2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．温州博物馆B．西藏博物馆
C．广东博物馆D．湖北博物馆
2．（3分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a+5＞b+5B．3a＞3bC．1﹣5a＜1﹣5bD．
3．（3分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2
C．x2y＝x•x•yD．a2﹣3a＝a（a﹣3）
4．（3分）到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条垂直平分线的交点
5．（3分）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．﹣x2+9y2B．x2+9y2C．x2﹣2y2+1D．﹣x2﹣9y2
6．（3分）不等式组﹣3＜x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置．若∠CAB′=25°，则∠CAC'的度数为（ ）
A．25°B．40°C．65°D．70°
9．（3分）如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点（-1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x≥3D．x≥﹣1
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm之后得到△DEF，若EC=5cm,则EF= cm．
12．（3分）如图是一个长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14、面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
13．（3分）在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，△BCD为等边三角形，且AD=2，则四边形ABCD的周长为 ．
14．（3分）已知不等式的解集是x＜2，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ=90°时，AQ的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（11分）（1）因式分解：①x2y﹣2xy2+y3；②9（m+n）2﹣4（m﹣n）2；
（2）解不等式组：．
17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：
（1）AE＝AC；
（2）直线AD是线段CE的垂直平分线．
18．（8分）已知：如图一次函数y1=-x-2与y2=x-4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1=-x-2与y2=x-4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 ．
20．（8分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2＝0时，原式有最小值，最小值为﹣9．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法分解因式：x2+2x﹣8；
（2）求多项式x2+4x﹣2020的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
21．（10分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
22．（10分）如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，BA=BC=3，AO=1．
（1）求CO的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．
①当点D在线段OB上时，若AO=AE，求OD的长；
②设直线DE交射线CB于点F，连接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的长．
23．（12分）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，求出图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．
①如图1，从条件出发：将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°，且BC=7，DC=13，CF=5，求BE的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF=∠BAD．当BC=4，DC=7，CF=1时，求出△CEF的周长．
2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。
1．【答案】A
【解答】解：A．既是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．【答案】D
【解答】解：∵a＞b，
∴a+5＞b+5，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴3a＞3b，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣5a＜﹣8b，
∴1﹣5a＜7﹣5b，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴c＞0时，＞；c＝8时，、；c＜0时，＜，
∴选项D符合题意．
故选：D．
3．【答案】D
【解答】解：A．原式是整式的乘法，故本选项不符合题意；
B．原式右边不是整式积的形式，故本选项不符合题意；
C．原式不符合因式分解的定义；
D．原式符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
4．【答案】D
【解答】解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
故选：D．
5．【答案】A
【解答】解：A．﹣x2+9y5是x与3y的平方的差，能用平方差公式分解因式，符合题意；
B．x2+5y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C．x2﹣3y2+1是三项，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D．﹣x5﹣9y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故选：A．
6．【答案】C
【解答】解：不等式组﹣3＜x≤1的解集在数轴上表示为：，
故选：C．
7．【答案】B
【解答】解：A、∵a＝3，c＝4，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a：b：c＝7：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝8：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
8．【答案】B
【解答】解：∠BAB′＝∠BAC﹣∠CAB′＝65°﹣25°＝40°，
根据旋转的性质可知∠CAC′＝∠BAB′＝40°．
故选：B．
9．【答案】D
【解答】解：观察图象知：当x≥﹣1时，kx+b≥3，
故选：D．
10．【答案】D
【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠5＝60°，即∠ADC＝60°．
故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝，S△DAC＝AC•CD＝．
∴S△ABC＝AC•BC＝AD＝，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选：D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．【答案】7．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴CF＝BE＝2cm，
∴EF＝EC+CF＝4+2＝7（cm）．
故答案为：6．
12．【答案】70．
【解答】解：由题意可得：ab＝10，a+b＝7，
则a2b+ab7＝ab（a+b）＝10×7＝70．
故答案为：70．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△BCD为等边三角形，
∴∠DBC＝60°，DB＝BC＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∵在Rt△ABC中，∠ABD＝30°
∴DB＝4，
∴CD＝BC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理＝＝7，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+DA＝2+4+4+7＝2，
故答案为：2+10．
14．【答案】a≥2．
【解答】解：由不等式组的解集是x＜2，
