北京市2024年中考数学模拟试卷4（含解析）

这是一份北京市2024年中考数学模拟试卷4（含解析），共34页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列几何体中，主视图为题目中图的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）北京时间5月11日5时16分，天舟六号货运飞船成功对接于中国空间站天和核心舱后向端口．已知中国空间站在宇宙中的飞行速度为7.68公里/秒，那么它飞行120分钟的路程为（ ）
A．5.5296×104 公里B．5.5296×105 公里
C．9.216×104 公里D．9.216×105 公里
3．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（ ）
A．33°B．57°C．43°D．123°
5．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≥0C．k＜0D．k≤0
6．（2分）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（ ）
A．23B．13C．12D．16
7．（2分）已知x＜y，则下列结论成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．3x＞3yC．﹣2x＞﹣2yD．x2＞y2
8．（2分）如图，平面内三点A、B、C满足AB＝5，AC＝3，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，连接AD，则AD的最大值为（ ）
A．22B．42C．4D．8
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若分式1x−3有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：m5﹣mn2＝ ．
11．（2分）分式方程5x−3+x3−x=4的解是 ．
12．（2分）在平面直角坐标系中，若函数y=−a2−1x（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），B（1，6），C（﹣4，m）其中的两点，则m＝ ．
13．（2分）下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表：
已知月用电量第二档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第二档的家庭有 户．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若⊙O的半径为2cm，∠BCD＝30°，则AB＝ cm．
16．（2分）为扩大十四运影响力，充分展现陕西人文风貌，某县欲印制一批宣传册，该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成，其中A种彩页4页，B种彩页6页．已知A种彩页印刷费为2.5元/页，B彩页印刷费为1.5元/页，若要求这批宣传册的总印刷费不超过28500元，则最多能印制这种宣传册 册．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：sin30°−(−23)−1−(−3)2．
18．（5分）解不等式组：5x+2≥3(x−1)23x−5＜3−43x．
19．（5分）当a＝3，b＝2，c=23时，求代数式a2−4b3c的值．
20．（6分）甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，3小时后，甲车恰好行完全程的一半，而乙车距甲车还有45千米，已知甲乙两车的速度比是4：3．A、B两地相距多少千米？
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F．AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝9，∠ABC＝60°，求∠DCP的度数及tan∠CDP的值．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．（5分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲同学的山楂重量的折线图：
b．乙同学的山楂重量：
8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10
c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．
①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 （填写“甲”或“乙”）；
②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 和 ；
（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，延长BA交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若AF＝6，tanB=12，求⊙O的半径．
25．（5分）如图，AB是直径AB所对的半圆弧，点C在AB上，且∠CAB＝30°，D为AB边上的动点（点D与点B不重合），连接CD，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E．
小明根据学习函数的经验，对线段AE，AD长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE，AD长度的几组值，如下表：
在AE，AD的长度这两个量中，确定 的长度是自变量， 的长度是这个自变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE=12AD时，AD的长度约为 cm（结果精确到0.1）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．
（1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；
（2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D在BC边上，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE，连接CE．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：BD＝CE．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q满足OQ＝PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”．
（1）当a＝0时，已知⊙O上两点P1（12，32），P2（−22，−22），在点Q1（1，2），Q2（32，32），Q3（﹣1，﹣1），Q4（−2，−2）中，点P1关于直线l的“衍生点”是 ，点P2关于直线l的“衍生点”是 ；
（2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，y轴的交点分别为点A，B．若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；
