北京市2024年中考数学模拟试卷 5（含解析）

这是一份北京市2024年中考数学模拟试卷 5（含解析），共28页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）台湾海峡最窄处在台湾省岛白沙点和福建平潭岛之间，长约130.7公里，以下用科学记数法表示大陆与台湾本土最近距离正确的是（ ）
A．13.07×103mB．1.31×103km
C．1.307×102kmD．1.37×102km
2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）若∠AOB＝40°，OA⊥OC，OB⊥OD，则∠COD等于（ ）
A．40°B．50°C．140°D．40°或140°
4．（2分）若b＜0＜a，且|a|＞|b|，则﹣a+（﹣b）的值为（ ）
A．正数B．负数C．0D．无法判断
5．（2分）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的5倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
6．（2分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，并分别标有数字1，3，4，5．若自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字（指针指向区域分界线时，重新转动），则两次所得数字之和为偶数的概率为（ ）
A．34B．58C．12D．38
7．（2分）已知x1，x2，…xn的平均数为5，方差为2，则3x1﹣2，3x2﹣2…3xn﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．13和18B．13和4C．5和18D．5和4
8．（2分）如图，将正方形EFGH的各边向外延长，使得AE＝DH＝CG＝BF，顺次连结A、B、C、D，得到四边形ABCD，过点G作GD的垂线交AB于点M，若GM=43GD，则EHAD的值是（ ）
A．12B．34C．34D．55
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若a−2+|1−a|=a+3，则a的值为 ．
10．（2分）分解因式：8m﹣2m3＝ ．
11．（2分）计算4aa2−4−2a+2的结果是 ．
12．（2分）无理数a满足不等式1＜a＜4请写出两个符合条件的无理数 、 ．
13．（2分）点A（a，b）在反比例函数y=4x的图象上，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值等于 ．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2+kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
15．（2分）已知△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，若∠OAC：∠OBA：∠OCB＝1：4：3，则∠ACB＝ °．
16．（2分）一块饼，单面烤熟需要1分钟，两面都烤熟需要2分钟．现有一个烤锅，最多能同时烤5块饼，则这个烤锅在3分钟内最多能烤熟（两面都烤熟） 块饼．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：sin30°−(−23)−1−(−3)2．
18．（5分）解不等式组3x+144＞2x−94x+6≥3x+7
19．（5分）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a=13．
20．（6分）我国古代数学名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（2，1）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．
23．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．
（1）求证：BC∥DF；
（2）若sin∠BAD=55，AB＝45，求AF的长．
24．（5分）某市自2015年4月1日起进行出租车调价，当行驶里程不超过12km且非高峰期时，计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若出租车低速行驶（时速不超过10km/h），自动累计5分钟另加1km的车费．某乘客有一次乘出租车的行驶里程为8km，途中低速行驶了10分钟，则这位乘客需付出租车车费多少元？
25．（5分）某区随机抽取了50名学生的期末数学成绩（成绩为百分制），希望通过数据展示大家的实力，并根据成绩来制定相应的提升措施，经过整理数据得到以下信息：
信息1：50名学生数学成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息2：第三组的成绩（单位：分）为78，71，78，74，70，72，78，76，79，78，72，75．
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组成绩的众数是 分，抽取的50名学生成绩的中位数是 分；
（3）若该区共有3000名学生考试，请估计该区学生成绩不低于80分的人数．
26．（6分）在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0）．
（1）若该函数图象过点（1，﹣3），求函数的表达式；
（2）设（x1，y1）（x2，y2）为该函数图象上两个不同点，
①若x1+x2＝2，y1＝y2，求a的值；
②若x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，（不与点A重合）过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E．M．
（1）如图1，直接写出AN与AE的数量关系是 ．
（2）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；
（3）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明．
28．（7分）如图，在△AEF中，∠F＝∠AEF，以AE为直径作⊙O，分别交边AF和边EF于点G和点D，过点D作DC⊥AF交AF于点C，延长CD交AE的延长线于点B，过点E作EH⊥BC于点H．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）证明：EH＝CF．
（3）若∠B＝30°，AE＝12，求图中阴影部分的面积．
2024年北京市中考数学模拟试卷5
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）台湾海峡最窄处在台湾省岛白沙点和福建平潭岛之间，长约130.7公里，以下用科学记数法表示大陆与台湾本土最近距离正确的是（ ）
A．13.07×103mB．1.31×103km
C．1.307×102kmD．1.37×102km
