2023-2024学年江西省宜春市万载县六年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江西省宜春市万载县六年级（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，计算题，操作题，解决问题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）中国共产党于1921年成立，2024年是建党 周年，截至2023年底，中国共产党党员总数约为99000000人，改写成用万作单位的数是 人。
2．（3分）一件外套标价450元，按七八折售出，售价是 元。如果这件衣服进价是300元，售出这件衣服的利润是 元，利润率是 。
3．（2分）中国国旗是国家的象征和标志，我们都应当尊重和爱护。一号国旗长为288厘米，宽为192厘米，由此可见我国国旗的长宽比为 ，学校需要做一面长为2.4米的国旗，这面国旗的面积是 平方米。
4．（2分）小明买18支铅笔与小李买12支圆珠笔所花的钱是一样多。则铅笔与圆珠笔的单价比是 ，如果铅笔单价是3元，小强买10支圆珠笔应花了 元。
5．（2分）叶叔叔家的客厅是长7米，宽5.6米的长方形，装修公司按1：200的比例尺绘制图纸时，图纸上的客厅面积为 平方厘米，图上面积与实际面积比为 。
6．（2分）在2024年清明节，明月山接待游客人数约为90万人次，同比增长20%，去年清明节明月山接待游客人数约为 万人次。预计五一长假还会增长一成，按预计，五一假明月山将接待游客人数约为 万人次。
7．（2分）中国的传统重量单位有“斤”与“两”，1千克＝1公斤＝2斤＝20两，按你的估计，1个正常大小鸡蛋约 克，1斤鸡蛋约有 个。
8．（2分）标准乒乓球的直径是40毫米，质量为3克。如做出来的直径是41毫米，检测时记作“+1毫米”，检测时有一个记作﹣2毫米，则实际直径是 毫米。李老师买一盒乒乓球（10个）中，发现有一个是次品（次品比标准质量重），如果用天平称，至少需要称 次才能找出这个次品。
9．（1分）一袋百合粉，先吃了，再吃了千克，还剩千克，这袋百合粉总量为 千克。
10．（3分）如图是一汽车从甲地开往乙地的行驶情况，由图可知，汽车行驶的路程与所用时间成 比例，汽车行驶的速度是 千米/时。如果需要提前1小时到达乙地，速度应提高 千米/时。
11．（2分）如图，是某物体包装合的展开图（单位：cm），这个包装盒的容积是 毫升，如果从正面看到的是E，从上面看到的是A，那么从左面看到的是 。
二、选择题：（每小题2分，共16分）
12．（2分）钟面上，9：30分针与时针所夹的角是（ ）
A．直角B．锐角C．钝角D．平角
13．（2分）如图温度计所显示的温度是（ ）
A．﹣15℃B．﹣5℃C．5℃D．15℃
14．（2分）一个比例中，两内项的积是3，一个外项是0.75，另一外项是（ ）
A．4B．3C．D．
15．（2分）在一幅地图上，1厘米表示实际距离60千米，这地图的比例尺为（ ）
A．1：60B．1：60000C．1：600000D．1：6000000
16．（2分）对观看江西卫视的206万观众喜欢各类节目的情况进行调查，人数分布如图，看图估计，喜欢体育节目的观众数量约为（ ）万人。
A．10B．30C．50D．100
17．（2分）一批零件，质量检验结果不合格与合格零件的个数比是1：19，合格率是（ ）
A．19%B．95%C．5%D．81%
18．（2分）首饰的含金量一般用“24k”“20k““18k““12k“等表示，“24k”表示百分之百的足金“12k”表示含金量50%，如果一件质量为80克的首饰中，金的质量大约有60.8克，你认为这件首饰的含金量用（ ）表示比较合适．
A．24kB．20kC．18kD．12k
19．（2分）如图呈现的是一瓶已经喝掉一些的果汁和一只圆锥形玻璃杯。图中h＝h1，d＝d1，如果把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯中，那么最多可以倒满（ ）杯。（容器壁厚忽略不计）。
A．4B．6C．7D．8
三、计算题：（共25分）
20．（12分）用你喜欢的方法计算。
21．（8分）解方程。
1.26﹣2x＝0.74
：：
22．（5分）如图，直角三角形DEF是由三角形ABC向右平移2厘米得到的图形，通过测量，AB＝5厘米，BC＝3厘米，根据平移规律，发现DB：AB＝BG：BC，求阴影部份的面积。
四、操作题：（共10分）
23．（10分）如图是校园的平面网格图。A（4，4）是教学楼，B（4，8）是图书室，C（2，8）是科技馆。
（1）请标出三栋楼的位置，并顺次连接三点构成三角形ABC。
（2）画出三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的三角形AB′C′，B'：位置是行政楼，C'：位置是食堂。