（3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D（s），对于所有的直线s，直接写出D（s）的最小值．
2024年北京市中考数学模拟试卷4
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列几何体中，主视图为题目中图的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】由三视图判断几何体；简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；符号意识．
【答案】A
【分析】找到从正面看所得到的图形，作出判断即可．
【解答】解：A、该圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；
B、该圆锥主视图为等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、该三棱锥的主视图为三角形（三角形内部由一条纵向的实线），故本选项不符合题意；
D、球的主视图是圆，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．（2分）北京时间5月11日5时16分，天舟六号货运飞船成功对接于中国空间站天和核心舱后向端口．已知中国空间站在宇宙中的飞行速度为7.68公里/秒，那么它飞行120分钟的路程为（ ）
A．5.5296×104 公里B．5.5296×105 公里
C．9.216×104 公里D．9.216×105 公里
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：7.68×120×60公里＝5.5296×104 公里．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
【解答】解：A选项中的图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
B选项中的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
C选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称和轴对称的知识是解题的关键．
4．（2分）如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（ ）
A．33°B．57°C．43°D．123°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】由“两直线平行，同位角相等”得到∠3＝∠1＝57°，由垂直定义得到∠3+∠2＝90°，由此即可得解．
【解答】解：如图所示：
∵AB∥CD，∠1＝57°，
∴∠3＝∠1＝57°，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣57°＝33°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等．
5．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣（k﹣1）＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≥0C．k＜0D．k≤0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程有实数根，可知b2﹣4ac≥0，求出解即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣（k﹣1）＝0有实数根，
∴b2﹣4ac≥0，
即22﹣4[﹣（k﹣1）]≥0，
解得k≥0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握b2﹣4ac与一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的关系是解题的关键．即当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根．
6．（2分）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（ ）
A．23B．13C．12D．16
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】列表得出共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相乘，和为偶数的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表知共有6种等可能结果，其中积为偶数的有4种结果，
所以积为偶数的概率为46=23，
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
7．（2分）已知x＜y，则下列结论成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．3x＞3yC．﹣2x＞﹣2yD．x2＞y2
【考点】不等式的性质．
【专题】整式；推理能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A．由x＜y，可得x﹣2＜y﹣2，故本选项不合题意；
B．由x＜y，可得3x＜3y，故本选项不合题意；
C、由x＜y，可得﹣2x＞﹣2y，故本选项符合题意；
D、由x＜y，可得x2＜y2，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（2分）如图，平面内三点A、B、C满足AB＝5，AC＝3，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，连接AD，则AD的最大值为（ ）
A．22B．42C．4D．8
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形三边关系；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】以AB为斜边向上作等腰直角△AOB，连接OD．利用相似三角形的性质求出OD，根据AD≤OA+OD即可解决问题．
【解答】解：如图，以AB为斜边向上作等腰直角△AOB，连接OD．
∵△CBD，△AOB都是等腰直角三角形，
∴AB=2BO，BC=2BD，∠ABO＝∠CBD＝45°，
∴ABBO=BCBD，∠ABC＝∠OBD，
∴△ABC∽△OBD，
∴ACOD=ABBO=2，
∴OD=32=322，
∴点D的运动轨迹是以O为圆心，322为半径的圆，
∵AB＝5，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴OA＝OB=522，
∵AD≤OA+OD，
∴AD≤522+322=42，
∴AD的最大值为42，
故选：B．
【点评】本题考查旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，确定点D的运动轨迹是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若分式1x−3有意义，则x的取值范围是 x≠3 ．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x≠3．
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得2x﹣3≠0，解可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
