2023-2024学年广东省深圳市明德实验学校（集团）八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省深圳市明德实验学校（集团）八年级（下）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线）B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线）D．（科赫曲线）
2．（3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
B．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10
C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
D．x2+1＝x（x+）
3．（3分）下列叙述正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若﹣＜0，则x＞﹣3
C．若a＞b，则a﹣c＞b﹣cD．若a＞b，则﹣3a＞﹣3b
4．（3分）如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE=4，则点C的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（3，2）C．（1，3）D．（1，4）
5．（3分）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
6．（3分）已知点P（2a+1，1﹣a）在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行
B．三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等
C．三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分
D．点P到线段AB两个端点的距离相等，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
8．（3分）在△ACB中，∠ACB=90°，尺规作图的痕迹如图所示．若AC=2，AB=5，则线段CD的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m≤0B．﹣1≤m＜0C．﹣1＜m＜0D．﹣1＜m≤1
10．（3分）如图，△ABC中，AC=DC=3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A．1.5B．3C．4.5D．9
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）等腰三角形的两条边长分别为8cm和4cm，则它的周长是 cm．
13．（3分）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集是 ．
14．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE=AC=CD，，则BD的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（8分）计算：
（1）因式分解：4a2（a﹣b）﹣（a﹣b）；
（2）解分式方程：．
17．（5分）解不等式组并求出它的整数解．
18．（6分）化简式子（+1）÷，并在﹣2，﹣1，0，1
19．（10分）如图在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，3），B（-2，4），C（-1，1）．
（1）将△ABC先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形△A1B1C1，画出图形△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ；
（2）画出△ABC绕点O按顺时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并计算出在旋转过程中，点C运动到C2的运动轨迹长度 ；
（3）若△A1B1C1可以看作是由△A2B2C2绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ．
20．（8分）某企业购买了一批A、B型国产芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该企业用3120元购买A型芯片的数量与用4200元购买B型芯片的数量相等．
（1）求该企业购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200枚，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低费用是多少元？
21．（8分）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2），此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，判断△ABC的形状并说明理由．
22．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接CP，PB．
（1）如图1，当a＝45°时；
