江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各个角中与2020°终边相同的是
A．B．680°C．220°D．320°
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与共线B．若与是平行向量，则
C．若，则D．共线向量方向必相同
3．函数的奇偶性是
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
4．已知平面向量，且，则
A．B．C．D．
5．已知cs（x–）=，则csx+cs（x–）=
A．–1B．1C．D．
6．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．函数的最小值为（ ）
A．B．C．0D．1
8．将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．15.4cmB．16.4cmC．17.4cmD．18.4cm
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的4倍D．扇形的圆心角变为原来的2倍
10．已知为非零向量,则下列命题中正确的是
A．若,则与方向相同
B．若,则与方向相反
C．若,则与有相等的模
D．若,则与方向相同
11．已知函数的图象为，以下说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．图象相邻两条对称轴的距离为
C．图象关于中心对称
D．要得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的定义域为 ．
13．将函数（）的图象向左平移（）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是 .
14．给出下列命题：
①函数：（）为奇函数；
②函数的最小正周期是；
③函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到；
④函数是最小正周期为的周期函数；
⑤函数的最小值是.
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设函数．
(1)求的最小正周期及其图象的对称中心；
(2)若且，求的值．
16．已知函数（其中，）.
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期.
17．4月11日至13日，我校组织高一高二全体师生一千六百余人前往九江、景德镇、上饶、抚州等地开展为期三天的融研学实践活动，汤显祖文化馆是此次研学的路线点之一，该文化馆每年都会接待大批游客.在该文化馆区的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物？
18．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
19．已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；
（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出
的范围，若不存在，请说明理由.
1．C
【解析】将写为的形式,即可得到结果
【详解】由题,,
故选:C
【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题
2．A
【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得.
【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确；
对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误；
对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误；
对于D，共线向量的方向可以相反，D错误.
故选：A
3．A
【详解】试题分析：由，且函数定义域关于原点对称，可得，故，可知函数为奇函数.
考点：三角函数奇偶性.
4．B
【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B.
考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.
5．B
【详解】∵cs（x–）=，∴csx+cs（x–）=csx+csx+sinx=（csx+sinx）=
cs（x–）==1．故选B．
6．C
【分析】根据给定条件，逆用和角的余弦公式化简即得.
【详解】依题意，原式.
故选：C
7．B
【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简函数，即可得出结果.
【详解】因为
，
所以函数的最小值为.
故选：B.
8．C
【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解.
【详解】由，得.
由函数的图象可知函数的周期为，
所以，即.
故选：C.
9．BC
【分析】利用扇形面积公式和弧长公式的变形即可求解.
【详解】设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则原扇形的面积为，
扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍后，其面积为，
故，故A错误，C正确；
由，可知扇形的圆心角不变，故B正确，D错误.
故选：BC．
10．ABD
【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.
【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.
当同向时有,.
当反向时有,
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.
11．BCD
【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为
，
所以函数的最大值为，故A错误；
函数的最小正周期，所以图象相邻两条对称轴的距离为，故B正确；
因为，所以图象关于中心对称，故C正确；
将的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到，
再将向右平移个单位得到，故D正确；
故选：BCD
12．
【详解】由，得，解得，
又，
∴
∴函数的定义域为．
答案：
13．
【分析】利用辅助角公式化简函数式，结合函数图象的平移及奇函数的性质列式求解即得.
【详解】依题意，函数，则平移后的函数解析式为，
显然函数为奇函数，又，则，
因此，所以的最小值是.
故答案为：
14．①②⑤
【分析】利用正余弦函数的奇偶性、周期性，结合诱导公式、二倍角的余弦公式判断①②④；求出平移后的函数解析式判断③；利用同角公式，结合含余弦的二次型函数求出最小值判断⑤.
【详解】对于①，当为奇数时，是奇函数；当为偶数时，是奇函数，①正确；
对于②，的最小正周期是，②正确；
对于③，函数的图象向左平移个单位长度得，③错误；
对于④，函数是最小正周期为的周期函数，④错误；
对于⑤，函数，当时，，⑤正确，
所以真命题的序号为①②⑤.
故答案为：①②⑤
15．(1)最小正周期为，对称中心为
(2)
【分析】（1）展开化简最小正周期为，令对称中心为；
（2）根据，求得，配凑从而带入求值.
【详解】（1）因为
所以的最小正周期为．
令，解得，
所以的对称中心为
（2）因为，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
．
16．(1)，；
(2)见解析
(3)非奇非偶函数
(4)周期函数，周期为
【分析】（1）可结合余弦函数的图象，解便可得出的定义域;
（2）可以看出原函数是由和复合而成的复合函数，这样根据余弦函数、对数函数，以及复合函数的单调性便可求出单调区间；
（3）可以看出的定义域不关于原点对称，从而得出为非奇非偶函数；
（4）由为周期函数，且周期为可判断的周期性，并可得出它的周期.
【详解】（1）解得：，
∴，
∴的定义域为，；
（2）设，，
解，得：，
解，得：，
∴
在上单调递增，在上单调递减；
①若，则为增函数，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为;
②若，则为减函数，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数；
（4）因为为周期函数，且最小正周期为，
所以
所以为周期函数，最小正周期为.
17．(1)
(2)6，7，8，9，10月份
【分析】（1）设该函数为，根据题意求得，再结合当时，最小，当时，最大，求得，即可求解；
（2）由，求得，即可求解.
【详解】（1）设该函数为（，，），其中．
根据①，可知这个函数的周期是12；
由②，可知最小，最大，且，故该函数的振幅为200；
由③，可知在上是增函数，且，所以．
根据上述分析可得，故，
由，解得，
当时，最小，当时，最大，
故，且，可得，
由，得．
所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为.
（2）由条件，可知，
化简得，即，
解得，,
因为，且，所以，
即客栈在月份要准备400份以上的食物．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到，，计算得到答案.
【详解】（1），
，故余弦距离等于；
（2）；
故，，则.
19．（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.
【解析】（1）选择①②，将点代入，结合可求，由点是的对称中心可得，结合，可得，即可得解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由，所即，可得，即可得解析式；选择②③由，所即，可得，若函数的图象关于点对称，则，结合，可得，即可得解析式；
（2）若是函数的零点，则，解得
或，可得或，进而可得可能的取值，即可求解；
（3）由得，当时，函数可转化为，，，利用偶函数的性质原不等式可化为，即可求解.
【详解】选择①②：
因为函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以，
选择①③：
若函数的图象过点，
所以，解得，因为，所以，
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
所以，
选择②③：
因为函数相邻两个对称轴之间距离为，
所以，所以，，解得：，
若函数的图象关于点对称，则，
可得，因为，所以，，
所以
（2）若是函数的零点，则，
可得，
所以或
解得：或，
若是函数的零点，则，，
当时，，
当时，，
当时，
所以的值组成的集合为；
（3）当时，，
令，则，令，
则，，
因为，
所以，即，
所以，即，，
解得：.
所以实数的范围是：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出的解析式，再利用余弦函数的零点可求可能的取值，求的范围的关键是构造偶函数，利用单调性脱掉，解关于的不等式.