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    长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)

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    长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)

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    这是一份长春吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,双空题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.已知函数,曲线在点处的切线方程为( )
    A.B.C.D.
    2.下列各式中,不等于的是( )
    A.B.C.D.
    3.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是,刮风的概率为,在下雨天里,刮风的概率为,则既刮风又下雨的概率为( )
    A.B.C.D.
    4.如图,用四种不同的颜色对图中5个区域涂色(四种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有( )
    A.72种B.96种C.150种D.168种
    5.已知,若,则( )
    A.-5B.C.15D.35
    6.已知函数的导函数为,是自然对数的底数,若,则( )
    A.B.C.D.
    7.我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A,B,C三个集中医疗点,每个医疗点至少要分配1人,其中甲专家不去A医疗点,则不同分配种数( )
    A. 116B. 100C. 124D. 90
    8.设,,,是自然对数的底数,则( )
    A. B.C. D.
    二、多项选择题
    9.下列求导正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    10.对于的二项展开式,下列说法正确的有( )
    A.二项展开式共有11个不同的项B.二项展开式的第5项为
    C.二项展开式的各项系数之和为0D.二项展开式中系数最大的项为第6项
    11.用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数和五位数,则( )
    A.可组成360个四位数
    B.可组成216个是5的倍数的五位数
    C.可组成270个比1325大的四位数
    D.若将组成的四位数按从小到大的顺序排列,则第85个数为2301
    三、双空题
    12.现有4男3女站成一排:若7人中,甲必须站在排头,有多少种不同排法_________________,若女生必须排在一起,有多少种不同的排法_________________.(结果用数字作答)
    四、填空题
    13.若对于任意正数,不等式恒成立,则实数a的最小值为_________________.
    14.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是___________.
    五、解答题
    15.已知公差不为0的等差数列和等比数列中,,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若为数列的前项和,求使成立的的取值范围.
    16.如图,在多面体ABCDEF中,平面平面ABCD,是边长为2的等边三角形,四边形ABCD是菱形,且,,.
    (1)求证:平面ACF;
    (2)在线段AE上是否存在点M,使平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为.若存在,请说明点M的位置;若不存在,请说明理由.
    17.已知函数有两个极值点.
    (1)求实数a的取值范围;
    (2)设函数的两个极值点分别为,且,证明:.
    18.已知椭圆的离心率为,记E的右顶点和上顶点分别为A,B,的面积为1(O为坐标原点).