（2）如图2，若∠CPB＝135°，且D为AB中点，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当CP＝BP时，求旋转角α的度数．
2023-2024学年广东省深圳市明德实验学校（集团）八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合要求，请在答卷指定区域用28铅笔填涂所对应的方框，每小题3分，共30分）
1．【答案】D
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．【答案】C
【解答】解：A、（x+3）（x﹣3）+8x不是几个整式的积的形式，故本选项错误；
B、x2+3x﹣10不是几个整式的积的形式，故不是因式分解；
C、等式右边是几个整式的积的形式，故本选项正确；
D、等式右边是分式的积的形式，故本选项错误．
故选：C．
3．【答案】C
【解答】解：A．若a＞b，ac2＝bc2，故本选项不符合题意；
B．若﹣，则x＞0；
C．若a＞b，故本选项符合题意；
D．若a＞b，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．【答案】A
【解答】解：∵B（3，0），
∴OB＝4，
∵OE＝4，
∴BE＝OE﹣OB＝1，
∴将△OAB沿x轴正方向平移8个单位得到△DCE，
∴点C是将A向右平移1个单位得到的，
∴点C是的坐标是（1+3，2），2）．
故选：A．
5．【答案】A
【解答】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
6．【答案】A
【解答】解：根据题意，得：，
解不等式①，得：a＜﹣，
解不等式②，得：a＜1，
在数轴上表示为：，
∴该不等式组的解集为：a＜﹣
故选：A．
7．【答案】B
【解答】解：A、一个图形和它经过平移所得的图形中，故A是假命题；
B、三角形三个内角的平分线相交于一点，故B是真命题；
C、三角形的高线将三角形分成的两部分面积不一一定相等，不符合题意；
D、点P到线段AB的两端点距离相等，故D是假命题；
故选：B．
8．【答案】D
【解答】解：由作法得：AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∵∠ACB＝90°，即CD⊥AC，
∴CD＝DE，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AE＝AC＝2，
∴BE＝AB﹣AC＝3，
在Rt△ACB中，AC＝3，，
设CD＝x，则，
在Rt△BED中，BD6＝BE2+DE2，
∴，
解得：，
即．
故选：D．
9．【答案】B
【解答】解：解不等式3x﹣2＜6，得x＜1，
解不等式m﹣x＜1，得x＞m﹣7，
∴原不等式组的解集为：m﹣1＜x＜1，
∵不等式组恰有两个整数解，
∴﹣5≤m﹣1＜﹣1，
解得：﹣7≤m＜0．
故选：B．
10．【答案】C
【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大×3×7＝．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．【答案】x≠﹣5．
【解答】解：由题可知，
x+5≠0，
解得x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣5．
12．【答案】20．
【解答】解：∵等腰三角形的两边分别是4cm和8cm，
∴应分为两种情况：①6为底，4为腰；不可以构成三角形；
②4为底，3为腰；
∴它的周长是20（cm）．
故答案为：20．
13．【答案】0＞x＞﹣1．
【解答】解：∵函数y1＝﹣2x与y5＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，8），
∴关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞3的解集是：0＞x＞﹣1．
故答案为：2＞x＞﹣1．
14．【答案】2．
【解答】解：由等边△ABC的边长为8，△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，
得∠ACQ＝∠B＝60°为定角，
故当DQ⊥CQ时DQ取最小值＝CD÷2×＝4÷2×．
故答案为：2．
15．【答案】3．
【解答】解：如图所示，过D作DF⊥BC于F，则∠AGC＝∠CFD＝90°，
又∵∠B＝45°，
∴∠BDF＝∠BAG＝45°，DF＝BF，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD﹣∠BAG＝∠CDA﹣∠B，即∠CAG＝∠DCF，
又∵CD＝CA，
∴△CAG≌△DCF（AAS），
∴CG＝DF，
∵CA＝EA，AG⊥CE，
∴CG＝CE＝＝7，
∴DF＝3＝BF，
在Rt△BDF中，BD＝，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．【答案】（1）（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1）；
（2）x＝﹣1．
【解答】解：（1）4a2（a﹣b）﹣（a﹣b）
＝（a﹣b）（4a2﹣1）
＝（a﹣b）（8a+1）（2a﹣2）；
（2），
方程两边都乘以（x+7）（x﹣2），得x（x+2）﹣6＝x2﹣4，
解得x＝﹣8，
检验：当x＝﹣1时，x2﹣8＝﹣3≠0，
