2023-2024学年北京市海淀实验学校八年级（下）期中数学试卷(1)

这是一份2023-2024学年北京市海淀实验学校八年级（下）期中数学试卷(1)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≠2C．x≠﹣2D．x≥﹣2
2．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．6，8，10C．5，10，12D．6，7，8
3．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD＝BCB．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝B．C．2+D．2﹣2＝
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=3，BC=5，则EF长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，BC=9cm,AB=15cm,将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ）
A．1cmB．3cmC．5cmD．6cm
7．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，G是AD上的任一点，则S△BEF和S△GFC分别等于S的（ ）
A．和B．和C．和D．和
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）计算的结果是 ．
11．（2分）如图，点A在数轴上所表示的数为2，AB⊥OA于点A，且AB=1，以点O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C，那么点C表示的数是 ．
12．（2分）如图，在直角坐标系中，点A（3，1），B（4，4），C（5，2），则∠BAC= 度．
13．（2分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点．AC=8，BD=6，则OE长为 ．
14．（2分）如图，直线l上有三个正方形a、b、c,若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ．
15．（2分）如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝10，则△EFM的周长是 ．
16．（2分）如图，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论是 ．
①EF⊥AC；
②△DBF≌△EFA；
③四边形ADFE是菱形；
④AE＝2AG．
三、解答题（本题共60分，17题（1）（2）每小题8分，18、20-22题每小题8分，19、23-24题6分，25-26每小题8分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（5分）已知x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2+2xy+y2的值．
19．（6分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
所以四边形ABEF为所求的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴ ＝ ．
在▱ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形． （ ）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为菱形．（ ）（填推理的依据）
20．（5分）如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，连接BD．求证：AB=CD．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，，D是AB上一点，且，．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的边AC的长度．
22．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形．
23．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是CA延长线上一点，且AE=AO，BC=5，BD=8．求BE的长度．
24．（6分）阅读材料：在解决问题“已知，求2a2﹣4a+1的值”时，小芳是这样分析与解答的：
∵
∴
∴（a﹣1）2＝2
∴a2﹣2a+1＝2
∴a2﹣2a＝1
∴2a2﹣4a＝2
∴2a2﹣4a+1＝3
请根据小芳的方法探索解决下列问题：
（1）化简：；
（2）若，求3a2﹣30a+18的值．
25．（7分）如图，正方形ABCD中，G是AD边上的动点，AE⊥CG交CG延长线于点E，DF⊥DE交CG于点F，连接BF．
（1）若DE=2，求EF的长；
（2）若点G是AD的中点，猜想BF、CF、DF的数量关系，并说明理由．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，若平行四边形ABCD的对角线交点在原点上，并且其中一条对角线在坐标轴上，那么我们称平行四边形ABCD为“中心平行四边形”，其中要求平行四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列．
（1）如图，点A（4，5），
①若点B（3，0），在图中画出平行四边形ABCD，并直接写出平行四边形ABCD的面积；
②若“中心平行四边形”ABCD是矩形，则矩形ABCD的面积是 ；
（2）如图，点M（1，6），N（5，3），点A在线段MN上，若“中心平行四边形”ABCD是矩形，直接写出“中心平行四边形”ABCD对角线BD的取值范围是 ．
2023-2024学年北京市海淀实验学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．【答案】A
【解答】解：根据题意得，3x﹣6≥5，
解得x≥2．
故选：A．
2．【答案】B
【解答】解：A、42+82≠63，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、62+82＝102，能构成直角三角形，符合题意；
C、52+102≠122，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、62+72≠87，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
3．【答案】A
【解答】解：A、“一组对边平行，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
4．【答案】B
【解答】解：A.与不能合并；
B.×＝＝，所以B选项符合题意；
C.2与不能合并；
D．2与5不能合并；
故选：B．
5．【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝3，
∴CD＝AB＝3，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝2，
同理DE＝DC＝3，
∵AD＝AF+（DE﹣EF）＝5，
∴EF＝4，
故选：A．
6．【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，BC＝9cm，
∴AC＝＝12cm，
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝15cm，
∴CE＝AE﹣AC＝15﹣12＝3（cm），
故选：B．
7．【答案】D
【解答】解：由题意可得，
△ABC的面积是：3×4﹣＝，
∵BD是△ABC的高，AC＝，
∴＝，
解得，BD＝，
故选：D．
8．【答案】B
【解答】解：△BEF的底为BC的一半，高也为平行四边形高的一半；
△FGE的底为BC的一半，高等于平行四边形的高．
∴可得S△BEF和S△GFC分别等于S的和．
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【答案】x≥1．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥2．
10．【答案】﹣．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝﹣2
＝﹣．
11．【答案】．
【解答】解：∵在Rt△AOB中，OA＝2，