（3）学校还有一块三角形菜地DEF，菜地的顶点D在行政楼B'的正东方向80米处，顶点E又在点D的正东方向，点F在点E的正南方向，并且菜地DEF正好是三角形ABC按1：2缩小的图形。请描出这块菜地，并计算这菜地的面积。
五、解决问题：（共26分）
24．（5分）百合粉是万载特产，100千克百合能磨出16千克百合粉。照这样计算，20吨百合能磨出多少千克百合粉？
25．（5分）在购买汽车时，需要征收车辆购置税。机动车销售专用发票的购车价中均含计税价格与增值税税款，所以在计征车辆购置税税额时，增值税部分不列入计税价格，必须先将13%的增值税剔除，然后再按10%的税率计征车辆购置税。李伯伯购买一台价格为22.6万元的私家车，他需要交车辆购置税多少钱？
26．（1分）垃圾分类有利于改善环境，维护生态平衡。生活垃圾的种类一般分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其它垃圾。同学们对百合花城一周产生的垃圾构成情况进行了调查，请你根据统计图完成下面的问题。
（1）百合花城这周一共产生垃圾 吨。
（2）请把条形统计图补充完整。
（3）从统计图中你有什么发现？结合你的发现提出合理建议。（写出两条即可）
27．（5分）如图，一个底面半径为6分米的无水圆柱体鱼缸，里面放着一块体积为12.56立方分米，底面直径为4分米的圆锥体假山石。如果水管以每分钟16立方分米的流量向里面注水，至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？（结果保留整数）
28．（10分）聪聪是一个非常善于动脑筋的孩子，学习计算圆柱的表面积时，他利用如图探索新的计算方法。请你根据如图尝试理解并回答问题，借他的方法解题。
（1）聪聪把圆柱的两个底面转化成一个近似的长方形，近似的长方形的长相当于圆柱底面的 ，宽相当于底面的 。
（2）由图可知，聪聪把圆柱表面积转化成近似的大长方形，近似大长方形的长相当于圆柱的 ，宽相当于圆柱的 与 的和，因此，圆柱的表面积＝ 。
（3）请你利用聪聪的方法计算如图圆柱的表面积。（单位：厘米）
2023-2024学年江西省宜春市万载县六年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（每空1分，共23分）
1．【分析】用2024年减1921年，可得到建党几周年；改写成用万作单位的数，就是直接去掉末尾的4个0，再在数的后面加上“万”字。
【解答】解：2024﹣1921＝103（年）
所以中国共产党于1921年成立，2024年是建党103周年，截至2023年底，中国共产党党员总数约为99000000人，改写成用万作单位的数是9900万人。
故答案为：103；9900万。
【点评】掌握大数的改写是解答本题的关键，注意别忘了加上计数单位。
2．【分析】根据题意，售价＝标价×折扣，所以售价＝450×78%＝351（元）；利润＝售价﹣成本，351﹣300＝51（元）；利润率＝利润÷售价×100%，51÷351×100%≈14.5%。据此解答。
【解答】解：七八折＝78%
450×78%＝351（元）
351﹣300＝51（元）
51÷351×100%≈14.5%
答：售价是351元，售出这件衣服的利润是51元，利润率是14.5%。
【点评】本题考查了百分数的实际运用，解决本题的关键是：售价＝标价×折扣，利润＝售价﹣成本，利润率＝利润÷售价×100%。
3．【分析】国旗的长和宽的比为288：192，然后化简比；根据长和宽的比求出国旗的宽，然后根据长方形的面积公式计算即可。
【解答】解：288：192
＝（288÷96）：（192÷96）
＝3：2
2.4÷3×2
＝0.8×2
＝1.6（米）
2.4×1.6＝3.84（平方米）
故答案为：3：2；3.84。
【点评】本题主要考查了比的应用。
4．【分析】根据题意可知，买18支铅笔与买12支圆珠笔所花的钱数一样多，则铅笔与圆珠笔的单价比是12：18，化简即可；如果铅笔单价是3元，则圆珠笔单价是（3×18÷12）元，小强买10支圆珠笔应花钱数＝圆珠笔的单价×10，据此列式计算。
【解答】解：12：18
＝（12÷6）：（18÷6）
＝2：3
3×18÷12×10
＝54÷12×10
＝45（元）
故答案为：2：3；45。
【点评】此题考查了比的应用。
5．【分析】要求图纸上的客厅面积的面积是多少，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”分别求出客厅图上的长和宽，进而根据“长方形的面积＝长×宽”代入数值计算即可，再根据图上面积与实际面积的比是比例尺的平方即可求解。
【解答】解：7米＝700厘米，5.6米＝560厘米
（700×）×（560×）
＝3.5×2.8
＝9.8（平方厘米）
12：2002＝1：40000
答：图纸上的客厅面积为9.8平方厘米，图上面积与实际面积比为1：40000。
故答案为：9.8，1：40000。