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】一个大于10的数可以用科学记数法表示，其形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，确定n的值时，可以把原数的整数位数减1即可求解．
【解答】解：130.7公里＝1.307×102km．
故选：C．
【点评】本题主要考查科学记数法的表示方法，正确的确定a和n的值是解题的关键．
2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（2分）若∠AOB＝40°，OA⊥OC，OB⊥OD，则∠COD等于（ ）
A．40°B．50°C．140°D．40°或140°
【考点】垂线；角的计算；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】因为本题没有图，所以要分两种情况，画出图形求解．一条线与另一条线相交成90°；这两条直线互相垂直，根据垂直的定义和角的和差即可得到结论．
【解答】解：∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠COA＝∠BOD＝90°，分两种情况：
如图1，
∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝∠BOD﹣（∠COA﹣∠BOA）＝90°﹣（90°﹣40°）＝40°；
如图2，
∠COD＝360°﹣∠BOD﹣∠BOA﹣∠COA＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线、角的计算以及余角和补角，分两种情况讨论是解答本题的关键．
4．（2分）若b＜0＜a，且|a|＞|b|，则﹣a+（﹣b）的值为（ ）
A．正数B．负数C．0D．无法判断
【考点】绝对值；有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】结合已知条件可判断a+b的符号，然后即可判断﹣a+（﹣b）的符号．
【解答】解：∵b＜0＜a，且|a|＞|b|，
∴a+b＞0，
∴﹣a+（﹣b）＝﹣（a+b）＜0，
即﹣a+（﹣b）的值为负数，
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5．（2分）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的5倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为5x°，根据内角和外角互补可得x+5x＝180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数．
【解答】解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：
x+5x＝180，
解得：x＝30，
360°÷30°＝12．
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
6．（2分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，并分别标有数字1，3，4，5．若自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字（指针指向区域分界线时，重新转动），则两次所得数字之和为偶数的概率为（ ）
A．34B．58C．12D．38
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次所得数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次所得数字之和分别为：2，4，5，6，4，6，7，8，5，7，8，9，6，8，9，10，
其中两次所得数字之和为偶数的结果为10种，
∴两次所得数字之和为偶数的概率为1016=58．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7．（2分）已知x1，x2，…xn的平均数为5，方差为2，则3x1﹣2，3x2﹣2…3xn﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．13和18B．13和4C．5和18D．5和4
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由数x1，x2，x3，x4，…，xn的平均数是5，方差为2，根据平均数与方差的特点，可求得答案．
【解答】解：∵x1，x2，…xn的平均数为5，
∴3x1﹣2，3x2﹣2…3xn﹣2的平均数是3×5﹣2＝13，
∵x1，x2，…xn的方差为2，
∴3x1﹣2，3x2﹣2…3xn﹣2的方差是2×32＝18．
故选：A．
【点评】本题考查了样本数据的平均数与方差的应用问题，解题时可以推导出结论，也可以利用公式直接计算出结果．
8．（2分）如图，将正方形EFGH的各边向外延长，使得AE＝DH＝CG＝BF，顺次连结A、B、C、D，得到四边形ABCD，过点G作GD的垂线交AB于点M，若GM=43GD，则EHAD的值是（ ）
A．12B．34C．34D．55
【考点】正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】过点M作MN⊥BG于点N，设AF＝BG＝DE＝CH＝a，DH＝BF＝AE＝CG＝b，则HG＝EH＝a﹣b，先证△DHG∽△MNG，得出DGMG=DHMN=GHGN，推出MN=43b，GN=43（a﹣b），BN=43b−13a，再证△AFB∽△MNB，得出MNAF=BNBF，求出a＝2b，则EH＝b，由勾股定理求出AD=5b，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点M作MN⊥BG于点N，
则∠MNG＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝FG＝HG＝EH，∠AFB＝∠FGH＝∠GHD＝∠AED＝90°，
∴MN∥AF，
∵AE＝DH＝CG＝BF，
∴AF＝BG＝DE＝CH，
设AF＝BG＝DE＝CH＝a，DH＝BF＝AE＝CG＝b，
则HG＝EH＝a﹣b，
∵GD⊥MG，
∴∠FGH＝∠MGD＝90°，
∴∠DGH＝∠MGF，
又∵∠MNG＝∠GHD＝90°，
∴△DHG∽△MNG，
∴DGMG=DHMN=GHGN，
∵GM=43GD，
∴MN=43DH=43b，GN=43GH=43（a﹣b），
∴BN＝a−43（a﹣b）=43b−13a，
∵MN∥AF，
∴△AFB∽△MNB，
∴MNAF=BNBF，
∴4b3a=43b−13ab，
解得：a＝2b，
∴EH＝a﹣b＝2b﹣b＝b，
由勾股定理得：AD=AE2+DE2=a2+b2=(2b)2+b2=5b，
∴EHAD=b5b=55，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出a＝2b是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若a−2+|1−a|=a+3，则a的值为 18 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义的条件可得a的取值范围，再根据绝对值的性质去绝对值符号解答即可．