10．（2分）分解因式：m5﹣mn2＝ m（m2+n）（m2﹣n） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】m（m2+n）（m2﹣n）．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可．
【解答】解：原式＝m（m4﹣n2）＝m（m2+n）（m2﹣n），
故答案为：m（m2+n）（m2﹣n）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
11．（2分）分式方程5x−3+x3−x=4的解是 x=175 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x=175．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：5﹣x＝4（x﹣3），
解得：x=175，
检验：把x=175代入得：x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x=175．
故答案为：x=175．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（2分）在平面直角坐标系中，若函数y=−a2−1x（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），B（1，6），C（﹣4，m）其中的两点，则m＝ 32 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】32．
【分析】根据已知条件判断函数y=−a2−1x（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），C（﹣4，m），即可得到结论．
【解答】解：∵函数y=−a2−1x（a为常数）中，﹣a2﹣1＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∵点A（﹣2，3）在第二象限，B（1，6）在第一象限，
∴点C（﹣4，m）在第二象限，
∵函数y=−a2−1x（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），C（﹣4，m），
∴﹣2×3＝﹣4m，
∴m=32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
13．（2分）下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表：
已知月用电量第二档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第二档的家庭有 400 户．
【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】400．
【分析】将样本中用电量第二档（大于240小于等于400）所占比乘以500即可作出估计．
【解答】解：∵15+11+1450×500＝400（户），
∴估计用电量在第二档的家庭有400户，
故答案为：400．
【点评】本题考查频数分布表，用样本估计总体，能从频数分布表中获取有用信息是解题的关键．
14．（2分）如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积为 24 ．
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AC，根据三角形中位线定理得到EH∥AC，EH=12AC，得到△BEH∽△BAC，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵E、H分别为边AB、BC的中点，
∴EH∥AC，EH=12AC，
∴△BEH∽△BAC，
∴S△BEH=14S△BAC=18S矩形ABCD，
同理可得，图中阴影部分的面积=12×6×8＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．（2分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若⊙O的半径为2cm，∠BCD＝30°，则AB＝ 23 cm．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】23．
【分析】如图，连接OB．利用垂径定理证明AE＝EB，解直角三角形求出BE，可得结论．
【解答】解：如图，连接OB．
∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∵∠DOB＝2∠DCB＝60°，
∴BE＝OB•sin60°＝2×32=3（cm），
∴AB＝23（cm），
故答案为：23．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形；能根据垂径定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键，难度适中．
16．（2分）为扩大十四运影响力，充分展现陕西人文风貌，某县欲印制一批宣传册，该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成，其中A种彩页4页，B种彩页6页．已知A种彩页印刷费为2.5元/页，B彩页印刷费为1.5元/页，若要求这批宣传册的总印刷费不超过28500元，则最多能印制这种宣传册 1500 册．
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】1500．
【分析】设能印制这种宣传册a册，由题意：宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成，其中A种彩页4页，B种彩页6页．已知A种彩页印刷费为2.5元/页，B彩页印刷费为1.5元/页，要求这批宣传册的总印刷费不超过28500元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：设能印制这种宣传册a册，
由题意得：2.5×4a+1.5×6a≤28500，
解得：a≤1500，
即最多能印制这种宣传册1500册，
故答案为：1500．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：sin30°−(−23)−1−(−3)2．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=12+32−3
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）解不等式组：5x+2≥3(x−1)23x−5＜3−43x．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】−52≤x＜4．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x+2≥3（x﹣1），得：x≥−52，
解不等式23x﹣5＜3−43x，得：x＜4，
则不等式组的解集为−52≤x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）当a＝3，b＝2，c=23时，求代数式a2−4b3c的值．
【考点】分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】12．
【分析】把各字母的值代入即可．
