第02讲 整式与因式分解（5考点+34题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第02讲 整式与因式分解
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc150724276" 考点一 代数式的相关概念 PAGEREF _Tc150724276 \h 4
\l "_Tc150724277" 题型01 列代数式 PAGEREF _Tc150724277 \h 4
\l "_Tc150724278" 题型02 代数式的实际意义 PAGEREF _Tc150724278 \h 5
\l "_Tc150724279" 考点二 整式的相关概念 PAGEREF _Tc150724279 \h 5
\l "_Tc150724280" 题型01 判断单项式的系数、次数 PAGEREF _Tc150724280 \h 6
\l "_Tc150724281" 题型02 与单项式有关的规律题 PAGEREF _Tc150724281 \h 7
\l "_Tc150724282" 题型03 判断多项式的项、项数、次数 PAGEREF _Tc150724282 \h 9
\l "_Tc150724283" 考点三 整式的运算 PAGEREF _Tc150724283 \h 10
\l "_Tc150724284" 题型01 判断同类项 PAGEREF _Tc150724284 \h 14
\l "_Tc150724285" 题型02 合并同类项 PAGEREF _Tc150724285 \h 15
\l "_Tc150724286" 题型03 添（去）括号 PAGEREF _Tc150724286 \h 15
\l "_Tc150724287" 题型04 整式的加减 PAGEREF _Tc150724287 \h 16
\l "_Tc150724288" 题型05 整式加减的应用 PAGEREF _Tc150724288 \h 18
\l "_Tc150724289" 题型06 幂的基本运算 PAGEREF _Tc150724289 \h 22
\l "_Tc150724290" 题型07 幂的逆向运算 PAGEREF _Tc150724290 \h 24
\l "_Tc150724291" 题型08 幂的混合运算 PAGEREF _Tc150724291 \h 26
\l "_Tc150724292" 题型09 整式的乘法 PAGEREF _Tc150724292 \h 27
\l "_Tc150724293" 题型10 整式的除法 PAGEREF _Tc150724293 \h 28
\l "_Tc150724294" 题型11 利用乘法公式计算 PAGEREF _Tc150724294 \h 29
\l "_Tc150724295" 题型12 通过对完全平方公式变形求值 PAGEREF _Tc150724295 \h 30
\l "_Tc150724296" 题型13 乘法公式的几何验证 PAGEREF _Tc150724296 \h 32
\l "_Tc150724297" 考点四 整式化简求值（高频考点） PAGEREF _Tc150724297 \h 36
\l "_Tc150724298" 题型01 整式化简-直接代入法 PAGEREF _Tc150724298 \h 37
\l "_Tc150724299" 题型02 整式化简-间接代入法 PAGEREF _Tc150724299 \h 37
\l "_Tc150724300" 题型03 整式化简-整体代入法 PAGEREF _Tc150724300 \h 38
\l "_Tc150724301" 题型04 整式化简-赋值法 PAGEREF _Tc150724301 \h 39
\l "_Tc150724302" 题型05 整式化简-隐含条件求值 PAGEREF _Tc150724302 \h 41
\l "_Tc150724303" 题型06 整式化简-利用“无关”求值 PAGEREF _Tc150724303 \h 42
\l "_Tc150724304" 题型07 整式化简-配方法 PAGEREF _Tc150724304 \h 44
\l "_Tc150724305" 题型08 整式化简-平方法 PAGEREF _Tc150724305 \h 44
\l "_Tc150724306" 题型09 整式化简-特殊值法 PAGEREF _Tc150724306 \h 45
\l "_Tc150724307" 题型10 整式化简-设参法 PAGEREF _Tc150724307 \h 46
\l "_Tc150724308" 题型11 整式化简-利用根与系数关系求值 PAGEREF _Tc150724308 \h 46
\l "_Tc150724309" 题型12 整式化简-消元法求值 PAGEREF _Tc150724309 \h 47
\l "_Tc150724310" 题型13 整式化简-倒数法求值 PAGEREF _Tc150724310 \h 48
\l "_Tc150724311" 考点五 因式分解 PAGEREF _Tc150724311 \h 49
\l "_Tc150724312" 题型01 判断因式分解 PAGEREF _Tc150724312 \h 50
\l "_Tc150724313" 题型02 选用合适的方法因式分解 PAGEREF _Tc150724313 \h 50
\l "_Tc150724314" 题型03 与因式分解有关的探究题 PAGEREF _Tc150724314 \h 52
考点一 代数式的相关概念
代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
1. 代数式中不含有=、<、>、≠等.
