重庆市礼嘉中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市礼嘉中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,其中i为虚数单位,则z的虚部是( )
A.3B.C.2D.
3．已知,则( )
A.B.C.或1D.1
4．若在三角形中,,,则( )
A.B.C.D.
5．设,若,则( )
A.B.C.D.
6．已知定义在R上的函数满足,且当时,,则的值为( )
A.3B.1C.-1D.-3
7．如图,在中,D为的中点,E,F为的两个三等分点,交于点M,设,,则( )
A.B.C.D.
8．已知平面向量,满足,,则的最大值为( )
A.2B.C.D.3
二、多项选择题
9．已知向量,,则( )
A.
B.
C.与向量平行的单位向量为
D.向量在向量上的投影向量为
10．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.若相邻两条对称轴的距离为,则
B.当,时,的值域为
C.当时,的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为
D.若在区间上有且仅有两个零点,则
11．如图,在中,,,点D与点B分别在直线AC两侧,且,,当BD长度为何值时,恰有一解( )
A.6B.C.D.
三、填空题
12．已知向量,,,则__________.
13．已知,则_________
14．已知函数（,且）在区间上单调递增,则a的取值范围_____________.
四、解答题
15．已知函数的最小正周期为.
（1）求的值;
（2）求函数的单调递增区间.
16．如图,在中,已知,,,M,N分别为,上的两点,,,相交于点P．
（1）求的值;
（2）求证：．
17．如图在中,,满足.

（1）若,求的余弦值;
（2）点M是线段上一点,且满足,若的面积为,求的最小值.
18．如图,有一块半径为2的半圆形钢板,计划裁剪成等腰梯形的形状,它的下底是半圆的直径,上底的端点在圆周上.记梯形的周长为y,.
（1）将y表示成的函数;
（2）求梯形周长的最大值.
19．在锐角中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,．
（1）若,求的面积;
（2）求的值;
（3）求的取值范围．
参考答案
1．答案：C
解析：由题意或,,
或,
故选：C．
2．答案：A
解析：由题意知.
虚部为3,
故选：A.
3．答案：D
解析：.
故选：D.
4．答案：A
解析：如图,
因为,,
所以,,
所以,
故选：A.
5．答案：B
解析：因为,且,所以.
所以,,
所以.
故选：B.
6．答案：D
解析：,
,且,,
,且,,
又可得,
,是周期的周期函数,
,,
,
故选：D.
7．答案：A
解析：连接,.由E,M,A三点共线,可设,
由题意知,
,
所以.
同理由D,M,C三点共线,
可设,
所以,
解得从而．
故选：A.
8．答案：C
解析：设,,,如图,
由题意,即在平行四边形中,,,
求的最大值.
延长至,使,则,
由正弦定理,O,A,C三点所在外接圆的直径,
所以,设圆心为G,如图,
所以可知,又,,
所以由余弦定理可得,
则由图象可知,
故选：C.
9．答案：ABD
解析：由题意,A正确;
,,B正确;
与平行的单位向量有两个,它们是相反向量,C错;
,向量在向量上的投影向量与同向,
,而,所以向量在向量上的投影向量为,D正确．
故选：ABD．
10．答案：BCD
解析：
,
对于A,若相邻两条对称轴的距离为,则,故,A错误,
对于B,当,,当时,,
则的值域为,B正确,
对于C,当,,
的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为
,C正确,
对于D,当时,,
若在区间上有且仅有两个零点,则,解得,故D正确,
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：在中,设,
由余弦定理可得：,
则,即,
解得或（舍去）,
则,可得.
在中,设,
由余弦定理可得：,
即,
由正弦定理可得,则,
在中,由余弦定理可得：,
则
,
因为,则,
若恰有一解,则或,
可得或,
,
,
故A、B、D正确,C错误.
故选：ABD.
12．答案：
解析：由题意,,,则,
所以,
又因为,所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：设,则
所以
故答案为：.
14．答案：
解析：函数是由
和复合而成,
当时单调递增,
若函数（,且）在区间上单调递增,
则在上单调递增,且在上恒成立,
的对称轴为
所以解得：,
当时单调递减,
若函数（,且）在区间上单调递增,
则在上单调递减,且在区间上恒成立,
的对称轴为
所以解得：,
综上所述：a的取值范围是,
故答案为：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知函数的最小正周期为,所以,
则,所以.
（2）由（1）知,
当,,
即,单调递增,
故单调递增区间为.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,
所以,
所以,
所以;
（2）因为,
所以,
所以,
所以,即,所以．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可设,
在中①
在中②
由①②可得,
解得,则,解得.
故.
（2）,
且C、M、D三点共线,所以,
,
故．
,
当且仅当时;所以.
18．答案：（1）;
（2）10
解析：（1）由是半圆的直径,得,则,
过O作交于E,连接,则,,

因此,
所以,.
（2）由（1）知,
设,则,显然当时,y有最大值10,
所以梯形周长的最大值是10.
19．答案：（1）
（2）20
（3）
解析：（1）由余弦定理
结合可知,△ABC的面积
（2）因为,,所以,
由正弦定理,
所以,①
由于,
带入①式可知：
（3）解法1：设BC中点为D,则
所以
如下图所示,
设的外接圆为圆O,由于为锐角三角形,故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点）,
由正弦定理知圆O的半径,故
设,则,由余弦定理：
由于函数在时单调递减,,
所以
解法2：
由余弦定理②
由定义
所以
设,
则
由正弦定理：
其中锐角的终边经过点,由锐角三角形可知
注意到,
所以
所以,②式变形,故
从而,
此时函数单调递减,而,
所以.