【解答】解：由题意得，a﹣2≥0，
解得a≥2，
∴a−2+a−1=a+3，
∴a−2=4，
a﹣2＝16，
解得a＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键．
10．（2分）分解因式：8m﹣2m3＝ 2m（2+m）（2﹣m） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2m（2+m）（2﹣m）．
【分析】先提公因式，再运用公式法进行因式分解．
【解答】解：8m﹣2m3＝2m（4﹣m2）＝2m（2+m）（2﹣m）．
故答案为：2m（2+m）（2﹣m）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
11．（2分）计算4aa2−4−2a+2的结果是 2a−2 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】2a−2．
【分析】根据分式混合运算法则化简即可得到答案．
【解答】解：4aa2−4−2a+2
=4a(a+2)(a−2)−2a+2
=4a(a+2)(a−2)−2(a−2)(a+2)(a−2)
=4a−2(a−2)(a+2)(a−2)
=4a−2a+4(a+2)(a−2)
=2(a+2)(a+2)(a−2)
=2a−2．
故答案为：2a−2．
【点评】本题考查了分式混合运算，掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．
12．（2分）无理数a满足不等式1＜a＜4请写出两个符合条件的无理数 2 、 3 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】压轴题；开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于无理数a满足不等式1＜a＜4，若为无理数，则被开方数在使在1到16之间，由此即可求解．
【解答】解：无理数a满足不等式1＜a＜4，
则符合条件的无理数有：2，3等．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和π有关的数，有规律的无限不循环小数．
13．（2分）点A（a，b）在反比例函数y=4x的图象上，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值等于 16 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】16．
【分析】点A（a，b）在反比例函数y=4x的图象上得到ab＝4，代入整理后的代数式即可．
【解答】解：∵点A（a，b）在反比例函数y=4x的图象上，
∴ab＝4，
则（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）
＝2a•2b
＝4ab
＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2+kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ±22 ．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】±22．
【分析】先计算根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得关于k的方程，求解即可．
【解答】解：△＝k2﹣4×1×2
＝k2﹣8．
∵关于x的一元二次方程x2+kx+2＝0有两个相等的实数根，
∴k2﹣8＝0．
∴k＝±22．
故答案为：±22．
【点评】本题主要考查了根的判别式．掌握根的判别式和方程解的关系是解决本题的关键．
15．（2分）已知△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，若∠OAC：∠OBA：∠OCB＝1：4：3，则∠ACB＝ 45 °．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】45．
【分析】设∠OAC＝α，∠OBA＝4α，∠OCB＝3α，根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠OAC＝α，∠OAB＝∠OBA＝4α，∠OBC＝∠OCB＝3α，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：如图，∵∠OAC：∠OBA：∠OCB＝1：4：3，
∴设∠OAC＝α，∠OBA＝4α，∠OCB＝3α，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝α，∠OAB＝∠OBA＝4α，∠OBC＝∠OCB＝3α，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+α+4α+4α+3α+3α＝180°，
∴16α＝180°，
∴α=45°4，
∴∠ACB＝α+3α＝4α＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理列方程是解题的关键．
16．（2分）一块饼，单面烤熟需要1分钟，两面都烤熟需要2分钟．现有一个烤锅，最多能同时烤5块饼，则这个烤锅在3分钟内最多能烤熟（两面都烤熟） 七 块饼．
【考点】推理与论证．
【专题】实数；推理能力．
【答案】七．
【分析】根据题意分0﹣1分钟、1﹣2分钟以及2﹣3分钟解答即可．
【解答】解：0﹣1分钟，烤五个新饼，
1﹣2分钟，留下3个继续烤，再烤两个新饼，
2﹣3分钟，翻面烤第一次的两个和第二次的两个．
所以这个烤锅在3分钟内最多能烤熟（两面都烤熟）七块饼．
故答案为：七．
【点评】本题考查了推理与论证，理清题意是解答本题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：sin30°−(−23)−1−(−3)2．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=12+32−3
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）解不等式组3x+144＞2x−94x+6≥3x+7
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：3x+144＞2x−9①4x+6≥3x+7②，
解①得：x＜10，
解②得：1≤x，
故不等式组的解集为：1≤x＜10．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．（5分）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a=13．
【考点】整式的混合运算—化简求值；平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4﹣6a，原式＝2．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a=13时，原式＝4﹣6×13=4﹣2＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（6分）我国古代数学名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．
