深圳外国语学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份深圳外国语学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则( )
A.B.C.D.
3．已知,,,则( )
A.B.C.D.
4．已知向量,,向量在向量上的投影向量( )
A.B.C.D.
5．在中,,,则( )
A.B.C.D.
6．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一,剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠,再上下折叠,然后沿半圆弧虚线裁剪,展开得到最后的图形,若正方形ABCD的边长为4,点P在四段圆弧上运动,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．已知,是函数在上的两个零点,则( )
A.B.C.D.
8．已知的内角A,B,C满足,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,若,则的取值不可能是( )
A.7B.C.8D.
二、多项选择题
9．已知一圆锥的底面半径为,其侧面展开图是圆心角为的扇形,A,B为底面圆的一条直径上的两个端点,则( )
A.该圆锥的母线长为2
B.该圆锥的体积为
C.从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为
D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面面积的最大值为
10．下列说法中正确的有( )
A.
B.已知在上的投影向量为且,则
C.若非零向量,满足,则与的夹角是
D.已知,,且与夹角为锐角,则的取值范围是
11．在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.则下列结论正确的有( )
A.B.
C.的取值范围为D.的取值范围为
三、填空题
12．已知z纯虚数,是实数,那么_________.
13．中国传统文化博大精深,源远流长,其中我国古代建筑文化更是传统文化中一颗璀璨之星,在古代建筑中台基是指建筑物底部高出室外地面的部分,通常由台阶,月台,栏杆,台明四部分组成,某地的国家二级文化保护遗址一玉皇阁,其台基可近似看作上、下底面边长分别为,,侧棱长为的正四棱台,则该四棱台的体积约为____________.
14．在直角梯形ABCD中,,,,点E为BC边上一点,且,则xy的取值范围是_________．
四、解答题
15．已知向量,满足,,．
（1）求与的夹角的余弦值;
（2）求.
16．锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求C;
（2）若,边上的中线长为,求的面积S.
17．函数（,,）的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的单调递增区间;
（3）将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图像,若时,的图像与直线恰有三个公共点,记三个公共点的横坐标分别为,,且,求的值.
18．已知函数是定义域上的奇函数．
（1）求实数a的值;
（2）求函数的值域;
（3）若关于的不等式在上有解,求实数k的取值范围．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
（1）求A;
（2）若,设点P为的费马点,求;
（3）设点P为的费马点,,求实数t的最小值．
参考答案
1．答案：D
解析：,又,
则.
故选：D.
2．答案：D
解析：因为,,故角的终边经过点,
所以.
故选：D.
3．答案：D
解析：函数在R上单调递增,所以,
函数在上单调递减,所以,
又,且
所以,
故选：D.
4．答案：C
解析：因为向量,
所以向量在向量上的投影向量,
故选：C.
5．答案：D
解析：由正弦定理可得,,
又,所以,
不妨设,,
所以由余弦定理得．
故选：D．
6．答案：B
解析：以点A为坐标原点,、所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
设点,易知,点P的横坐标x的取值范围是,
又因为,,所以,.
故选：B.
7．答案：A
解析：令,得,
,,
因为,是函数在上的两个零点,
则,是在上的两个根,
故,故,
则
.
故选：A．
8．答案：A
解析：
,
又,,即,
又,
所以,
所以,
所以,
所以,
故选：A.
9．答案：AB
解析：对于A,一圆锥的底面半径,则底面圆周长为,
其侧面展开图是圆心角为的扇形,,得,所以A正确;
对于B,因为,母线长为2,所以该圆锥的高为1,所以其体积为,故B正确
对于C,假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分,将其中的一部分展开,
则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,
所以从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为,故C不正确;
对于D,过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面为腰长为2的等腰三角形,
设其顶角为,则该三角形的面积为.当截面为轴截面时,,
则故当时,,故D不正确.
故选：AB.
10．答案：ABC
解析：对于A,因为,
所以,故A正确;
对于B,因为在上的投影向量为,所以,
又,所以,则,故B正确;
对于C,因为非零向量,满足,
则,即有,
所以,又,
所以与的夹角的余弦值为,
又,可得与的夹角为,故C正确;
对于D,因为,,所以,
当与平行时,,解得,
此时与的夹角不为锐角,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：由余弦定理得,,,
所以,即,
由正弦定理得,
①,
又因为,所以
②,
将②式代入①式可得,
整理得,
因为A,,所以,即,故A正确;
在锐角中,,解得,故B正确;
由,故C错误;
又,,
令,,则,
由对勾函数性质可知,在上单调递增,,
,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：2
解析：设且,则,
由题得,解得,所以,
故答案为：2.
13．答案：或
解析：由已知该棱台的高为,
所以体积．
故答案为：．
14．答案：
解析：建立如图所示的直角坐角坐标系,过C作,垂足为F,
,
有,,,
,,,
设,,
因此有,
,
有,而,
,
当时,有最大值,当,有最小值0,
的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,,
,
,
;
（2）由（1）知,
,
;
16．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为,
所以,
又
,
所以,所以,
所以或,
若,则,与为锐角三角形矛盾,舍去,
从而,则,
又,所以.
（2）由余弦定理,得,即①,
设的中点为D,则,两边同时平方可得：,
即：,即：②,
由①可得：,
于是：的面积.
17．答案：（1）
（2）,
（3）
解析：（1）由图象可得,,,
,则,
,又图象过点,
所以,解得,,
又,,
所以函数的解析式为.
（2）由余弦函数可知,,,
,,
所以函数的单调递增区间为.
（3）由题可得,,
又因为,所以,
令,则,
设直线与的图象交点横坐标自左向右依次为,,
由的图象可知,,,
且,
,又由图象知,所以,
又,,,,
所以,
又,
.
18．答案：（1）-3;
（2）;
（3）.
解析：（1）因为是定义域R上的奇函数,
所以,即,
所以,
又,
所以此时为奇函数,符合题意;
（2）由（1）得,
因为,
所以,
所以,即函数的值域为．
（3）因为,
当时,,
所以,
所以,
由无实数解可得的定义域为R,
易知单调递增,所以在R上单调递减,
若关于的不等式在上有解,
则在上有解,
所以在上有解,
所以,即,
故k的范围为.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知中,
即,
故,由正弦定理可得,
故直角三角形,即.
（2）由（1）,所以三角形的三个角都小于,
则由费马点定义可知：,
设,,,由
得：,整理得,
则.
（3）点P为的费马点,则,
设,,,,,,
则由得;
由余弦定理得,
,
,
故由得,
即,而,,故,
当且仅当,结合,解得时,等号成立,
又,即有,解得或（舍去）,
故实数t的最小值为.