：.故选C.
4．答案：B
解析：因为,所以设,,
由余弦定理得,,所以,所以.故选B.
5．答案：A
解析：因为,所以是的充分不必要条件.故选A.
6．答案：C
解析：两人恰好有两个景区相同的选法为.故选C.
7．答案：C解析：因为双曲线的离心率为,
所以,所以,,所以E的坐标为,C的渐近线斜率为2,
又,所以直线OE与双曲线的交点个数为2个.故选C.
8．答案：D
解析：因为,,
因为,所以.所以,
所以,所以.故选D.
9．答案：ABC
解析：讲座前中位数为,所以A正确;
讲座后问卷答题的正确率有4个85%,其余正确率的个数都小于4.所以讲座后问卷答题的正确率的众数为85%,所以B正确;
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差,所以C正确;
讲座后问卷答题的正确率的极差为,讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以D错误.故选ABC.
10．答案：ABD
解析：由已知得,最小正周期,所以,所以A正确;
因为,所以,因为,且在单调递增区间内,所以,所以B正确;
令得,,所以,所以C错误;
当时,单调递减,
所以当时,单调递减,所以D正确,故选ABD.
11．答案：BCD
解析：A.因为为奇函数且定义域为R,所以,所以A错误;
B.令,则,解得.所以B正确;
C.令得,,
即,所以C正确;
D.令得.,
因为,,所以,所以,
因为是奇函数,所以是偶函数,所以,
所以,所以,所以,所以D正确.故选BCD.
12．答案：1
解析：因为,所以,所以.故答案为1.
13．答案：
解析：设其周末晚间去打羽毛球的概率为,下午去踢足球的概率为,
则,,则,故答案为.
14．答案：解析：l的取值范围是,不妨设高为h,底面边长为a,
则,或,
所以,,
,故当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
所以.故答案为.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）定义域为R,,
令得或.
的单调增区间为和,减区间为.
（2）由（1）得,在,上单调递增,在上单调递减,
由题意得,,,,
故,
解得或,故实数a的取值范围为.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为,O为AB中点,所以,
因为D为的中点,所以,
因为在正三棱柱中,平面ABC,所以,
因为O为正三角形ABC的边AB的中点,所以,
因为,所以平面,所以,
因为,平面,平面,所以⊥平面.
（2）取的中点为连接,则,
所以平面ABC,因为,所以OB,OC,两两垂直,
以直线OB,OC,分别为x,y,z轴建立空间坐标系,
所以,,.所以由（1）得,为平面的法向量.
,,
所以,,
设平面ABC的法向量为,
所以,不妨设.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：（1）0.2
（2）见解析
解析：（1）若,由已知条件得,A两局得分之和为5等价于一胜一负,
所以A两局得分之和为5的概率为.
（2）因为在一局比赛中A获胜,打成平局和战败的概率分别为0.5,0.3,0.2,
所以在一局比赛中B获胜,打成平局和失败的概率分别为0.2,,
若,则X的可能取值为0,3,6,9,12,
,
,
,
,
,
所以X的分布列为
18．答案：（1）2
（2）见解析
解析：（1）因为直线与C交于A,B两点,且,所以,所以.
（2）由已知得,,设,,
由可得,,
所以,,,
因为以MN为直径的圆经过F,所以,所以,
即,
所以
将,代入得,.
所以,且,解得或,
因为,所以,
设点F到直线MN的距离为d,
所以,
令,
所以.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）由题意知,又,可得,
所以,又是正偶数,所以.
（2）设等差数列a,b,c的公差为d,由题意得,,
又,,故,
可得,又,又,都为正偶数,
故,即,
又由（1）的结论得,,故有,即.
（3）设个数所构成的等比数列为,
则,,,
由,可得,
,
又,,由s,t都为正奇数,则q既可为正数,也可为负数.
若q为正数,则,插入的个数的乘积为;
若q为负数,,,…,中,,…,为负数,即共有个负数,
故,所插入的个数的乘积为,
所以当时,所插入个数的积为,
当时,所插入个数的积为.
综上所述,当q为正数时,为,
当q为负数时,为.
X
0
3
6
9
12
P
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04