【考点】一元一次方程的应用；数学常识．
【专题】应用题；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设有x人，根据题意得，8x﹣3＝7x+4，解出即可．
【解答】解：设有x人，
根据题意得，8x﹣3＝7x+4，
解得x＝7，
物价：7×7+4＝53（元），
答：有7人，物品的价值是53钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（2，1）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝x﹣1；
（2）m≤12．
【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点（2，1）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点（2，1）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点（2，1）代入y＝x+b，
得2+b＝1，解得b＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）把点（2，1）代入y＝mx，求得m=12，
∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，
∴m≤12．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】先证明四边形BCDE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=BD=12AB，进而证明△BCD为等边三角形得到BC＝CD，根据菱形的判定定理可证得结论．
【解答】证明：∵DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线，
∴CD=BD=12AB．
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△BCD为等边三角形是解答的关键．
23．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．
（1）求证：BC∥DF；
（2）若sin∠BAD=55，AB＝45，求AF的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）55．
【分析】（1）根据垂径定理得到AD⊥BC，根据切线的性质得到AD⊥DF，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接CD，根据三角函数的定义得到CE＝BE＝4，根据勾股定理得到AE=AB2−BE2=8，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD为⊙O的直径，BE＝CE，
∴AD⊥BC，
∵DF是⊙O的切线，
∴AD⊥DF，
∴BC∥DF；
（2）解：连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵BE＝CE，AD⊥BC，
∴AB＝AC＝45，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵sin∠CAD＝∠sin∠BAD=BEAB=55，AB＝45，
∴CE＝BE＝4，
∴AE=AB2−BE2=8，
∵cs∠CAD=AEAC=ACAD，
∴845=45AD，
∴AD＝10，
∵tan∠CAD=DFAD=CEAE，
∴DF10=48，
∴DF＝5，
∴AF=AD2+DF2=55．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（5分）某市自2015年4月1日起进行出租车调价，当行驶里程不超过12km且非高峰期时，计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若出租车低速行驶（时速不超过10km/h），自动累计5分钟另加1km的车费．某乘客有一次乘出租车的行驶里程为8km，途中低速行驶了10分钟，则这位乘客需付出租车车费多少元？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出这位乘客需付出租车车费多少元．
【解答】解：（1）由题意可得，
当0＜x≤3时，y＝9，
当3＜x≤12时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
3k+b=95k+b=13，解得，k=2b=3，
即当3＜x≤12时，y与x的函数关系式为y＝2x+3，
由上可得，y与x的函数关系式是y=9(0＜x≤3)2x+3(3＜x≤12)；
（2）2×（8+10÷5）+3
＝2×（8+2）+3
＝2×10+3
＝20+3
＝23（元），
答：这位乘客需付出租车车费23元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（5分）某区随机抽取了50名学生的期末数学成绩（成绩为百分制），希望通过数据展示大家的实力，并根据成绩来制定相应的提升措施，经过整理数据得到以下信息：
信息1：50名学生数学成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．
信息2：第三组的成绩（单位：分）为78，71，78，74，70，72，78，76，79，78，72，75．
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组成绩的众数是 78 分，抽取的50名学生成绩的中位数是 78.5 分；
（3）若该区共有3000名学生考试，请估计该区学生成绩不低于80分的人数．
【考点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力；应用意识．
【答案】（1）频数分布直方图见解答；
（2）78，78.5；
（3）1440人．
【分析】（1）求出60～70的频数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据众数、中位数的意义即可求出答案；
（3）求出样本中不低于80分的所占的百分比即可．
【解答】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（2）第二组学生成绩出现次数最多的是78分，因此众数是78，
将这50名学生的成绩从小到大排列后，78+792=78.5，因此中位数是78.5；
故答案为：78，78.5；
（3）3000×20+450=1440（人），
答：该区3000名学生成绩不低于80分的大约有1440人．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数、众数的意义，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0）．
