克东县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份克东县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若,则正整数的值是( )
A.2B.3C.4D.2或3
2．将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中,则不同的发送方法共有( )
A.种B.种C.种D.种
3．从甲地到乙地有3种走法,从乙地到丙地有2种走法,若从甲地到达丙地必须经过乙地,则从甲地到丙地的不同走法的种数为( )
A.5B.6C.8D.12
4．从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有( )
A.60种B.80种C.100种D.120种
5．的展开式中的系数为( )
A.-40B.-20C.20D.40
6．由0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是( )
A.480B.560C.750D.630
7．的展开式中的系数是( )
A.56B.84C.96D.126
8．在的展开式中含项的系数为15,则展开式中二项式系数最大项是第( )
A.4项B.5项C.6项D.3项
二、多项选择题
9．若,则m的值可以是( )
A.3B.4C.5D.6
10．对于的展开式，下列说法正确的是( )
A.展开式共有8项
B.展开式中的常数项是70
C.展开式中各项系数之和为0
D.展开式中的二项式系数之和为64
11．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E,F六个社区进行暑期社会实践活动,每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动,下列说法正确的有( )
A.如果社区B必须有同学选择,则不同的安排方法有88种
B.如果同学乙必须选择社区C,则不同的安排方法有36种
C.如果三名同学选择的社区各不相同,则不同的安排方法共有150种
D.如果甲、丙两名同学必须在同一个社区,则不同的安排方法共有36种
三、填空题
12．______.
13．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为_________.
四、双空题
14．已知的二项展开式中,所有二项式系数的和为256,则______,展开式中的常数项为______.(结果用数值表示).
五、解答题
15．某班级举行元旦文艺晚会,晚会有3个唱歌节目和3个小品节目.
(1)若第一个节目是小品节目,有多少种排法?
(2)若3个唱歌节目要排在一起,有多少种排法?
16．从3位女生,4位男生中选出3人参加校园大扫除活动.
(1)共有多少种不同的选择方法?
(2)如果至少有1位女生人选,共有多少种不同的选择方法?
17．已知的展开式中所有项的系数之和为.
(1)求展开式中的系数;
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
18．已知,.记.
(1)求的值;
(2)化简的表达式,并证明;对任意,都能被整除.
19．设的第项系数为.
(1)当时,求的最大值.
(2)若[x]表示的整数部分,,求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：由或,可得或3.
2．答案：B
解析：将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中,共有种发送方法,故选B.
3．答案：B
解析：由分步计数原理可知,从甲地到丙地的不同的走法种数为.
4．答案：D
解析：从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）.
故选：D.
5．答案：D
解析：的展开式中的系数为.
6．答案：C
解析：当个位为0，没有重复数字的四位偶数的个数为；
当个位为2，没有重复数字的四位偶数的个数为；
当个位为4，没有重复数字的四位偶数的个数为；
当个位为6，没有重复数字的四位偶数的个数为
共有个没有重复数字的四位偶数.
故选：C.
7．答案：D
解析：的展开式中的系数是.故选D.
8．答案：A
解析：的展开式的通项为,令,得,解得,，所以展开式共有7项,所以展开式中二项式系数最大项是第4项.故选A.
9．答案：BC
解析：因为,
所以或,解得或5.
故选:BC.
10．答案：BC
解析：的展开式共有9项，故A错误；
展开式中的常数项为，故B正确；
令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；
展开式中的二项式系数之和为，故D错误.
故选：BC.
11．答案：BD
解析：安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E,F六个社区进行暑期社会实践活动,
选项A:如果社区B必须有同学选择,则不同的安排方法有(种).判断错误;
选项B:如果同学乙必须选择社区C,则不同的安排方法有(种).判断正确;
选项C:如果三名同学选择的社区各不相同,则不同的安排方法共有(种).判断错误;
选项D:如果甲、丙两名同学必须在同一个社区,则不同的安排方法共有(种).判断正确.
故选BD.
12．答案：2
解析：.
13．答案：72
解析：分4步进行分析：
①，对于区域A，有4种颜色可选；
②，对于区域B，与A区域相邻，有3种颜色可选；
③，对于区域C，与A、B区域相邻，有2种颜色可选；
④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有2种颜色可选，
若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，E区域有1种颜色可选，
则区域D、E有种选择，
则不同的涂色方案有种.
故答案为：72.
14．答案：8；5670
解析：由于的二项展开式的所有二项式系数的和为,
解得.的展开式通项为,令,解得.
因此的展开式中的常数项为.
15．答案：(1)360；(2)144
解析：(1)第一个节目是小品节目的排法有(种);
(2)将3个唱歌节目进行㖥绑,与其他3个节目形成4个元素,然后进行全排,则排法种数为.
16．答案：(1)35；(2)31
解析：(1)从3位女生,4位男生中选出3人参加校园大扫除活动,
选择方法数为;
(2)没有女生人选的选择方法数为,
所以至少有1位女生人选的选择方法数为.
17．答案：(1)；(2)
解析：(1)令,得,解得.
,...,
令,解得,
所以展开式中的系数为;
(2)展开式中二项式系数最大的项是第5项,
所以,即展开式中二项式系数最大的项是.
18．答案：(1)30；(2)答案见解析
解析：(1)由二项式定理,得;
(2)因为,
所以
,
因为,所以能被整除.
19．答案：(1)1792；(2)0
解析：(1)由题可知,展开式中第项为:
则系数最大的项需满足,,解得或,
所以系数最大为第3项或第4项,
所以最大项系数为.
(2)注意到,
令,则,
令,则,
若n为偶数,设,,则,
,则,
其中，于是，
此时，为正整数，故,
若n为奇数,设,，则,
,故，
于是,此时，为正整数,故,
综上所述,.