山西大学附属中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份山西大学附属中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共4页。试卷主要包含了给定两个随机变量的5组成对数据，下列命题中，正确的命题是等内容，欢迎下载使用。

命题人：代婷
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知随机变量，满足，且D(X)=2，则D(Y)=（ ）
A．16B．8C．4D．
2．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（ ）
A．4种B．6种C．7种D．9种
3.已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
4.的展开式中的系数为（ ）
A．80B．40C．10D．
5．给定两个随机变量的5组成对数据：，，，，.通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（ ）
A．1B．1.1C．0.9D．1.15
6．如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．24 B．96 C．48 D．108
7.小张､小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球､绘画､书法､游泳､钢琴”这五个随机选择一个，记事件：“两人至少有一人选择篮球”，事件：“两人选择的兴趣班不同”，则概率（ ）
A．B．C．D．
8．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（ ）
A．216 B．288 C．432 D．512
二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）
9．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.
10．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．所有奇数项的二项式系数和为B．二项式系数最大的项为第7项
C．所有项的系数和为D．有理项共5项
11．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ）
A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为
B．经过6次试验后试验停止的概率为
C．经过7次试验后试验停止的概率最大
D．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手中有白红球各1个的概率为
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共15分．）
12．设，则 .
13．某校高一数学兴趣小组一共有15名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法.
14．为丰富同学的课余生活，学校开设了形式多样的选修课程.某班级学生进行选课，为达学分要求，每位同学需要在6个课程中任选3个.因特殊原因，有5位同学委托班长帮忙选课.已知各课程缺额人数如下表（缺额人数总和恰好为15），且甲同学要求选择C课程，乙同学要求选择E课程，其余同学无要求.
则在满足甲、乙要求的情况下，这5位同学选课的可能情况共有 种(用数字作答).
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题13分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
(1)计算变量，的相关系数（结果精确到0.01）．
(2)求变量，之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．
参考数据：，，，
，．
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距．
16.（本题15分）某课题实验小组共有来自三个不同班级的45名学生，这45名学生中，，B，C三个班级的人数比为4:3:2.
(1)某次实验活动需从这45人中用分层抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组，再从这9人中随机抽取3人负责核心工作，记随机抽取的3人中来自B班级的人数为，求的分布列和数学期望以及方差；
(2)由于不同的实验需要的人数不同，所以为便于进行实验的配合，实验过程中有2人一组，也有多人一组(多于2人)，其中2人一组的为基础实验，其他的为研发实验，实验结束后进行实验结果交流.记发言的小组来自研发实验的概率为，若共有5组进行发言，用表示恰有3组来自研发实验的概率，证明:的最大值不会超过.
17．（本题15分）今年的贺岁片《第20条》，《飞驰人生》、《热辣滚烫》引爆了电影市场，某天甲、乙、丙、丁、戊五名同学每人随机从三部电影中选一部观看，现知道每部电影至少有一人观看.
(1)求只有甲乙观看《热辣滚烫》电影的概率；
(2)求这五个人观看《热辣滚烫》电影的人数的分布列.
18．（本题17分）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在，内的学生获三等奖，得分在，内的学生获二等奖，得分在，内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
（1）求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
（2）若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
19.（本题17分）在的展开式中，把叫做三项式系数．
（1）当时，写出三项式系数的值；
（2）类比二项式系数性质，给出一个关于三项式系数的相似性质，并予以证明；
（3）求的值．
课程
A
B
C
D
E
F
缺额人数
0
3
4
2
1
5
月份
1
2
3
4
5
带货金额/万元
350
440
580
700
880