【点评】此题主要考查比例尺的意义以及图上距离、实际距离和比例尺的关系。
6．【分析】根据题意，把去年清明节接待游客人数看作是单位“1”，用今年接待游客人数除以（1+20%），即可求出去年接待游客人数；再把今年接待游客人数看作是单位“1”，用今年接待游客人数乘（1+10%），即可求出五一假接待游客人数。
【解答】解：90÷（1+20%）
＝90÷1.2
＝75（万人次）
90×（1+10%）
＝90×1.1
＝99（万人次）
故答案为：75；99。
【点评】本题考查了百分数的应用。
7．【分析】根据1千克＝1公斤＝2斤＝20两进行填空。
【解答】解：1个正常大小鸡蛋约50克，1斤鸡蛋约有10个。
故答案为：50；10。（答案不唯一）
【点评】本题考查的主要内容是质量单位换算问题。
8．【分析】根据负数的意义可知﹣2毫米表示实际直径是（40﹣2）毫米，据此解答；
把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则：（1）若A＝B，则A、B中都是正品；再称B、C，如B＝C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在B中，再在B中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。（2）若A＞B，则C、D中都是正品，则次品在A中，再在A中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。（3）若A＜B，则C、D中都是正品，则次品在B中，再在B中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。据此解答。
【解答】解：40﹣2＝38（毫米），即检测时有一个记作﹣2毫米，则实际直径是38毫米。
把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则：
（1）若A＝B，则A、B中都是正品；再称B、C，如B＝C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在B中，再在B中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，则次品在A中，再在A中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。
（3）若A＜B，则C、D中都是正品，则次品在B中，再在B中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。
即至少需要称3次才能找到次品。
故答案为：38；3。
【点评】本题考查了负数的意义以及天平称重找次品的方法。
9．【分析】把这袋百合粉总量看作单位“1”，则（+）千克占总量的（1﹣）。根据分数除法的意义，用（+）千克除以（1﹣）就是这袋百合粉总量。
【解答】解：（ +）÷（1﹣）
＝÷
＝2（千克）
答：这袋百合粉总量为2千克。
故答案为：2。
【点评】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。关键是弄清再吃的量与剩的量占总量的几分之几。
10．【分析】根据汽车行驶的路程与所用时间图像是一条直线，可以确定这两种量成正比例关系，然后用某一点的对应的路程除以对应的时间，求出速度；最后用250千米除以4，求出汽车提前1小时到达乙地的速度，再减去原来的速度即可。
【解答】解：由图可知，汽车行驶的路程与所用时间图像是一条直线，可以确定这两种量成正比例关系；
50÷1＝50（千米/时）
250÷（5﹣1）﹣50
＝62.5﹣50
＝12.5（千米/时）
答：汽车行驶的速度是50千米/时。如果需要提前1小时到达乙地，速度应提高12.5千米/时。
故答案为：正，50，12.5。
【点评】解答本题需熟练掌握成正比例关系的两种量的特点及图形特点，根据图中对应的数据灵活解答。
11．【分析】此图为长方体展开图，即个长方体包装盒是长方体。这个长方体的长、宽、高分别是8厘米、3厘米、5厘米，根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可计算出这个包装盒的容积是多少立方厘米，立方厘米与毫升是同一级单位，二者互化数值不变，再把立方厘米转化成毫升。折成正方体后，A面与D面相对，B面与E面相对，C面与F面相对，当从正面看到的是E，从上面看到的是A时，左面看到的是C。
【解答】解：8×5×3
＝40×3
＝120（cm3）
120cm3＝120mL
答：这个包装盒的容积是120毫升，如果从正面看到的是E，从上面看到的是A，那么从左面看到的是C。
故答案为：120，C。
【点评】此题考查的知识点：长方体展开图的特征、长方体体积的计算，体积（容积）的单位换算。
二、选择题：（每小题2分，共16分）