∴OB＝．
∵以O为圆心，以OB为半径画弧，
∴OC＝OB＝，
∴点C表示的实数是．
故答案为：．
12．【答案】45．
【解答】解：如图，连接BC，
∵A（3，1），6），2），
∴AC2＝BC6＝22+82＝5，
AB3＝12+42＝10，
∴AC2+BC6＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
故答案为：45．
13．【答案】．
【解答】解：由菱形的性质可得，，，∠AOB＝90°，
∴，
∵O是AC的中点，E是BC的中点，
∴OE△ABC的中位线，
∴，
故答案为：．
14．【答案】3．
【解答】解：如图，
∵∠ACB+∠ECD＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC＝DE，
∵AC2＝AB2+BC7＝DE2，
∴b的面积＝a的面积+c的面积，
∴c的面积＝b的面积﹣a的面积＝5﹣5＝3，
故答案为：3．
15．【答案】13．
【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，BC＝10，
∴在Rt△BCE中，EM＝，
在Rt△BCF中，FM＝，
又∵EF＝3，
∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝3+5+3＝13．
故答案为：13．
16．【答案】①②④．
【解答】解：连接CF，
∵∠ACB＝90°，F为AB中点，
∴CF＝AB＝AF，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
∴EF⊥AC，①正确；
∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，
∴DF⊥AB，
∴AD＞DF，
∴四边形ADFE不可能是菱形，③不正确；
∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴AD∥BC，
∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，
∴EF∥AD，
∴AD∥EF，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，
∴EF＝2AF＝AB，AE＝，
∴AD＝EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AG＝，
∴AE＝2AG；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE＝DF，AD＝FE，
∵AD＝BD，
∴BD＝FE，
在△DBF与△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA（SSS），②正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本题共60分，17题（1）（2）每小题8分，18、20-22题每小题8分，19、23-24题6分，25-26每小题8分）
17．【答案】（1）3﹣；
（2）5﹣．
【解答】解：（1）原式＝2+5+
＝3﹣；
（2）原式＝4++﹣2
＝5﹣．
18．【答案】16．
【解答】解：∵x＝2+，y＝2﹣，
∴x+y＝2++2﹣，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）5＝42＝16．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：菱形ABEF即为所求．
（2）证明：∵AF＝AB，BE＝AB，
∴AF＝BE，
在▱ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形． （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为菱形．（邻边相等的四边形是菱形）
故答案为：AF＝BE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
20．【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
21．【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵BD2+CD2＝4+3＝5，BC6＝5，
∴BD2+CD6＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
设AC＝x，则AB＝AC＝x，
在Rt△ADC中，AD2+DC3＝AC2，
即，
解得：x＝，
∴AC＝．
22．【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
又∵D是BC的中点，
∴AF＝BD＝DC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
在△ABC中，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBF是矩形．
23．【答案】2．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝4，
∴OC＝，
∵AE＝AO，
∴OE＝AE+OA＝3+3＝6，
∴BE＝．
24．【答案】（1）﹣2﹣；
（2）15．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝﹣2﹣；
（2）∵＝＝5﹣5，
∴原式＝3（a3﹣10a+6）
＝3（a2﹣10a+25）﹣3×19
＝3（a﹣5）2﹣57
＝3×24﹣57
＝15．
25．【答案】（1）；
（2），理由见解析．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD，AE⊥CG，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°＝∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠EAD+∠AEG+∠AGE＝180°＝∠FCD+∠CDG+∠CGD，∠AGE＝∠CGD，
∴∠EAD＝∠FCD，
∵∠EAD＝∠FCD，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DF＝DE＝2，
由勾股定理得，，
∴EF的长为；
（2），理由如下；
如图，作DH⊥CE于H，
∴∠DHG＝90°＝∠AEG，
∵∠DHG＝∠AEG，∠DGH＝∠AGE，
∴△DGH≌△AGE（AAS），
∴DH＝AE，
∵△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴DH＝CF，
∵∠CDH+∠DCH＝90°＝∠BCF+∠DCH，
∴∠CDH＝∠BCF，
∵CD＝BC，∠CDH＝∠BCF，
∴△CDH≌△BCF（SAS），
∴CH＝BF，
∵△DEF是等腰直角三角形，DH⊥EF，
∴DH＝FH，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）①画图见矩形；30；②8或10；（2）≤BD≤．
【解答】解：（1）①作点C（﹣4，﹣5），2），BC，AD，如图，
∴S▱ABCD＝6×5＝30；
②Ⅰ．当矩形ABCD的一条对角线在y轴上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵点A（8，5），
∴OA＝＝，
∴OD＝．
过点A作AE⊥y轴于点E，则AE＝4，
∴OD•AE＝，
∴S▱ABCD＝4S△OAD＝2×5＝8；
Ⅱ．当对角线在x轴上，
则OB＝OA＝，
过点A作AE⊥x轴于点E，则AE＝5，
∴S△OAB＝OB•AE＝，
∴S▱ABCD＝6S△OAB＝×8＝10，
综上，矩形ABCD的面积是8．
故答案为：8或10；
（2）延长MN交y轴于点E，连接OM，过点O作OF⊥MN于点F，
∵M（8，6），3），
∴OM＝＝，ON＝＝
MN＝＝＝5．
设直线MN的解析式为y＝kx+b，且过点M（5，N（5，
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，则y＝，
∴E（0，）．
∴OE＝．
∴×1＝，，
∴S△OMN＝S△ONE﹣S△OME＝，
∴MN•OF＝，
∴OF＝．
∵点A在线段MN上，，
∴OA的最大值为，最小值为，
∵“中心平行四边形”ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2OA，
∴BD的最大值为2，最小值为．
∴对角线BD的取值范围是：≤BD≤．
故答案为：≤BD≤．