【解答】解：当a＝3，b＝2，c=23时，a2−4b3c=9−4×22=12．
【点评】本题考查代数式求值．解题的关键是注意运算顺序，要注意解题的准确性．
20．（6分）甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，3小时后，甲车恰好行完全程的一半，而乙车距甲车还有45千米，已知甲乙两车的速度比是4：3．A、B两地相距多少千米？
【考点】比的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】360千米．
【分析】把整个路程看成单位“1”，求出乙车行驶的路程所占整个路程的分率是38，即可列式计算．
【解答】解：45÷（1−12−12×34）
＝45÷（1−12−38）
＝45÷18
＝360（千米）．
答：A、B两地相距360千米．
【点评】本题考查比的应用，关键是把整个路程看成单位“1”，求出乙车行驶的路程所占整个路程的分率，即可列式计算．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F．AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝9，∠ABC＝60°，求∠DCP的度数及tan∠CDP的值．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）90°，32．
【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形；
（2）过P作PH⊥AD于H，交BC于G，由含30°角的直角三角形的性质得AP=12AB＝3，FP＝BP＝33，AH=12AP=32，PH=12PF=332，则DH＝AD﹣AH=152，再由勾股定理求出PD、PC的长，证出△PCD是直角三角形，∠DCP＝90°，即可解决问题．
由（1）得：∵四边形ABEF是菱形，
∴AB＝AF＝6，AE⊥BF，∠EBP=12∠ABC＝30°，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，BE＝AE＝AB＝6，∴PE＝AP=12AE＝3，BP=3PE=332，∵BC＝AD＝9，∴CE＝BC﹣BE＝3，∴PE＝CE，∵∠AEC＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECP＝∠EPC＝30°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴CD＝AB＝6，∠BCD＝180°﹣60°＝120°，∴∠PCD＝120°﹣30°＝90°，又∵∠EBP＝∠ECP＝30°，∴CP＝BP=332，
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠AEB．
∴AB＝BE．
同理：AB＝AF．
∴AF＝BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：过P作PH⊥AD于H，交BC于G，如图所示：
则GH⊥BC，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝6，
∴AB＝AF＝6，AE⊥BF，BP＝FP，∠ABF＝∠AFB＝30°，
∴AP=12AB＝3，FP＝BP=3AP＝33，
∴AH=12AP=32，PH=12PF=332，
∴DH＝AD﹣AH＝9−32=152，
∴PD=PH2+DH2=(332)2+(152)2=37，
同理：PG＝PH=332，BG=3PG=92，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝9，
∴CG＝BC﹣BG=92，
∴PC=PG2+CG2=(332)2+(92)2=33，
∵PC2+CD2＝PD2，
∴△PCD是直角三角形，∠DCP＝90°，
∴tan∠CDP=PCCD=336=32．
方法2：由（1）得：∵四边形ABEF是菱形，
∴AB＝AF＝6，AE⊥BF，∠EBP=12∠ABC＝30°，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，BE＝AE＝AB＝6，
∴PE＝AP=12AE＝3，BP=3PE＝33，
∵BC＝AD＝9，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
∴PE＝CE，
∵∠AEC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECP＝∠EPC＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，
∴CD＝AB＝6，∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠PCD＝120°﹣30°＝90°，
又∵∠EBP＝∠ECP＝30°，
∴CP＝BP＝33，
∴tan∠CDP=PCCD=336=32．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝x+1；（2）1≤m≤2．
【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点（1，2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点（1，2）代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，
∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝x+1的值，
∴1≤m≤2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23．（5分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲同学的山楂重量的折线图：
b．乙同学的山楂重量：
8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10
c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．
①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 甲 （填写“甲”或“乙”）；
②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 9.3 和 9.6 ；
（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．
【考点】折线统计图；算术平均数；中位数；众数；方差；用样本估计总体．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】（1）9.4，10；
（2）甲；9.3、9.6；
（3）160串．
【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；
（2）①根据方差的定义，即可求解；
②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．
（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，
再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．
