重庆市礼嘉中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市礼嘉中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数在处的导数为6,则( )
A.-2B.2C.-12D. 12
2．函数的图象在点处的切线方程是( )
A.B.C.D.
3．3月5日,两江新区学雷锋纪念日,现安排6名志愿者去5个社区去参加志愿活动,每名志愿者可自由选择其中的1个社区,不同选法的种数是( )
A.B.C.30D.11
4．若函数在上为增函数,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．设,则函数的最小值是( )
A.B.2C.D.
6．若直线与曲线相切,则的取值范围为( )
A.B.C. D.
7．函数是定义在 上的奇函数, 其导函数为,且,当 时,,则关于x的不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
8．若函数在定义域内有两个极值点,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的导函数的图像如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
B.在上是减函数
C.在区间内有2个极值点
D.曲线在点处的切线的斜率大于0
10．对于m,,下列排列组合数结论正确的是( )
A.B.
C. D.
11．已知实数a,b满足,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知函数,则___________.
13．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为___________.
四、双空题
14．在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形）,共有________个矩形、________个正方形．
五、解答题
15．2024年3月12日是我国第46个植树节,为建设美丽新重庆,重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动,3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种?
（2）男、女相间的站法有多少种?
（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种?
16．已知函数在处有极值6.
（1）求函数的单调区间;
（2）求函数在上的最大值与最小值.
17．已知函数
（1）讨论函数的单调性
（2）若函数在处取得极值,且对,恒成立,求实数b的取值范围
18．已知函数．
（1）求函数在处切线方程;
（2）讨论函数在区间上的单调性;
（3）证明函数在区间上有且仅有两个零点.
19．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中,e为自然对数的底数,.以上公式称为泰勒公式.设,,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题.
（1）证明：;
（2）设,证明：;
（3）设,若是的极小值点,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：
.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为,所以,所以切点为,又,
由导数的几何意义知函数的图象在点A处的切线斜率,
故得函数的图象在点A处的切线方程是,即为．
故选：B.
3．答案：A
解析：依题意,每名志愿者都有5种选择方法,
所以6名志愿者共有种不同的选法.
故选：A.
4．答案：B
解析：依题意得对恒成立,
即对恒成立．
因为的图象为直线,
所以,解得．
故选：B.
5．答案：C
解析：因为,
所以,
因为,则,
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以当时,.
故选：C.
6．答案：C
解析：设切点为,因为,所以．
又因为切点在直线上,
所以,解得,所以．
令,则,
所以区间上,单调递减,
在区间上单调递增,
所以,故的取值范围为．
故选：C.
7．答案：A
解析：令,
则,
所以函数在上单调递减.因为函数是定义在上的奇函数,
所以,则,所以函数为偶函数.
又,所以,则当或时,;
当或时,.由,得或
解得或,所以关于x的不等式的解集为, 故选：A.
8．答案：D
解析：因为的定义域为,且,
令,可得,由题意可知与有2个变号交点,则,
令,解得;令,解得可知在内单调递增,在内单调递减,可得,且当x趋近于0,趋近于,当x趋近于,趋近于0,
可得的图象,如图所示：
由图象可得,解得,
所以实数k的取值范围为.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：由题图,的极小值点为、,极大值点为,C错误;
在上递减,B正确;,上递增,则,A正确;
由图知：,即在点处的切线的斜率大于0,D正确.
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：对于A,,
,所以,故A正确;
对于B,
,故B正确;
对于C,因,
即不成立,故C不正确;
对于D,因,因此成立,故D正确．
故选：ABD．
11．答案：AD
解析：由题意可得,
则由,得.
对于A：设,,\
则在区间上,,为增函数,
所以由题意可得,所以,故A正确;
对于B：由,得,故B错误;
对于C：由A可知在区间上为增函数,
且,则,即,
则,
由,得,令,,则,
所以在上单调递增,
所以,
所以,故C错误;
对于D：又,
令,,
则,
所以在上单调递增,所以,
所以,
又,且,
令,,
根据对勾函数的性质可得在上单调递减,在上单调递增,且,
所以,
综上可得,故D正确;
故选：AD.
12．答案：-1
解析：由可得定义域为,.
则.
故答案为：-1.
13．答案：
解析：因为，则，
令，显然，则，
令，，
则，
令，得，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为、，
且极大值为，极小值为.
当时，，当时（从左边趋于），；
当时（从右边趋于），，
当时（从右边趋于），.
由图象可知，当时，直线与曲线没有交点，
即在上没有零点.
因此，实数的取值范围是，
故答案为：.
14．答案：①.280②.60
解析：根据题意,的方格纸上,有5条水平方向的线,8条竖直方向的线,
在5条水平方向的线中任选2条,在8条竖直方向的线中任选2条,就可以组成一个矩形,
则可以组成个矩形;
设方格纸上的小方格的边长为1,
当正方形的边长为1时,有个正方形,
当正方形的边长为2时,有个正方形,
当正方形的边长为3时,有个正方形,
当正方形的边长为4时,有个正方形,
则有个正方形;
故答案为：280,60.
15．答案：（1）2880
（2）144
（3）840
解析：（1）甲不在中间也不在两端,故甲可选个位置,其余六人可排除种,
故共有种;
（2）先排男生,共有种,则女生可在男生排完后的四个空中选择四个,即有种,
故共有种;
（3）全部排好共有种,由甲、乙、丙三人顺序一定,共有故种.
16．答案：（1）的单调增区间是,,单调减区间是
（2）最大值为,最小值为
解析：（1）由题意可得,故,
即,得,
得或1,
当和时,,当时,,
故的单调增区间是,,单调减区间是,
满足在处取得极值;
（2）由（1）知,,且在单调递减,单调递增,
又,,
时,,.
17．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）的定义域为,,
当时,此时在单调递减;
当时,令,解得,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
综上所述,当,在单调递减;
当时,在单调递减,在单调递增.
（2）函数在处取得极值,
,解得,经检验满足题意;
由已知,即,则,
令,
,令,解得,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
, ,
的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）单调递增
（3）证明见解析
解析：（1）,
则,,
所以函数在处的切线方程为;
（2）令,则,,
所以函数函数在区间上单调递增;
（3）,
当时,,,所以,
函数在上单调递增,
又,,
因此函数在上有唯一零点;
当时,令,则,
因为函数在上都是增函数,
所以函数在上是增函数,
而,
则存在,使得,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
即函数在上单调递减,在上单调递增,
又,,
则存在,使得,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以,
而,,因此函数在上有唯一零点,
综上所述,函数在区间上有且仅有两个零点.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）设,则.
当时,：当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
因此,,即.
（2）由泰勒公式知,①
于是,②
由①②得
所以
即.
（3）,
则,设,
由基本不等式知,,当且仅当时等号成立
所以当时,,所以在R上单调递增.
又因为是奇函数,且,
所以当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
因此,是的极小值点.
下面证明：当时,不是极小值点.
当时,,
又因为是R上的偶函数,且在上单调递增,
所以当时,.
因此,在上单调递减.
又因为是奇函数,且,
所以当时,;当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减.
因此,是的极大值点,不是的极小值点.
综上,实数a的取值范围是.
x
1
4
+
0
-
-
0
+
增
极大值
减
减
极小值
增