（1）若该函数图象过点（1，﹣3），求函数的表达式；
（2）设（x1，y1）（x2，y2）为该函数图象上两个不同点，
①若x1+x2＝2，y1＝y2，求a的值；
②若x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣2x2﹣x；
（2）①a=−13，②0＜a≤13．
【分析】（1）直接将点（1，﹣3）代入即可；
（2）①利用题意，−a+12a=x1+x22=22=1，求解a；②由已知当x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，则在x1＞x2≥﹣2时，二次函数是递增的，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）∵函数图象过点（1，﹣3），
∴将点代入y＝ax2+（a+1）x，
解得a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣x；
（2）①函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x=−a+12a，
∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝2，则y1＝y2，
∴−a+12a=x1+x22=22=1，
∴a=−13；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x=−a+12a，
∵x1＞x2≥﹣2，对任意的x1，x2都有y1＞y2，
当a＞0，−a+12a≤−2时，0＜a≤13；
∴0＜a≤13；
当a＜0时，不符合题意，舍去；
∴0＜a≤13．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，（不与点A重合）过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E．M．
（1）如图1，直接写出AN与AE的数量关系是 AN＝AE ．
（2）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；
（3）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）AN＝AE；
（2）证明见解析；
（3）CD＝2CE，理由见解析．
【分析】（1）证△ANH≌△AEH（ASA），即可得出结论；
（2）连接ND，先证AH是线段NC的中垂线，则DN＝DC，再证BN＝DN，即可得出结论；
（3）过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，由（2）得BN'＝CD，再证△BNM≌△CGM，得BN＝CG，则BN＝CE，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵AO平分∠BAC，
∴∠NAH＝∠EAH，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN＝∠AHE＝90°，
又∵AH＝AH，
∴△ANH≌△AEH（ASA），
∴AN＝AE，
故答案为：AN＝AE；
（2）证明：连接ND，如图2所示：
同（1）得：△ANH≌△ACH（ASA），
∴∠ANC＝∠ACN，AN＝AC，
∵AO平分∠BAC，
∴NH＝CH，
∵AO⊥CN，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN＝DC，
∴∠DNH＝∠DCH，
∴∠AND＝∠ACB，
∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，
∴∠B+∠BDN＝2∠B，
∴∠B＝∠BDN，
∴BN＝DN，
∴BN＝CD；
（3）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：
则∠B＝∠MCG，∠ANE＝∠CGE，
由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，
∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，
∴∠CGE＝∠AEN，
∴CG＝CE，
∵M是BC中点，
∴BM＝CM，
又∵∠BMN＝∠CMG，
∴△BNM≌△CGM（ASA），
∴BN＝CG，
∴BN＝CE，
∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（7分）如图，在△AEF中，∠F＝∠AEF，以AE为直径作⊙O，分别交边AF和边EF于点G和点D，过点D作DC⊥AF交AF于点C，延长CD交AE的延长线于点B，过点E作EH⊥BC于点H．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）证明：EH＝CF．
（3）若∠B＝30°，AE＝12，求图中阴影部分的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；几何直观；应用意识．
【答案】（1）BD是⊙O的切线，理由将解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）阴影部分的面积为2732−6π．
【分析】（1）连接DO，OE＝OD，证明OD⊥CD即可得BD是⊙O的切线；
（2）证明△EHD≌△FCD（ASA）即可得EH＝CF；
（3）连接OG，先证明四边形ODFG是菱形，得OD＝DF＝FG＝OG＝6，∠F＝∠DOG＝60°，即可得S梯形CGOD=12（CG+OD）•DC=2732，S扇形DOG＝6π，从而阴影部分的面积为2732−6π．
【解答】（1）解：BD是⊙O的切线，理由如下：
连接DO，如图：
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠F＝∠AEF，
∴∠F＝∠ODE，
∴AF∥OD，
∵DC⊥AF，
∴OD⊥CD，即BD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：∵EH⊥BC，OD⊥BC，AC⊥BC，
∴EH∥OD∥AC，
∵OE＝OA，
∴HD＝CD，
∵∠EHD＝90°＝∠FCD，∠EDH＝∠CDF，
∴△EHD≌△FCD（ASA），
∴EH＝CF；
（3）解：连接OG，如图：
∵∠B＝30°，
∴∠BOD＝∠BAC＝60°，
∵OE＝OD＝OG＝OA，
∴△EOD、△AOG是等边三角形，
∴∠AOG＝∠ODE＝60°，
∴∠DOG＝60°，
∴∠DOG＝∠EDO，
∴OG∥EF，
又OD∥AF，
∴四边形ODFG是菱形，
∴OD＝DF＝FG＝OG＝6，∠F＝∠DOG＝60°，
∴CF=12DF＝3，DC=3CF＝33，
∴CG＝GF﹣CF＝3，
∴S梯形CGOD=12（CG+OD）•DC=12×（3+6）×33=2732，
S扇形DOG=60×π×62360=6π，
∴阴影部分的面积为2732−6π．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，三角形全等判定及性质，与圆有关的计算等，解题的关键是作辅助线，将阴影部分分割成规则图形面积之差．