湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知命题，，则( )
A.，B.，
C.，D.时，P为真命题
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．下列函数中最小正周期为,且在区间上单调递增的是( )
A.B.C.D.
5．已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有( )
A.B.C.D.
6．如图，在圆C中，C是圆心，点A，B在圆上，的值( )
A.只与圆C的半径有关
B.只与弦AB的长度有关
C.既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关
D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值
7．已知，，则( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若函数在上恰有3个零点，则实数取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知幂函数的图象经过点，则( )
A.函数为奇函数B.函数在定义域上为减函数
C.函数的值域为RD.当时，
10．若x,.且,则( )
A.B.C.D.
11．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是( )
A.B.C.D.P离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
三、填空题
12．在中，，，，则BC边上的高的长度为________.
13．已知正三角形ABC的边长为2，点P在边BC上，则的最大值为___________.
14．某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则________．
四、解答题
15．已知
（1）化简；
（2）若，求的值．
16．已知向量，满足：，，.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）若，求实数的值.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．
（1）求角B的大小；
（2）设M是AC的中点，且，，求的面积．
18．已知函数的最大值为.
（1）求常数m的值，并求函数取最大值时相应x的集合；
（2）求函数的单调递增区间和对称中心.
19．已知函数
（1）当时，求有意义时x的取值范围；
（2）若在时都有意义，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围．
参考答案
1．答案：B
解析：命题，，
故，，所以A选项和C选项错误，B选项正确；
当时，方程的，所以方程有解，
P为假命题，故D选项错误.
故选：B
2．答案：D
解析：或
所以，
故选：D
3．答案：A
解析：由，得，即，
但若，取，，则不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件；
故选:A.
4．答案：B
解析：依题意,对于AC,最小正周期为：,所以AC选项不符合题意;
对于B：周期为：,且在上单调递增,所以B选项符合题意;
对于D：周期为：,且在上单调递减,所以D选项不符合题意;
故选：B.
5．答案：C
解析：因为，所以设，
因为，，
所以，可得，
所以，
故选：C．
6．答案：B
解析：设与的夹角为，在中，.
，
的值只与弦AB的长度有关，
故选：B.
7．答案：C
解析：由，，
所以，，
所以.
故选：C.
8．答案：D
解析：令，则，
解得或，
即或，
因为函数在上恰有3个零点，
所以，，
第一个不等式组解得，，
第二个不等式组解得，
所以所求取值范围为.
故选：D.
9．答案：AD
解析：设幂函数为
将代入解析式得，故，所以，
定义域为，
因为，故函数为奇函数，故A正确；
函数在，上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；
显然的值域为，故C错误；
当时，，
即满足，故D正确
故选：AD
10．答案：ABD
解析：根据题意,依次分析选项:
对于A,若x,,,当且仅当时等号成立,A正确;
对于B,,
,,,B正确;
对于C,,当且仅当时等号成立,C错误;
对于D,,则有,变形可得,
故,当且仅当时,取等号,故D正确;
故选:ABD.
11．答案：ABD
解析：由题意，d的最大值为5.2，最小值为-0.8，
则，，
所以，故A正确；
由旋转一周需要60s，得函数的周期，所以，故B正确；
故，
当时，，
则，所以，故C错误；
由，，得，
因为，所以，
由，得，
令，得，
所以，故，
所以P离水面的距离不小于3.7m的时长为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：在中，，，，所以，
由余弦定理可得：，
所以BC边上的高为：.
故答案为：.
13．答案：2
解析：以BC为x轴，BC边上的高为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
则，，，
，
则，当时，有最大值2
故答案为：2
14．答案：或
解析：
如图，因为O是的外心，
所以，，，
由结论可得，
即，
可得，即.
因为，
所以，
所以，即，即，
解得.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）
（2）由（1）易得，
所以
16．答案：（1）；（2）；（3）.
解析：（1）由题意得，
即，∴，
，.
（2）.
（3）， ，
即..
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，由正弦定理边角互化得，
因为，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，
（2）因为M是AC中点，
所以，，
所以，，
因为，，
所以，，即，解得，（舍），
所以，
18．答案：（1），
（2）单调递增区间为（），对称中心为，
解析：（1）因为
.
当时，函数取到最大值，
所以，即，
令，，解得，，
所以当函数取到最大值时x的集合为.
（2）由（1）得，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为（），
由，，解得，，
所以函数的对称中心为，.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）要使有意义，则，
∵即解得
所以，x的取值范围为.
（2）在时都有意义，即在时恒成立，
即在时恒成立，
即在时恒成立，只需即可
令，
令，
，，
当且仅当，，且，即时等号成立，
，即最大值为1，
.
（3）由已知，有且仅有一个解，
即有且仅有一个解，
即有且仅有一个解，
且，，由（2）知，
显然，则有且仅有一个解，
令，则只有一个解，且，
当时，方程化为，解得满足；
当，即时，，
此时只有一个解，符合题意，
当，即时，，解得，
综上所述，.