江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知向量，，若，则实数( )
A.9B.4C.D.
2．计算的结果是( )
A.2iB.-2iC.iD.-i
3．已知，，则( )
A.B.C.D.
4．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿着正北方向航行.若A船的航行速度为40 n mile，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船的距离是( )
A. n mileB. n mileC. n mileD. n mile
5．在长方体中，，，则与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．在锐角中，，，则BC的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．平行四边形中，，，，，则的值为( )
A.16B.14C.12D.10
8．已知，，且，.则的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列关于向量的说法正确的是( )
A.若，，则
B.若单位向量,夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C.若与不共线，且，那么
D.若且，则
10．对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A.若，则为钝角三角形
B.若，，且有两解，则的取值范围是
C.在锐角中，不等式恒成立
D.在中，若，，则必是等边三角形
11．如图，在长方体中，，，E、F分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有( )
A.直线与为相交直线
B.异面直线与所成角为
C.若P是棱上一点，且，则E、C、P、F四点共面
D.平面C，E，F截该长方体所得的截面可能为六边形
三、填空题
12．已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为______.
13．计算______.
14．设，，都是单位向量，且，则的最小值为______.
四、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，，求的面积.
16．如图，在正方体中，若P为棱的中点，
（1）判断平面与平面是否相交.如果相交，在左图作出这两个平面的交线，并说明理由；
（2）如右图，求证：平面.
17．已知向量，，函数.
（1）求函数的最小正周期及最小值；
（2）若，求的值.
18．已知的两个顶点分别为原点O和，且，.
（1）求点B的坐标；
（2）若点B落在第二象限，，点P是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标，并求的值.
19．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.
（1）当时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高h（用表示）；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，所以，得.
故选D
2．答案：C
解析：
故选C
3．答案：A
解析：由，得，则，
故选A
4．答案：A
解析：由题可知：，，，
由正弦定理可知：
，
故选：A
5．答案：D
解析：如图，连接，．
在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角；
在三角形中，，
由余弦定理得.
故选：D
.
6．答案：B
解析：由正弦定理得，所以.因为锐角中，，所以，所以.所以，所以，即.
7．答案：A
解析：因为，，，，
所以
.
故选：A
8．答案：A
解析：因为，所以，
所以，
化简得：，
所以，
又由，可得，
所以，即，所以，
所以，又，所以，
所以.
故选：A
9．答案：BC
解析：选项A，若，则与不一定平行，A错误.
选项，向量在向量上的投影为，B正确.
选项，，且与不共线，则，为非零向量，则，C正确.
选项，由可得，，则，不能推出，D错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：选项A：中，若，
即，所以由正弦定理得，
又由余弦定理得，所以，
为钝角三角形，A正确；
选项B：如图所示，
若有两解，则，解得，B正确；
选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，则，
又因为在单调递增，所以，C正确；
选项D：若，，
由余弦定理，，
所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确.
故选：ACD
11．答案：AC
解析：因为且，可得四边形为梯形，
所以与必相交，所以A正确；
由题意，在正方体中，因为平面，
平面，所以，
假设异面直线与所成角是，即，
平面，，
可得平面，而平面，
则，
在长方形中，因为，
取中点F，可知正方形中，
可得与不垂直，矛盾，
M所以异面直线与所成角不是，所以B错误；
点P是棱上一点，且，取的中点，连接，，
因为F，P分别是和的中点，所以，
由四边形为平行四边形，所以，所以E，C，P，F四点共面，所以C正确；
由选项C可知，，，为截面的边，截面又与平面及相交，
可得截面的两条边，所以截面共有五边形，所以D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：设圆台上底面半径为，轴截面如下图所示：过B作，垂足为E，
则有，，，，因为，
所以有或（舍去），
所以圆台的体积为：，
故答案为：
13．答案：
解析：原式
故答案为：-4
14．答案：
解析：因为，，
则，
所以
，
当与方向相同时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
15．答案：（1）；（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，则有，
，
，又，，
，，
；
（2）根据余弦定理有，
则有，解得或（舍去），
则.
16．答案：（1）相交，证明见解析；
（2）证明见解析；
解析：（1）平面与平面ABCD相交，
因为，
所以D，，B，P四点共面，且与不平行则必相交，
如图，连接、并延长交于Q，连接，
则平面平面.
（2）连接，交与点O，连接，
在中，点O，P分别是，的中点，所以，
而平面，平面，
所以平面.
17．答案：（1）；；
（2）
解析：（1）
∴函数的最小正周期，
当即，时，函数的最小值是．
（2）由（1）知，
∴，
所以
.
18．答案：（1）或；
（2），
解析：（1）设点B的坐标为，则，，
因为，所以，
又，所以，
联立解得或，
所以点B的坐标为或.
（2）因为点B落在第二象限，所以，
因为点P是直线上的一个动点，所以，设，则，
所以，，
所以，
所以当时，取得最小值，此时，
所以，，
所以
19．答案：（1）；（2）；
（3），S最小值为
解析：（1）当时，，
所以，
又
所以是等边三角形，所以，
所以在中，，即，
所以；
（2），，，
在中，由正弦定理得，
所以
所以
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，所以；
（3）在中，由正弦定理得，
所以，
所以
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取最小值，
故S关于的函数表达式为，S最小值为.