2. 单独的一个数或一个字母也是代数式.
3. 列代数式时注意事项：
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
题型01 列代数式
【例1】（2023吉林长春中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【答案】（7.5-10x） QUOTE 7.5−10x
【提示】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为7.5−10x．
故答案为：7.5−10x．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
【变式1-1】（2023江苏中考真题）若圆柱的底面半径和高均为 QUOTE a a，则它的体积是 （用含 QUOTE a a的代数式表示）．
【答案】πa3
【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，可得
V=πa2a=πa3．
故答案为：πa3．
【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．
题型02 代数式的实际意义
【例2】（2023河北中考真题）代数式 QUOTE −7x -7x的意义可以是（ ）
A． -7与x的和B．-7与x的差C．-7与x的积D．-7与x的商
【答案】C
【提示】根据代数式赋予实际意义即可解答．
【详解】解：−7x的意义可以是-7与x的积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键．
【变式2-1】（2020·内蒙古通辽·中考真题）下列说法不正确的是( )
A． QUOTE 2a 2a是2个数a的和B． QUOTE 2a 2a是2和数a的积
C． QUOTE 2a 2a是单项式D． QUOTE 2a 2a是偶数
【答案】D
【提示】根据2a的意义，分别判断各项即可.
【详解】解：A、2a=a+a，是2个数a的和，故选项正确；
B、2a=2×a，是2和数a的积，故选项正确；
C、2a是单项式，故选项正确；
D、当a为无理数时，2a是无理数，不是偶数，故选项错误；
故选D.
【点睛】本题考查了代数式的意义，注意a不一定为整数是解题的关键.
考点二 整式的相关概念
1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算.
2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3.
3.圆周率 SKIPIF 1 < 0 π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母.
4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而不是14.
5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算.
6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数.
7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式.
题型01 判断单项式的系数、次数
【例1】（2023·江西·统考中考真题）单项式 QUOTE −5ab −5ab的系数为 ．
【答案】−5
【提示】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．
【详解】解：单项式−5ab的系数是−5．
故答案是：−5．
【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．
【变式1-1】（2023·广东·模拟预测）单项式−πxy32的系数是 ．
【答案】−π2
【提示】根据单项式系数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式中的数字因数即系数，
∴单项式−πxy32的系数是−π2 ．
故答案为：−π2．
【点睛】本题考查了单项式系数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
【变式1-2】（2023·广东·统考模拟预测）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．−2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3
【答案】D
【详解】试题提示：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．
A．−2xy2系数是﹣2，错误；
B．3x2系数是3，错误；
C．2xy3次数是4，错误；
D．2x3符合系数是2，次数是3，正确；
故选D．
题型02 与单项式有关的规律题
【例2】（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（ ）
A．nB．C．D．
【答案】C
【提示】根据单项式的规律可得，系数为n，字母为a，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
【变式2-1】（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．(2n-1)xnB．(2n+1)xnC．(n-1)xnD．(n+1)xn
【答案】A
【提示】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．
【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，
故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．
【变式2-2】（2022·云南昆明·统考三模）按一定规律排列的代数式：2，−4x2，8x4，−16x6，32x8，……，第n个单项式是（ ）
A．−1n2nx2n−2B．−1n−12nx2n−2C．−1n−12nx2nD．−1n−12nx2n−2
【答案】B
【提示】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：∵2=21x2−2，
∴按一定规律排列的代数式为：21x2−2，−22x2×2−2，23x2×3−2，−24x2×4−2，25x2×5−2，…，
∴第n个单项式是(-1)n-12nx2n−2，
故选：B．
【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．
【变式2-3】（2022·云南昆明·昆明市一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，，11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2B．17a8b4C．15a7b14D．152a14b2