12．【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，钟面上9：30，时针和分针之间相差的3.5个大格数，用大格数3.5乘30°即可。根据角的度数判断角的种类，锐角大于0度小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度，据此解答。
【解答】解：3.5×30°＝105°
105度的角是一个钝角。
故选：C。
【点评】本题考查了钟面角的认识，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30度。
13．【分析】使用温度计测量液体温度时，先要弄清楚温度计的量程和分度值，读数时视线与液柱最高处所对刻度相垂直，并注意区分温度是零上还是零下．
【解答】解：温度计上10℃之间有10个小格，所以一个小格代表的温度是1℃，即此温度计的分度值为1℃；“10”在“5”的下方，所以显示的温度低于0℃，为﹣5℃．
故选：B．
【点评】要先明确测量工具的量程和分度值，确定零刻度线的位置，视线与刻度线垂直．
14．【分析】根据比例的基本性质，两内项之积是3，两个外项的积也是0.75；用3除以一个外项是0.75，即可求出另一个外项，据此解答。
【解答】解：3÷0.75＝4
答：另一个外项是4。
故选：A。
【点评】解答本题需熟练掌握比例的基本性质。
15．【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。
【解答】解：60千米＝6000000厘米
比例尺是1：6000000
答：这地图的比例尺为1：6000000。
故选：D。
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一。
16．【分析】依据题意结合图示可知，喜欢体育节目的观众总观众人数的少于25%，大于12.5%，由此解答本题。
【解答】解：206×12.5%＝25.75（万人）
206×25%＝51.5（万人）
答：喜欢体育节目的观众数量约为30万人。
故选：B。
【点评】本题考查的是扇形统计图的应用。
17．【分析】合格率是指合格的产品数量占产品总数量的百分比，不合格的零件与合格的零件的个数比是1：19，设不合格的数量是1，那么合格的数量就是1+19＝20，由此求出总数量，然后再用合格的数量除以总数量即可。
【解答】解：19÷（1+19）×100%
＝19÷20×100%
＝0.95×100%
＝95%
答：合格率是95%。
故选：B。
【点评】此题属于百分率问题，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘百分之百，解题的时候不要被表面数字困惑。
18．【分析】先求出60.8克是80克的百分之几，即含金率，然后把24k看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用乘法即可求出这件首饰的含金量．
【解答】解：24×（×100%）
＝24×76%
＝18.24（K）
≈18（K）
答：这件首饰的含金量用18K表示比较合适．
故选：C．
【点评】此题应先求出含金率，进而根据一个数乘分数的意义，用乘法求出含金量，继而选择．
19．【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍时，圆柱的体积是圆锥体积的（3×2）倍。据此解答。
【解答】解：3×2＝6（杯）
答：最多可以倒满6杯。
故选：B。
【点评】此题考查目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
三、计算题：（共25分）
20．【分析】第一道题：先把分数、百分数化成小数，计算小括号里面的连减，再算括号外面的除法；
第二道题：先把小数化成分数，再应用乘法分配律计算比较简便；
第三道题：应用除法的性质计算比较简便；
第四道题：应用减法的性质计算比较简便。
【解答】解：
＝
＝0.9÷0.3
＝3
＝
＝
＝
＝
＝
＝2024÷2024
＝1
＝
＝
＝
＝
＝
【点评】熟练掌握乘法分配律和减法、除法的性质以及四则混合运算的运算顺序，是解答本题的关键。
21．【分析】根据减数＝被减数﹣差，把方程改写为：2x＝1.26﹣0.74的形式，再根据等式的性质求解。
根据比例的基本性质，把比例改写成x＝×的形式，再根据等式的性质求解。
【解答】解：1.26﹣2x＝0.74
2x＝1.26﹣0.74
2x＝0.52
2x÷2＝0.52÷2
x＝0.26
：：
x＝×
x＝
x＝1
【点评】本题解题的关键是熟练掌握解方程和解比例的方法。
22．【分析】根据“直角三角形DEF是由三角形ABC向右平移2厘米得到的图形”，得出：AB＝DE＝5厘米，BE＝2厘米，BC＝EF＝3厘米，BD＝5﹣2＝3（厘米）；再根据DB：AB＝BG：BC，求出BG的长；最后求阴影部分的面积，就是求梯形的面积，根据梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，进行计算即可。
