甘肃省秦安县第二中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份甘肃省秦安县第二中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.i为虚数单位，若1+z=2+3i，则复数z的虚部为( )
A. 1B. 3C. iD. 3i
2.如图，在四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，BC=c，则DC=( )
A. a−b+c
B. b−(a+c)
C. a+b+c
D. b−a+c
3.已知某地A、B、C三个村的人口户数及就困情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取10%户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是( )
A. 100，20B. 100，10C. 200，20D. 200，10
4.设a，b是非零向量，“a⋅b=|a||b|”是“a//b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知α为第二象限角，sinα+csα= 33，则sin2α=( )
A. −23B. 23C. −13D. 13
6.一艘船向正北方向航行，速度为每小时20nmile，在A处看灯塔S在船的北偏东30∘的方向上．行驶2小时后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东75∘的方向上．此时船与灯塔的距离为( )
A. 10 2nmile
B. 10 6nmile
C. 20 2nmile
D. 20 6nmile
7.已知平面内三点A(2,1)，B(6,4)，C(1,16)，则向量AB在BC的方向上的投影数量为( )
A. 165B. 335C. 1613D. 3313
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=7，b=4 3，c= 13，则△ABC的最小角为( )
A. π6B. π3C. π12D. π4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一组数据的方差和平均数为s2、x−，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的4倍，所得到的一组数据的方差和平均数是( )
A. 方差是s24B. 方差是16s2C. 平均数是4x−D. 平均数不变为x−
10.已知向量a=(1,−2)，b=(−1,m)，则( )
A. 若a与b垂直，则m=12B. 若a//b，则a⋅b的值为−5
C. 若m=2，则|a−b|=2 5D. 若m=−2，则a与b的夹角为60∘
11.下列公式正确的有( )
A. csαcsβ+sinαsinβ=cs(α+β)
B. cs2θ=2cs2θ−1
C. sin(π−α)=sinα
D. sin2α2=1−csα2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知csα=34，则cs2α=______.
13.△ABC中，AB=5，AC=7，B=120∘，则△ABC的面积为______.
14.已知sinα= 55,sin(α−β)=− 1010，α，β均为锐角，则β=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求实数m的值，使得复数z=m2+m−2+(m2−1)i分别是：
(1)实数；
(2)纯虚数.
16.(本小题15分)
已知a=(4,3)，b=(−1,2).
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a−λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
求证：tanθ2−1tanθ2=−2tanθ.
18.(本小题17分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A=2π3.
(1)若B=C，a=2 3，求c；
(2)若△ABC的面积为2 3，c=2，求a.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sin2ωx+2 3sinωxcsωx−1(ω>0)，且函数f(x)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：1+z=2+3i，
则z=1+3i，其虚部为3.
故选：B.
根据已知条件，先求出z，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：如图，在四边形ABCD中，
∵AB=a，AD=b，BC=c，
∴b+DC=a+c，
∴DC=a+c−b，
故选：A.
如图，在四边形ABCD中，观察图形知b+DC=a+c，由此能得到DC=a+c−b.
本题考查向量的加减运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得，样本容量为：(350+450+200)×10%=100，
抽取C村贫困户的户数为：200×10%×50%=10.
故选：B.
利用分层抽样、扇形统计图和条形统计图直接求解．
本题考查频数的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件，必要条件的判断，向量的数量积，向量共线的定义，属于中档题．
分别讨论充分性和必要性，即可得到答案.
【解答】
解：(1)a⋅b=|a||b|cs，
∴a⋅b=|a||b|时，cs=1，
∴=0，
∴a//b，
∴“a⋅b=|a||b|”是“a//b”的充分条件；
(2)a//b时，a,b的夹角为0或π，
∴a⋅b=|a||b|，或−|a||b|，
即a//b得不到a⋅b=|a||b|，
∴“a⋅b=|a||b|”不是“a//b”的必要条件，
∴综上可得，“a⋅b=|a||b|”是“a//b”的充分不必要条件．
故选：A.
5.【答案】A
【解析】解：∵α为第二象限角，sinα+csα= 33，
∴两边平方可解得：1+sin2α=13，
∴sin2α=−23.
故选：A.
原式两边平方，由二倍角的正弦公式即可化简求值．
本题主要考查了二倍角的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．
6.【答案】C
【解析】【分析】
利用条件求出△ABS中的已知量，利用正弦定理列式求解．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
【解答】
解：由条件有∠BAS=30∘，AB=40，∠SBA=180∘−75∘=105∘，∠BSA=180∘−105∘−30∘=45∘.
由正弦定理有ABsin∠BSA=BSsin∠BAS，代入数据得40sin45∘=BSsin30∘，解得BS=20 2.
故选：C.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量数量积的坐标运算，投影数量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
可求出AB=(4,3),BC=(−5,12)，然后即可求出AB⋅BC和|BC|的值，从而可得出AB在BC方向上的投影数量．
【解答】
解：AB=(4,3),BC=(−5,12)，
∴AB⋅BC=−20+36=16，|BC|=13，
∴AB在BC方向上的投影数量为：AB⋅BC|BC|=1613.
故选：C.
8.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∵a=7，b=4 3，c= 13，
∴由大边对大角可知，边c所对的角C最小，
由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=49+48−132×7×4= 32.
∵0