【答案】A
【提示】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中a的指数偶数，b的指数不变，
所以第8个单项式是：17a14b2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．
【变式2-4】（2022·云南文山·统考二模）一组按规律排列的单项式：−4x，7x2，，13x4，−16x5，…，根据其中的规律，第12个单项式是（ ）
A．−31x12B．34x12C．37x12D．−40x11
【答案】C
【提示】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为负号，n为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是3n+1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．
【详解】解：根据提示的规律，得
第12个单项式是(3×12+1)x12=37x12．故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关 通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
键．
题型03 判断多项式的项、项数、次数
【例3】（2023·广东茂名·一模）多项式a3+2ab+a−3的次数和常数项分别是( )
A．6，3B．6，−3C．3，−3D．3，3
【答案】C
【提示】根据多项式的相关概念即可求解，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【详解】解：多项式a3+2ab+a−3的次数和常数项分别是3，−3
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2023·江西赣州市模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．2πmn的系数是2πB．−82ab2的次数是5次
C．xy3+3x2y−4的常数项为4D．11x2−6x+5是三次三项式
【答案】A
【提示】根据单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义可解决此题．
【详解】解：A、2πmn的系数是2π，故选项正确；
B、−82ab2的次数是3次，故选项错误；
C、xy3+3x2y−4的常数项为-4，故选项错误；
D、11x2−6x+5是二次三项式，故选项错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义，熟练掌握单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义是解决本题的关键．
【变式3-2】（2023·广东茂名·校考一模）多项式ab−13πa2b+3最高次项的系数是 ，次数是 ．
【答案】 ﹣13π 3
【提示】先找到此多项式的最高次项，再根据单项式的系数与次数的定义求解．
【详解】解：多项式最高次项是﹣πa2b，
所以最高次项的系数是﹣π，次数是3．
故答案为：﹣π，3．
【点睛】本题考查了同学们对多项式的有关定义的理解．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
考点三 整式的运算
1.所有常数项都是同类项.
2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项.
“两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可.
“两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.
“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变.
3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式.
4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”．
2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆．
3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系．
4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意.
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
完全平方公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
2. 常见验证完全平方公式的几何图形
结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
平方差公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
2. 常见验证平方差公式的几何图形
结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
题型01 判断同类项
【例1】（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2bB．−2ab2C．abD．
【答案】B
【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与ab2是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
【变式1-1】（2023·浙江绍兴·一模）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ）
A．7a2b和3ab2B．37x2y和−2x2yC．x2yz和x2yD．3x2和3y2
【答案】B
【提示】根据同类项的定义：几个单项式的字母和字母的指数均相同，进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类项，不符合题意；
B、是同类项，符合题意；
C、不是同类项，不符合题意；
D、不是同类项，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查同类项的识别．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键．
题型02 合并同类项
【例2】（2023·四川自贡·中考真题）计算： ．
【答案】3a2
【提示】直接合并同类项即可求解．
【详解】解：7a2−4a2=3a2．
故答案为：3a2．
【点睛】此题主要考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式2-1】（2022·山东淄博·中考真题）计算的结果是（ ）