【解答】解：因为“直角三角形DEF是由三角形ABC向右平移2厘米得到的图形”，所以：
AB＝DE＝5厘米，BE＝2厘米，BC＝EF＝3厘米，
BD＝5﹣2＝3（厘米）
因为DB：AB＝BG：BC，
即3：5＝BG：3
5BG＝9
BG＝1.8
（1.8+3）×2÷2
＝4.8×2÷2
＝4.8（平方厘米）
答：阴影部份的面积是4.8平方厘米。
【点评】本题考查了组合图形的面积，关键是找出梯形的上底是多少。
四、操作题：（共10分）
23．【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可在图中描出各点并依次连接成三角形ABC；
（2）根据旋转的意义，找出图中三角形3个关键点，再画出绕A点按顺时针方向旋转90度后的形状即可；
（3）根据方向画出三角形DEF，并求出三角形的面积，三角形的面积＝底×高÷2。
【解答】解：（1）（2）（3）画图如下：
20×40÷2
＝800÷2
＝400 （平方米）
答：菜地面积为400平方米。
【点评】本题考查了数对、旋转的知识，以及图形的放大和缩小、三角形的面积等知识点。
五、解决问题：（共26分）
24．【分析】先把20吨化成20000千克。照这样计算，说明每千克百合磨出百合粉的重量是一定的，先求出先求出1千克百合能磨出多少千克的百合粉，然后再乘20000即可解答。
【解答】解：20吨＝20000千克
16÷100×20000
＝0.16×20000
＝3200（千克）
答：20吨百合能磨出3200千克百合粉。
【点评】本题也可以先求出20000千克里面有多少个100千克，然后再乘16千克即可解答。
25．【分析】把车价看作单位“1”，先用22.6÷（1+13%）×10%求出实际车价，再根据应纳税部分×税率＝应纳税额，计算车辆购置税即可。
【解答】解：22.6÷（1+13%）×10%
＝22.6÷1.13×10%
＝20×0.1
＝2（万元）
答：他需要交车辆购置税2万元。
【点评】此题考查了应纳税额的计算，要熟练掌握，关键是找出需要缴税的钱数。
26．【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图可得，有害垃圾为2.4吨，有害垃圾占垃圾总量的4%，用2.4÷4%即可求出这周的垃圾总量；
（2）先用总量乘可回收物和厨余垃圾所占的百分比，求出各重量，然后用直条表示出来即可；
（3）根据条形统计图的直条高矮写出发现的问题即可。
【解答】解：（1）2.4÷4%＝60（吨）
答：百合花城这周一共产生垃圾60吨。
（2）可回收物的重量是：
60×（1﹣55%﹣16%﹣4%）
＝60×0.25
＝15（吨）
60×55%＝33（吨）
画图如下：
（3）从图中发现：这个小区一周中厨余垃圾产生的量最多。建议：一是做好宣传引导工作，增强小区居民垃圾分类的意识；二是加强垃圾的清运力度，减少环境污染。（答案不唯一）
故答案为：60。
【点评】此题是考查条形统计图的制作，从扇形统计图和条形统计图中获取信息，并根据所获取的信息解决实际问题。
27．【分析】根据圆锥的体积V＝πr2h，据此先求出圆锥体假山石的高，要使假山石完全淹没，则水面的高为圆锥体假山石的高，圆柱的体积V＝πr2h，用圆柱的体积减假山石的体积，求出注入的水量，最后用水量除以每分钟注水量，可求出时间。
【解答】解：假山石的底面半径：4÷2＝2（分米）
假山石的高为：
12.56×3÷（3.14×22）
＝12.56×3÷12.56
＝3（分米）
将假山石完全淹没注入的水量：3.14×62×3﹣12.56＝326.56（立方分米）
注水时间：326.56÷16≈21（分钟）
答：至少需要21分钟才能将假山石完全淹没。
【点评】掌握圆柱体积和圆锥的体积公式是解答本题的关键。
28．【分析】（1）根据一个圆切拼成长方形，长是圆周长的一半，宽是圆的半径，推出两个圆切拼成长方形的结论；
（2）把圆柱表面积转化成近似的大长方形，就是把圆柱的侧面展开的长方形与两个圆切拼的长方形拼在一起，据此找到大长方形的长与宽。
【解答】解：（1）聪聪把圆柱的两个底面转化成一个近似的长方形，近似的长方形的长相当于圆柱底面的周长，宽相当于底面的半径；
（2）由图可知，聪聪把圆柱表面积转化成近似的大长方形，近似大长方形的长相当于圆柱的底面周长，宽相当于圆柱的高与底面半径的和，因此，圆柱的表面积＝底面周长×（高+底面半径）；
（3）2×3.14×6×（15+6）
＝37.69×21
＝791.28（平方厘米）
答：圆柱的表面积为791.28平方厘米。
故答案为：（1）周长；半径；（2）底面周长；高；底面半径；底面周长×（高+底面半径）。
【点评】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。