福建省莆田市第四中学2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份福建省莆田市第四中学2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了本试卷分为第Ⅰ卷两部分.，函数的零点一定位于区间，三个数，，的大小顺序是，已知，则，溶液酸碱度是通过来计量的，已知实数x，y满足，则一定有等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟，试卷总分150分）
注意事项
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请按要求填写学校、班级、考号、姓名.
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知角A的始边在x轴非负半轴，且满足，，则A是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．函数的零点一定位于区间（ ）
A．B．
C．D．
4．把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图像向右平移个单位，则最终所得图像的一条对称轴方程可以为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增．若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．三个数，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（ ）（参考数据：取）
A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升
B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是
C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是
D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用
10．已知实数x，y满足，则一定有（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．的一个周期为B．的图像关于中心对称
C．的最大值为2D．在上的所有零点之和为
12．设函数的定义域为，且满足，，当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有3个不同实数解
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的定义域是 ．
14．若，则 .
15．已知函数的部分图象如图所示．则函数的解析式为 ．
16．中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志．每个五角星的一个内角都是，利用三倍角公式等恒等变换可以求得的值．先利用可求得 （用单角的正弦值表示）；再求得 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题满分10分，其它题满分12分．
17．已知函数的值域为集合A，集合，全集．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
18．化简求值：
(1)已知，且为第四象限的角，求的值．
(2)已知，求的值．
19．已知函数.（注：e=2.71828…是自然对数的底数）
(1)判断并证明f（x）的单调性和奇偶性；
(2)解不等式.
20．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
21．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，约定北纬为正值，南纬为负值，那么这三个量满足．某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，则第x天的太阳直射点的纬度y近似满足，初始时间为，定义从某年春分到次年春分为一个回归年，一个回归年以365天计算．
(1)求的值；
(2)已知莆田某小区的纬度为，该小区内有A，B两幢楼房，A在B的正南方向，国家工程建设标准用楼间距保障采光权，其中楼间距前楼高两楼距，已知A，B间的楼间距1.34，求一个回归年中B楼底层能被正午太阳光照射到的天数．参考数据
22．如图，已知直线，是，之间的一个定点，且点到，的距离分别为1，2，是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点.设，的面积为.

(1)求的最小值；
(2)已知，，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
1．B
【分析】根据交集的定义，即可求解.
【详解】集合，,
所以
故选：B
2．D
【分析】根据三角函数定义结合三角函数符号判断象限即可.
【详解】由，得为第三、四象限角或终边在轴负半轴上的角；
由，得为第二、第四象限角．
取交集可得，角的终边一定落在第四象限．
故选：．
3．B
【分析】利用零点存在性定理即可判定函数的零点所在区间.
【详解】因为，
所以，，
又在上连续不间断，且单调增，
所以的零点一定位于区间，
故选：B.
4．A
【分析】根据函数图像的变换规律，得到变换后的函数解析式，即可求图像的对称轴方程．
【详解】将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数 的图像，
再向右平移个单位，所得图像对应的函数解析式 ，
故最后所得函数的图像的一条对称轴方程为，即，
结合所给的选项可得只有A满足条件，
故选：A．
5．A
【分析】已知在单调递增，利用函数的偶函数对称性得到上的单调性，由此作出函数的大致图象，再分段求解不等式即可.
【详解】已知是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，
则函数在上单调递减，
又，所以,
作出函数的大致草图：
根据函数的单调性可知：
等价为或，
即或，
解得或，
即不等式的解集为.
故选：A.
6．A
【分析】首先利用三角函数的几何意义判断，再利用对数函数的性质判断，即可判断选项.
【详解】如图，角的终边与单位圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点，过点作单位圆的切线，与的延长线交于点，则，，
，，
，所以，即，则
又，所以
故选：A
7．B
【分析】根据题意可得，再利用值域可限定，解得的取值范围为.
【详解】由及可得，
根据其值域为，且，
由正弦函数图象性质可得，
即可得，解得.
故选：B
8．D
【分析】由正弦展开式结合化简求值解得.
【详解】因为，
所以，
化简得，所以，又，
所以，故．
故选：D
9．ABC
【分析】利用的计算公式可得A正确，将溶液中氢离子的浓度代入计算式利用参考数据可分别求得选项BCD的值，可得结论.
【详解】对于A，若苏打水的是8，即，所以，
即苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升，所以A正确；
对于B，若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则，即B正确；
对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的氢离子浓度是，
因此，即海水的是，所以C正确；
对于D，若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则；
而不在范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误；
故选：ABC
10．ABD
【分析】利用三角代换，结合三角函数恒等变换和性质，即可求解.
【详解】由，
令，
，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】根据周期性和对称性的定义，即可判断AB；再根据正弦函数的最值，即可判断C；利用三角函数恒等变换化简函数，再求函数的零点，即可判断D.
【详解】对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B正确；
对于C，若最大值为2，则，，
当，，此时，，，故C不正确；
对于D，，
令得，所以或，又，
所以或或或或，
解得或或或或，即所有零点之和为，故D正确.
故选：ABD
12．BC
【分析】根据，推导出，所以的周期为8，可判断A；根据函数性质求出，，当时，，从而确定的取值范围，可判断B；根据得到关于中心对称，从而关于原点中心对称，即为奇函数，可判断C；画出与的图象，数形结合求出交点个数，即可求出方程的根的个数，可判断D.
【详解】因为，所以，
因为，故，所以，
即，所以，所以，
所以的周期为8，因为，所以
因为，
所以，
因为时，，所以，故，A错误；
当，，所以，
当，，，
所以，
综上：当时，的取值范围为，B正确；
因为，所以关于对称，
故关于原点中心对称，所以为奇函数，C正确；
画出与的图象，如下：