【解答】解：（1）根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，
也就是说这组数据的中位数为9.4，所以m＝9.4；
根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，
也就是说这组数据的众数为10，所以n＝10．
故答案为：9.4，10．
（2）①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.1﹣9.2之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.8﹣9.4，
从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，
所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．
②∵要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，
∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，
当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，
方差为：[（9.3﹣9.48）2+（9.4﹣9.48）2+（9.5﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2]×15=0.0136，
当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，
方差为：[（9.4﹣9.6）2+（9.5﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.9﹣9.6）2]×15=0.028，
当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，
方差为：[（9.3﹣9.54）2+（9.4﹣9.54）2+（9.5﹣9.54）2+（9.6﹣9.54）2+（9.9﹣9.54）2]×15=0.0424，
据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．
故答案为：甲；9.3、9.6．
（3）7.6千克＝7600克，
7600÷9.5＝800（个），
800÷5＝160（串），
答：能制作160串冰糖葫芦．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，延长BA交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若AF＝6，tanB=12，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）5．
【分析】（1）连接OD，AD，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到BD＝CD，则OD为△CAB的中位线，得到OD∥AB，再利用圆的切线的性质定理得到OD⊥DE，结论可得；
（2）连接FC，利用圆周角定理，平行线的性质和三角形的中位线的性质得到DE=12FC，利用直角三角形的边角关系定理得到ADBD=12，设AD＝k，则BD＝2k，利用勾股定理，三角形的面积公式得到用k的代数式表示出的线段FC，AC，最后利用勾股定理列出方程求得k值，则结论可求．
【解答】（1）证明：连接OD，AD，如图，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OC，
∴OD为△CAB的中位线，
∴OD∥AB．
∵过点D作⊙O的切线，交AB于点E，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AB；
（2）解：连接FC，
∵AC为直径，
∴∠AFC＝90°，
∴CF⊥AB．
∵DE⊥AB，
∴DE∥FC．
∵BD＝DC，
∴DE为△BFC的中位线，
∴DE=12FC．
∵tanB=12，tanB=ADBD，
∴ADBD=12，
设AD＝k，则BD＝2k，
∴AB=AD2+BD2=5k．
∴AC＝AB=5k．
∵S△ABD=12AD•BD=12AB•DE，
∴DE=AD⋅BDAB=255k，
∴FC＝2DE=455k．
在Rt△AFC中，
∵AF2+FC2＝AC2，
∴62+(455k)2=(5k)2，
∵k＞0，
∴k＝25．
∴AC＝25×5=10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，连接直径所对的圆周角，经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
25．（5分）如图，AB是直径AB所对的半圆弧，点C在AB上，且∠CAB＝30°，D为AB边上的动点（点D与点B不重合），连接CD，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E．
小明根据学习函数的经验，对线段AE，AD长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE，AD长度的几组值，如下表：
在AE，AD的长度这两个量中，确定 AD 的长度是自变量， AE 的长度是这个自变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE=12AD时，AD的长度约为 2.2或3.3 cm（结果精确到0.1）．
【考点】圆的综合题．
【专题】综合题；函数及其图象；圆的有关概念及性质；运算能力；模型思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数的定义可得答案；
（2）根据题意作图即可；
（3）满足AE=12AD条件，实际上可以转化为正比例函数y=12x．
【解答】解：（1）根据题意，D为AB边上的动点，
∴AD的长度是自变量，AE的长度是这个自变量的函数；
∴故答案为：AD，AE．
（2）根据已知数据，作图得：
（3）当AE=12AD时，y=12x，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：
AD＝2.2或3.3
故答案为：2.2或3.3
【点评】本题是圆的综合题，以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．
（1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；
（2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）m＝n；
（2）4＜b＜5．
【分析】（1）抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断；
（2）求得抛物线与直线y＝1的交点，即可求得对称轴，由对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1得到x0+x0+42＞bx0+4＜2b，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，从而得到b−2＜32b−4＞4，解得4＜b＜5．
【解答】解：（1）由题意可知A（3，m），B（7，n）在抛物线y＝x2﹣10x+1上，
∵y＝x2﹣10x+1＝（x﹣5）2﹣24，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝5，
∵A（3，m），B（7，n）到对称轴的距离相同，