因此a的取值范围是a≥5．
故答案为：a≥2．
15．【答案】或．
【解答】解：如图：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AD＝AB＝2，
∵∠ADQ＝90°，
∴点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
CQ＝CP＝CQ′＝1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝3，
∴AQ＝＝＝，
当点Q在DC的延长线上，
在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，
∴AQ′＝＝＝，
综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，
故答案为：或．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．【答案】（1）①y（x﹣y）2；②（5m+n）（m+5n）；（2）0≤x＜2．
【解答】解：（1）①原式＝y（x2﹣2xy+y8）＝y（x﹣y）2；
②原式＝[3（m+n）2]﹣[2（m﹣n）2]
＝（4m+3n）2﹣（2m﹣2n）2
＝（3m+3n+2m﹣7n）（3m+3n﹣4m+2n）
＝（5m+n）（m+3n）；
（2）解不等式3+x≤2x﹣7+7得：x≥0，
解不等式8x﹣1＜3x+7得：x＜2，
故不等式组的解集为：0≤x＜5．
17．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥AC，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC；
（2）∵AE＝AC，
∴点A在线段CE的垂直平分线上，
∵DE＝DC，
∴点D在线段CE的垂直平分线上，
∴AD是线段CE的垂直平分线．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，则B点坐标为（﹣2；
当y7＝0时，x﹣4＝4，则C点坐标为（4；
∴BC＝4﹣（﹣6）＝6，
∴△ABC的面积＝×6×3＝8；
（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤4．
19．【答案】（1）△A1B1C1见解答过程；
（2）△A2B2C2见解答过程；
（3）（﹣3，0）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求；
（2）如图，△A2B2C5即为所求；
（3）旋转中心Q的坐标为（﹣3，0），
故答案为：（﹣8，0）．
20．【答案】（1）（x+4）（x﹣2）；
（2）多项式x2+4x﹣2020的最小值为﹣2024．
（3）△ABC的周长＝3+4+5＝12．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+7﹣9
＝（x+1）3﹣32
＝（x+4+3）（x+1﹣8）
＝（x+4）（x﹣2）；
（2）x2+4x﹣2020
＝x2+6x+22﹣22﹣2020
＝（x+2）4﹣2024，
∵（x+2）2≥8，
∴（x+2）2﹣2024≥﹣2024，
∴多项式x5+4x﹣2020的最小值为﹣2024．
（3）∵a2+b3+c2+50＝6a+7b+10c，
∴a2+b2+c5+50﹣6a﹣8b﹣10c＝6，
∴a2﹣6a+3+b2﹣8a+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣8）2＝0，
∴a﹣7＝0，b﹣4＝2，
∴a＝3，b＝4，
∴△ABC的周长＝8+4+5＝12．
21．【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
（2）最多可购进乙型头盔120个；
（3）能，①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．
【解答】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
（2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（200﹣m）个，
根据题意，得：65m+30（200﹣m）≤10200，
解得：m≤120，
∴m的最大值为120；
答：最多可购进乙型头盔120个；
（3）能，
根据题意，得：（58﹣30）（200﹣m）+（98﹣65）m≥6190；
解得：m≥118；
∴118≤m≤120；
∵m为整数，
∴m可取118，119或120，81或80；
因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：
①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；
②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；
③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．
22．【答案】（1）；
（2）﹣1；
（3）1或2.6．
【解答】解：（1）∵BA＝BC＝3，AO＝1．
∴OB＝3．
∵CO⊥AB，
∴∠COB＝∠AOC＝90°．
∴CO＝＝＝．
（2）∵∠AOC＝90°，AO＝1，
∴AC＝＝．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°．
在△AED和△AOC中，
∴△AED≌△AOC（AAS）．
∴AD＝AC＝．
∴OD＝AD﹣AO＝﹣4．
②Ⅰ、点D在线段OB上时．
∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM为它们共同的高，
∴BF：CF＝5：4．
∵BC＝3，
∴BF＝3．
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠BCA．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CEF＝90°．
∴∠ADE＝∠CFD．
∵∠BDF＝∠ADE，
∴∠CFD＝∠BDF．
∴BD＝BF＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝2﹣6＝1．
Ⅱ、点D在线段OB的延长线上时．
∵S△OBF：S△OCF＝1：8，OM为它们共同的高，
∴BF：CF＝1：4．
∵BC＝3，
∴BF＝3×＝0.6．
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠BCA．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CEF＝90°．
∴∠D＝∠CFE．
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠BFD＝∠D．
∴BD＝BF＝5.6，
∴OD＝OB+BD＝2+4.6＝2.4．
综上，OD的长为：1或2.8．
23．【答案】（1）EF＝FC+AE，理由见解答；
（2）BE＝5；
（3）13．
【解答】解：（1）EF＝FC+AE，理由如下：
∵将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴△DAE≌△DCM，
∴DE＝DM，AE＝CM，B、C、M三点共线，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADE+∠FDC＝∠CDM+∠FDC＝∠MDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝FM，
∴EF＝FM＝FC+CM＝FC+AE；
（2）如图，在DC上取一点G，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠D＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝∠D，
∵AB＝AD，BE＝DG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAB+∠BAF＝∠DAG+∠BAF＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠FAG＝∠FAE＝45°，
∵AE＝AG，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
设BE＝x，则EC＝EB+BC＝x+7，
在Rt△ECF中，EF2＝EC4+CF2，
∴56+（7+x）2＝（18﹣x）2，
解答x＝5，
∴BE＝5；
（3）在DF上截取DM＝BE，
∵∠D+∠ABC＝∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠ABE，
在△ADM≌△ABE中，
，
∴△ADM≌△ABE（SAS），
∴AM＝AE，∠DAM＝∠BAE；
∵∠EAF＝∠BAE+∠BAF＝∠BAD，
∴，
∴∠EAF＝∠MAF，
在△EAF≌△MAF，
，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝MF；
∵MF＝DF﹣DM＝DF﹣BE，
∴EF＝DF﹣BE．
∴△CEF的周长＝CE+EF+FC＝BC+BE+DC+CF﹣BE+CF＝BC+CD+2CF＝13．