显然两函数图象共有4个交点，其中，所以方程仅有4个不同实数解，D错误.
故选：BC
13．
【分析】由对数真数大于0列出不等式解出即可.
【详解】由题意，解得或．
则函数的定义域是，
故答案为：.
14．
【分析】先化简，再代值计算即可
【详解】解：因为，
所以
，
故答案为：
15．
【分析】由函数的图像确定周期，求，由“五点法”，求，即可求函数的解析式.
【详解】由图象知，，，，
把点代入得，，
，，，
故答案为：．
16．
【分析】先根据两角和差公式结合二倍角公式得出，再结合诱导公式结合二倍角公式解方程可得.
【详解】
因为，从而，
即，令，则，解得舍.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）首先求集合，再根据交集的定义，即可求解；
（2）首先求，再根据子集关系，列不等式求解.
【详解】（1）由函数的值域为，
得函数的值域为，

当时，，
所以；
（2）因为，所以或，
由，得，或，
解得，或，
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，即可求解；
（2）首先利用诱导公式化简原式，并用正切表示，即可求解.
【详解】（1），且为第四象限的角
，
（2）原式
19．(1)单调递增，奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用奇偶性和单调性的定义判断和证明即可；
（2）根据的单调性得到，然后利用换元法解不等式即可.
【详解】（1）设，则，
因为，所以，，即，，
所以在R上单调递增；
定义域为R，关于原点对称，，所以为奇函数.
（2）原不等式可整理为，因为在R上单调递增，所以不等式可整理为，即，
令，则，整理得，解得，即，，
所以不等式的解集为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，利用整体代换法即可解出的单调递增区间；
（2）先结合条件将问题转化为“在上恰有一解”，然后分析的单调性以及函数值，从而列出关于的不等式，由此求解出结果.
【详解】（1）函数，
令，
，
函数的单调递增区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增，
当时，单调递减，
而，，，
或，解得或，
即实数的取值范围为．
21．(1)
(2)122天
【分析】（1）根据周期公式计算可得；
（2）根据所给公式及数据，解三角不等式计算可得.
【详解】（1）由已知，纬度函数的周期为365，
所以；
（2）如图所示，当正午太阳光恰好照射到B楼底层时，
，从而，
要使得能被正午太阳光照射到，则太阳高度角.
由太阳高度角公式可知，解得，
整理得，
解得，即
又，从而，所以共有122天．
22．(1)2
(2)答案见解析
【分析】（1）解和分别可得，，则的面积，根据的范围即可求的最小值；
（2）原不等式恒成立可转化为恒成立，令，可得，再令，根据的范围，讨论的值即可求解.
【详解】（1）在中，，则；
在中，，，则，
∴的面积.
∵，∴，
故当，即时，取得最大值1，此时取得最小值2.
（2）由（1）知，，
∴.
不等式对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立.
令，则，
因为，所以，所以，
又，
∴.
令，其中，
∴，.
①当时，，即；
②当时，函数在上单调递增，
∴，即；
③当时，函数在上单调递减，
∴，即
综上，当时，实数的取值范围是；
当时，实数的取值范围.
【点睛】关键点睛：本题第二问得到对任意的恒成立后，利用与之间的关系进行换元转化是解决问题的关键.