四川省眉山市东坡区冠城七中实验学校2023-2024学年高一下学期开学数学试题（解析版）

这是一份四川省眉山市东坡区冠城七中实验学校2023-2024学年高一下学期开学数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合的子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题,，则
A．，B．，
C．，D．，
3．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A．2B．C．4D．2或
4．若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A．B．0C．7D．
6．已知函数，则其图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A． B．C．D．
8．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知集合，则下列关系式表示正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
11．如图，二次函数的图象与x轴交于A､B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论正确的为（ ）

A．B．C．D．
12．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的最大值是10
D．不等式的解集为
三、填空题
13．方程的解集为 .
14．已知函数的定义域为 则的定义域为
15．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ．
16．已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是 .
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知正数a满足，求的值.
18．设，，命题，命题
(1)当时，试判断命题p是命题q的什么条件？
(2)求的取值范围，使命题p是命题q的必要不充分条件.
19．（1）已知，，且，求的最大值；
（2）已知正数，满足，求的最小值．
20．已知函数在为奇函数，且
(1)求值；
(2)判断函数在的单调性，并用定义证明；
(3)解关于t的不等式
21．去年以来新冠肆虐，我国在党中央的领导下迅速控制住新冠疫情，但完全消除新冠的威胁仍需要长期的努力.某医疗企业为了配合国家的防疫战略，决定投入万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元.
(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：）
22．已知二次函数.
(1)若的解集为，解关于的不等武；
(2)若不等式对恒成立，求的最大值.
1．D
【分析】列举法表示集合，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可．
【详解】由题设，则集合的子集个数为．
故选：D．
2．A
【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，
则，，故选A．
【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．B
【分析】利用幂函数的定义求出m值，再由单调性验证即得.
【详解】因函数是幂函数，则，即，解得或，
当时，函数在上递增，则，
当时，函数在上递减，不符合要求，
实数.
故选：B
4．C
【分析】结合一元二次不等式的解集，用分别表示和，并判断的符号，然后求解一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
则，且和3是的两个根，
所以，即，，
故，
解得或，
从而关于x不等式的解集为.
故选：C.
5．D
【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.
【详解】解:令得,故定点为,
所以由三角函数定义得，
所以
故选：D
6．B
【分析】首先利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值，可得答案.
【详解】，是奇函数，排除A、C，
当时，，排除D．
故选：B.
7．A
【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．
【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设与所在扇形圆心角分别为，
则 ，又，解得
故选:A
【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长．
8．D
【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.
【详解】
，要使得不等式有解，只需有解即可，
解得或者，
故选：D
9．CD
【分析】确定，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可.
【详解】，
对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确；
故选：CD
10．ABD
【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.
【详解】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；
经过 s后，，故扇形AOB的弧长为，故B正确；
经过 s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得 (s)，故D正确.
故选：ABD.
11．CD
【分析】利用函数图象开口、与轴交点位置以及对称轴方程可判断A；将x＝1代入函数，可判断B；根据，设得，代入函数可判断C；根据韦达定理可判断D.
【详解】对于A，根据图象，可知，又对称轴，
则，则，故A错误；
对于B，当时，，不能说明y的值是否大于0，故B错误；
对于C，设，
，
将点B代入函数，得，故，故C正确；
对于D，当时，，方程的两个根，
所以，则D正确.
故选：CD.
12．ACD
【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D.
【详解】因为，则有，
令，则，则，故A正确；
令，则，
令代，则，
即，即，故B错误；
设且，则，由，
令，则，即，
令，，则，即，
因为时，，又，故，
所以，所以，即在上单调递减，
又，所以，，
又，所以，
故在上的最大值为，故C正确；
由，即，
即，即，
又因为，即，
所以，即，
故，即，解得，
即原不等式的解集为，故D正确；
故选：ACD.
13．
【分析】根据题意得到，然后结合正弦函数相关知识解方程即可.
【详解】因为，所以，
若，则或，
所以或，即方程的解集为.
故答案为：
14．
【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知，的定义域为，所以对于
需满足,解得
故答案为：.
15．
【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范围为.
故答案为：
16．
【分析】分别讨论和时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值，解不等式可得所求范围.
【详解】函数，可得时，，当且仅当时，取得最小值，
由时，，
若时，在递减，可得，
由于的最小值为，所以，解得；
若时，在处取得最小值与题意矛盾，故舍去；
综上得实数a的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.
17．（1）；（2）
【分析】（1）利用指数，对数的性质处理即可.
（2）利用指数幂运算法则结合条件求值即可.
【详解】（1）原式
；
（2）由已知得，同时平方得，
即，平方得，
故.
18．(1)命题p是命题q的必要不充分条件
(2){a|a3}
【分析】（1）根据分式不等式，一元二次不等式和集合关系结合充分条件必要条件的定义即得；
（2）分类讨论参数结合条件即可求解.
【详解】（1）{x|x5或x3}，
当a8时，
{x|x214x+48≤0}{x|6≤x≤8}，
∵命题p：xA，命题q：xB，则B真包含于A，
∴命题p是命题q的必要不充分条件．
（2）∵A{x|x5或x3}，
命题p是命题q的必要不充分条件，则B真包含于A
①当a6，即a6时，此时B＝{x|6≤x≤a}，命题成立；
②当a＝6，即a＝6时，此时B＝{6}，命题成立；
③当a6，即a6时，此时B＝{a≤x≤6}，故有a＞3，解得6a3.
综上所述，a的取值范围是{a|a3}.
19．（1）；（2）7
【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解；
（2）由题意得，，，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】（1）因为，，且，
当且仅当，时取等号，所以，
故的最大值为；
（2）因为正数，满足，
所以，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
20．(1)
(2)函数在为单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值；
（2）由（1）由此可得出函数的解析式，可判断是奇函数，判断出函数在上是减函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）在为奇函数，，解得：，
又，解得：，
故，经检验满足题设.
（2）当时，，

当时函数在为奇函数，
由，判断函数在为单调递减，
证明：，
，
，
，，
，函数在为单调递减，
（3）则，
在为奇函数，，
又函数在为单调递减，
t的不等式的解集为
21．(1)设备从第2年开始实现总盈利
(2)方案二较合理，理由见详解
【分析】（1）根据题意可得到第年的总盈利额，结合一元二次不等式运算求解，并注意；（2）对方案一根据二次函数的性质求总利润，对方案二根据题意整理可得，结合基本不等式求总利润，对比分析.
【详解】（1）该设备到第年的总盈利额
由题意可得：，解得
∵
故该设备从第2年开始实现总盈利.
（2）方案二较合理，理由如下：
方案一：由（1）可得：当时，总盈利额达到最大值万元，
故总利润万元；
方案二：平均盈利额，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，年平均盈利额达到最大值万元，
故总利润万元；
虽然两种方案总利润相等，但方案二用时最少，故方案二较合理.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据的解求得的关系式，再解一元二次不等式求得正确答案.
（2）根据判别式列不等式，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）由于的解集为，
所以，则，
所以不等式可化为，
，解得，
所以不等武的解集为.
（2）依题意，不等式对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，显然，
所以，即，则，
则，
若，则，此时.
所以，则，
所以，
所以，则，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.