所以x＝﹣3是原方程的解，
即原方程的解为x＝﹣1．
17．【答案】2＜x≤5，整数解为3、4、5．
【解答】解：解不等式4x﹣2≤2（x+1），得x≤5，
解不等式，得x＞2，
∴不等式组的解集为2＜x≤7，
∴解不等式组的整数解为3、4、5．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（+6）÷
＝[]
＝（）
＝
＝
＝，
∵（a+1）（a﹣3）≠0，a﹣2≠4，
∴a≠±1，2，3，
∴a＝﹣2，
当a＝﹣2时，原式＝．
19．【答案】（1）作图见解答过程；（﹣1，﹣3）；
（2）作图见解答过程；π；
（3）（4，﹣2）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求．
点A1的坐标为（﹣1，﹣6）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
（2）如图，△A6B2C2即为所求．
由勾股定理得，AC＝＝，
∴在旋转过程中，点C运动到C3的运动轨迹长度为＝π．
故答案为：π；
（3）如图，连接B1B4，C1C2，分别作线段B4B2，C1C8的垂直平分线，交于点D，
则△A1B1C5可以看作是由△A2B2C2绕点D逆时针旋转90°得到的，
∵点D的坐标为（4，﹣2）．
∴旋转中心的坐标为（6，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
20．【答案】（1）该企业购买的A型芯片的单价为26元，B型芯片的单价为35元．
（2）当购买A型芯片50枚，B型芯片150枚时，总费用最低，最低为6550元．
【解答】解：（1）设该企业购买的B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为（x﹣9）元，
依题意得：，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解．
∴x﹣4＝26．
答：该企业购买的A型芯片的单价为26元，B型芯片的单价为35元．
（2）设购买a枚A型芯片，则购买（200﹣a）枚B型芯片，
依题意得：，
解得：40≤a≤50，
设总费用为y元，
则y＝26a+35（200﹣a）＝﹣9a+7000，
∵﹣8＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当a＝50时，y的最小值＝﹣9×50+7000＝6550（元），
此时200﹣a＝200﹣50＝150．
答：当购买A型芯片50枚，B型芯片150枚时，最低为6550元．
21．【答案】（1）（a﹣3）（a2+6）；
（2）7；
（3）等边三角形，理由见解析．
【解答】解：（1）a3﹣3a4+6a﹣18
＝a2（a﹣5）+6（a﹣3）
＝（a﹣4）（a2+6）．
（2）m6﹣n2+2m﹣4n
＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+n+2）
将m+n＝5，m﹣n＝1．
（3）△ABC是等边三角形，理由如下：
∵a2+3b2+c2＝2ab+2bc，即a2+5b2+c2﹣4ab﹣2bc＝0，
∴a7﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝（a﹣b）7+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝2且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
22．【答案】（1）．
（2）CP＝2DP，理由见解答．
（3）α＝30°或150°．
【解答】解：（1）α＝45°时，点P落在AB上，
在等腰直角△ABC中，，
∴AB＝＝AC，
∴BP＝AB﹣AP＝AB﹣AC＝2﹣．
（2）如图，延长PD到点F，连接AF，
∵AD＝BD，∠ADF＝∠BDP，
∴△ADF≌△BDP（SAS），
∴AF＝BP，∠DAF＝∠DBP，
∵AP＝AC，AC＝BC，
∴AP＝BC，
∵∠APB+∠DAP+∠DBP＝180°，
∴∠FAP＝∠DAF+∠DAP＝∠DBP+∠DAP＝180°﹣∠APB，
在△PAC 中，PA＝AC，
∴∠APB＝∠ACP＝，
∴，
∴∠FAP＝180°﹣∠APB＝45°﹣，
∴∠BCP＝90°﹣∠ACP＝90°﹣（90°﹣）＝，
∴，
∴∠FAP＝∠CBP，
∴△FAP≌△PBC（SAS），
∴PF＝CP，
∵PD＝DF，
∴CP＝2DP．
（3）分两种情况：①当点P在△ABC内部，如图，交BC于点G，垂足为E，
∵CP＝BP，
∴，
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°﹣α，
∴∠PCE＝∠PCA﹣∠ACE＝（90°﹣）﹣（90°﹣α）＝，
由（2）知，
∴∠PCE＝∠BCP，
又∠CEP＝∠CGP＝90°，
∴△CEP≌△CGP（AAS），
∴，
又∵AC＝BC，
在Rt△ACE中，AC＝7CE，
∴∠CAE＝α＝30°；
②当点P在△ABC外部，如图，交BC于点I，垂足为点H，
∵PC＝BP，
∴∠DIB＝90°，，
∵AD＝BD，∠AHD＝∠DIB＝90°，
∴△ADH≌△BDI（AAS），
∴，
又∵AC＝BC＝AP，
∴AP＝2AH∠APH＝30°，
∵∠ACB＝∠DIB＝90°，
∴AC∥PI∠PAC+∠APH＝180°，
∴∠PAC＝180°﹣30°＝150°，
即α＝150°，
综上，α＝30°或150°．