∴m＝n；
（2）当y＝1时，则y＝x2﹣2bx+1＝1，
解得x1＝0，x2＝2b，
∴抛物线经过点（0，1），（2b，1），
∴对称轴为直线x＝b，
∵对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，
∴x0+x0+42＞bx0+4＜2b，
解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，
∴b−2＜32b−4＞4，
解得4＜b＜5．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D在BC边上，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE，连接CE．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：BD＝CE．
【考点】作图﹣旋转变换；全等三角形的判定与性质．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】（1）依题意补全图形见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）证明△BAD≌△CAE（SAS），即可得BD＝CE．
【解答】（1）解：依题意补全图形如图：
（2）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝80°，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
【点评】本题考查作图﹣旋转作图，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q满足OQ＝PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”．
（1）当a＝0时，已知⊙O上两点P1（12，32），P2（−22，−22），在点Q1（1，2），Q2（32，32），Q3（﹣1，﹣1），Q4（−2，−2）中，点P1关于直线l的“衍生点”是 Q2 ，点P2关于直线l的“衍生点”是 Q3 ；
（2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，y轴的交点分别为点A，B．若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；
（3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D（s），对于所有的直线s，直接写出D（s）的最小值．
【考点】圆的综合题．
【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；几何直观．
【答案】（1）Q2，Q3；
（2）﹣22≤m≤﹣2或2≤m≤22；
（3）2−2．
【分析】（1）a＝0，则直线l为x轴，据此求出P1，P2的对称点P1′，P2′，然后可以求出P1P1′和P2P2′的长度，用勾股定理求出Q1，Q2，Q3，Q4到原点的距离，判断是否符合新定义即可；
（2）因为直线y＝ax过圆心O，所以P′也在圆上，所以PP′不大于圆的直径，因为存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，所以线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，据此解答；
（3）根据P所在位置分类讨论，得出PP′的取值范围，从而根据新定理求出MN的长度的最大值，从而得解．
【解答】解：（1）当a＝0时，直线l为y＝0，即x轴，
∵P1（12，32），P2（−22，−22），
∴P1′（12，−32），P2′（−22，22），
∴P1P1′=3，P2P2′=2，
∵Q1（1，2），Q2（32，32），Q3（﹣1，﹣1），Q4（−2，−2），
∴OQ1=5，OQ2=3，OQ3=2，OQ4＝2，
∴点P1关于直线l的“衍生点”是Q2，点P2关于直线l的“衍生点”是Q3；
故答案为：Q2，Q3；
（2）∵直线l：y＝ax过圆心O，
∴P′也在⊙O上，
∴PP′≤2，
∵存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，
∴线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，
令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m，
∴A（﹣m，0），B（0，m），
当OA＝OB＝2时，线段AB上所有点到O的距离都不大于2，
此时，m＝±2，
又∵y＝ax不能是y轴，
∴（1，0）和（﹣1，0）不能同时是P和P′，
∴m＝±2符合题意；
当O到线段AB的距离是2时，
∵OA＝OB，OA⊥OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝22，
∴m＝±22，
∴要满足线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，需要满足：﹣22≤m≤﹣2或2≤m≤22，
∴﹣22≤m≤﹣2或2≤m≤22；
（3）∵﹣1≤a≤1，
∴在图中作直线y＝x和直线y＝﹣x，将⊙O分成四份，如图：
①当P在AB或CD上时，
当P，P′重合时，PP′＝0，
当PP′为直径时，PP′＝2，
∴0≤PP′≤2，
∴D（s）＝2，
②当P在AD或BC上时，
当PP′为直径时，PP′＝2，
当P在y轴上时，直线l为y＝x或y＝﹣x时，PP′取最小值，
此时，PP′=2，
∴2≤PP′≤2，
∴D（s）＝2−2，
综上所述，D（s）的最小值为2−2．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，结合一次函数的图象、轴对称的性质、勾股定理等知识点，充分理解新定义，是本题解题的关键．月用电量x（千瓦时/户/月）
x≤240
240＜x≤300
300＜x≤350
350＜x≤400
x＞400
户数（户）
6
15
11
14
4
平均数
中位数
众数
甲
9.5
m
9.2
乙
9.5
9.6
n
甲
9.2
9.2
9.2
9.2
9.1
乙
9.4
9.4
9.4
8.9
8.8
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
AE/cm
0.00
0.41
0.77
1.00
1.15
1.00
0.00
1.00
4.04
…
AD/cm
0.00
0.50
1.00
1.41
2.00
2.45
3.00
3.21
3.50
…
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
月用电量x（千瓦时/户/月）
x≤240
240＜x≤300
300＜x≤350
350＜x≤400
x＞400
户数（户）
6
15
11
14
4
平均数
中位数
众数
甲
9.5
m
9.2
乙
9.5
9.6
n
甲
9.2
9.2
9.2
9.2
9.1
乙
9.4
9.4
9.4
8.9
8.8
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
AE/cm
0.00
0.41
0.77
1.00
1.15
1.00
0.00
1.00
4.04
…
AD/cm
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0.50
1.00
1.41
2.00
2.45
3.00
3.21
3.50
…