    (1)求E的方程;
    (2)已知,过点D的直线与椭圆E交于点M,N(点M在第一象限),过点M垂直于y轴的直线分别交BA,BN于P,Q,求的值.
    19.若函数在上有定义,且对于任意不同的,都有,则称为上的“类函数”.
    (1)若,判断是否为上的“3类函数”;
    (2)若为上的“2类函数”,求实数的取值范围;
    (3)若为上的“2类函数”,且,证明:,,.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:由题意知,,
    所以,所以曲线在处的切线方程为
    ,即.
    故选:A.
    2.答案:C
    解析:A,,
    B,,
    C,,
    D,,
    故选:C.
    3.答案:C
    解析:记“该地区下雨”为事件A,“刮风”为事件B,
    则, , ,
    所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.
    故选:C.
    4.答案:B
    解析:第一步:涂区域1,有4种方法;
    第二步:涂区域2,有3种方法;
    第三步:涂区域4,有2种方法;
    第四步(此前三步已经用去三种颜色):涂区域3,分两类:
    第一类,区域3与1同色,则区域5涂第四种颜色;
    第二类,区域3与1不同色,则区域3涂第四种颜色,
    此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色,有3种方法.
    所以,不同的涂色种数有.
    故选:B.
    5.答案:A
    解析:由题意,令,可得,解得,
    所以二项式为
    所以展开式中的系数为,
    故选:A.
    6.答案:C
    解析:由题意知,,所以,
    当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    所以存在使得,,故AB错误;
    对于,
    当时,,
    则,
    ;
    当时,,
    则,
    ;
    当时,,
    则,
    ,故C正确,D错误.
    故选:C.
    7.答案:B
    解析:根据已知条件,完成这件事情可分2步进行:
    第一步:将5名医学专家分为3组
    ①若分为3,1,1的三组,有种分组方法;
    ②若分为2,2,1的三组,有种分组方法,
    故有种分组方法.
    第二步:将分好的三组分别派到三个医疗点,甲专家不去A医疗点,
    可分配到B,C医疗点中的一个,有种分配方法,
    再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点,有种分配方法,
    则有种分配方法.
    根据分步计数原理,共有种分配方法.
    故选:B.
    8.答案:A
    解析:设,,
    当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,
    ,时,,即,
    设,,当时,,函数单调递减,
    当时,,函数单调递增,
    所以当时,函数取得最小值,,即恒成立,
    即,令,,
    当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    时,函数取得最小值,即,
    得:,那么,
    即,即,
    综上可知.
    故选:A.
    9.答案:BC
    解析:,,
    ,.
    故选:BC
    10.答案:AC
    解析:对于A选项,的展开式共有个不同的项,A对;
    对于B选项,二项展开式的第项为,B错;
    对于C选项,二项展开式的各项系数之和为,C对;
    对于D选项,展开式通项为,令
    当k为奇数时,;当为偶数时,.
    结合二项式系数性质可知,二项展开式中系数最大的项为第5项或第项,D错.
    故选:AC.
    11.答案:BCD
    解析:当组成四位数时,我们要做的是从这6个数中取4个.
    选取以后,不包含0的取法有种,此时有种排列方式;
    包含0的取法有种,此时要保证首位不为0,故只有种排列方式.
    所以总共能组成的四位数有个,A错误;
    当组成5的倍数的五位数时,我们需要组成末位是0或5的五位数.
    如果末位数是0,则剩下四位可以任意从1,2,3,4,5中选择并任意排列,此时有个;
    如果末位数是5,则剩下四位可以任意从0,1,2,3,4中选择,但排列时0不能排在首位.
    而不包含0和包含0的选择方式各有种和种,故此时有个.
    所以总共能组成5的倍数的五位数有个,B正确;
    当组成比1325大的四位数时,以2,3,4,5开头的有个,
    以14,15开头的有个,
    以134,135开头的有个,
    所以总共能组成比1325大的四位数有个,C正确;
    当组成比2301小的四位数时,以1开头的有个,以20,21开头的有个,
    所以总共能组成比2301小的四位数有个,从而2301是从小到大排列的第85个数,D正确.
    故选:BCD.
    12.答案:①.720 ②.720
    解析:甲必须站在排头,有1种情况,
    将剩下的6人全排列,有种情况,
    则甲必须站在排头有种排法;
    根据题意,先将3名女生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有种情况,
    形成一个大元素,和4名男生全排列,有种情况,
    则男生在一起,女生也在一起,有种不同排法;
    故答案:720;720.
    13.答案:
    解析:由不等式可得:,
    令,则,
    令,,
    令,得,解得:,
    令,得,解得:,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以,所以,即实数a的最小值为.
    故答案为:.
    14.答案:108
    解析:先确定个位数为偶数,有3种方法,再讨论:若5在首位或十位,则1,3有三个位置可选,其排列数为;若5在百位、千位或万位,则1,3有两个位置可选,其排列数为;从而所求排列数为.
    15.答案:(1),
    (2)
    解析:(1)设、,又,
    则可得,
    ,
    即有,解得或,
    又、,故,,
    即,;
    (2),
    则,
    ,
    若成立,即,
    由,即,整理得,
    解得,又,故或,
    即使成立的n的取值范围为.
    16.答案:(1)证明见解析
    (2)存在点,点为线段AE的中点
    解析:(1)取的中点O,连接,
    因为为等边三角形,所以,
    又平面平面,平面平面,平面,
    所以平面,
    又四边形是菱形,且,所以,
    故以O为原点,为x轴,为y轴,为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
    因为,,易知,
    则,,,,,
    所以,,
    得到,故,,
    得到,所以,
    又,平面ACF,平面ACF,,
    平面ACF.
    (2)假设存在点M,使平面与平面夹角的余弦值为,
    设,,则,
    所以,,.即,
    所以,,
    设平面的法向量为,
    则即,所以,
    令,得,所以,
    又平面的一个法向量为,
    所以,解得或(舍去),
    所以,存在点M,使平面与平面夹角的余弦值为,
    点M为线段的中点.
    17.答案:(1)
    (2)证明见解析
    解析:(1)因为定义域为,
    所以,因为函数的两个极值点,
    有2个不同的根,
    令,则 有2个不同的正根,
    所以且,解得;
    (2)由(1)知,当且仅当时有两个极值,且,因为,
    所以,
    所以,
    又,,,则,
    设,
    则.
    函数在上单调递减,
    ,
    .
    18.答案:(1)
    (2)1
    解析:(1)由题意可得,,且,则,
    所以,,解得,
    所以,椭圆E的方程为.
    (2)当直线与x轴平行时,此时直线方程为,不合乎题意,
    则设直线的方程为,设点、,
    易知点、,则直线的方程为,
    直线的方程为,联立,可得,故点,
    联立直线与椭圆的方程得,可得,
    ,
    由韦达定理可得,,因为点在直线上,
    则,则,
    则,,
    ,解得,
    ,则直线的方程为,
    令,则,
    ,则,

    即,则
    因为,则,又因为点的纵坐标相同,
    所以P为的中点,所以.
    19.答案:(1)是上的“3类函数”,理由见详解.
    (2)
    (3)证明过程见详解.
    解析:(1)对于任意不同的,,
    有,,所以,
    ,
    所以是上的“3类函数”.
    (2)因为,
    由题意知,对于任意不同的,都有,
    不妨设,则,
    故且,
    故为上的增函数,为上的减函数,
    故任意,都有,
    由可转化为,令,只需
    ,令,在单调递减,
    所以,,故在单调递减,
    ,
    由可转化为,令,只需
    ,令,在单调递减,
    且,,所以使,即,
    即,
    当时,,,故在单调递增,
    当时,,,故在单调递减,
    ,

    (3)因为为上的“2类函数”,所以,
    不妨设,
    当时,;
    当时,因为,
    ,
    综上所述,,,.

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