A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b2
【答案】C
【提示】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【详解】解：原式，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则．
题型03 添（去）括号
【例3】（2023·河北衡水·校考模拟预测）关于−a−b进行的变形或运算：
①−a−b=−a+b；②−a−b2=a+b2；③−a−b=a−b；④−a−b3=−a−b3．
其中不正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【提示】根据去括号法则进行变形即可．
【详解】解：①−a−b=−a+b，变形正确；
②−a−b2=−a+b2=a+b2，变形正确；
③−a−b=−a+b=a+b=a+ba+b≥0,−a−ba+b<0，原变形不正确；
④−a−b3=−a+b3=−a+b3，原变形不正确；
∴①②正确，③④错误，
故选B．
【点睛】此题主要考查了整式的变形，熟练掌握去括号法则是解答此题的关键．
【变式3-1】（2022·河北邯郸·校联考三模）等号左右两边一定相等的一组是（ ）
A．−a+b=−a+bB．a3=a+a+a
C．−2a+b=−2a−2bD．−a−b=−a−b
【答案】C
【提示】利用去括号法则与正整数幂的概念判断即可．
【详解】解：对于A，−(a+b)=−a−b，A错误，不符合题意；
对于B，a3=a⋅a⋅a，B错误，不符合题意；
对于C，−2(a+b)=−2a−2b，C正确，符合题意；
对于D，−(a−b)=−a+b，D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号法则，以及正整数幂的概念，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．
题型04 整式的加减
【例4】（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝abB．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2bD．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【答案】A
【详解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可．
【变式4-1】（2022·浙江杭州·校考二模）化简（2a﹣b）﹣（2a+b）的结果为（ ）
A．2bB．﹣2bC．4aD．-4a
【答案】B
【提示】先去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：（2a﹣b）﹣（2a+b）
＝2a﹣b﹣2a﹣b
＝﹣2b．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项，熟练掌握去括号法则是解题的关键．
【变式4-2】（2023·浙江金华·一模）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两个关于x的二项式．
(1)二项式A为________，二项式B为________．
(2)当x为何值时，A与B的值相等？
【答案】(1)2x−3；3x+5
(2)x=−8
【提示】（1）根据题意添括号，即可求解；
（2）根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵2A−3B =4x−6−9x−15
=22x−3−33x+5
∴A=2x−3,B=3x+5
故答案为：2x−3,3x+5．
（2）解：依题意，2x−3=3x+5，
解得：x=−8．
【点睛】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
【变式4-3】（2022·河北保定·一模）已知：整式A=(2x−3)+(3x+5)．
(1)化简整式A；
(2)若2A+B=5x+6，
①求整式B；
②在“”的“□”内，填入“+，−，×，÷”中的一个运算符号，经过计算发现，结果是不含一次项的整式，请你写出一个符合要求的算式，并计算出结果．
【答案】(1)A=5x+2
(2)①−5x+2；②A+B=4或者A·B=4−25x2（答案不唯一）
【提示】（1）把整式A去括号，合并同类项即可；
（2）①由题意得出B=5x+6−2A，把整式A=5x+2代入，去括号，合并同类项即可；
②经计算A+B和AB都符合题意．
【详解】（1）A=2x−3+3x+5=2x−3+3x+5=5x+2∴A=5x+2．
（2）①∵2A+B=5x+6∴B=5x+6−2A=5x+6−2(5x+2)=5x+6−10x−4=−5x+2
∴B=−5x+2．
②A+B=(5x+2)+(−5x+2)=4
（或A·B=5x+2−5x+2=4−25x2）．
【点睛】本题考查的是整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解本题的关键．

整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；
②不能出现带分数，带分数要化成假分数.
涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换.
题型05 整式加减的应用
【例5】（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上3xy+2y2−8，结果得2xy+3y2−5，则这个多项式为 ．
【答案】y2−xy+3
【提示】设这个多项式为A，由题意得：A+(3xy+2y2−8)=2xy+3y2−5，求解即可．
【详解】设这个多项式为A，由题意得：A+(3xy+2y2−8)=2xy+3y2−5，
∴A=(2xy+3y2−5)−(3xy+2y2−8)=2xy+3y2−5−3xy−2y2+8=y2−xy+3，
故答案为：y2−xy+3．
【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
【变式5-1】（2023·湖南长沙·校考三模）已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推事得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（ ）
A．aB．bC．mD．n
【答案】D
【提示】先用含a、b、m、n的代数式表示出阴影矩形的长宽，再求阴影矩形的周长和即可．
【详解】解：如图，由图和已知条件可知：AB＝a，EF＝b，AC＝n﹣b，GE＝n﹣a．
阴影部分的周长为：2（AB+AC）+2（GE+EF）
＝2（a+n﹣b）+2（n﹣a+b）
＝2a+2n﹣2b+2n﹣2a+2b
＝4n．
∴求图中阴影部分的周长之和，只需知道n一个量即可．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，能用含a、b、m、n的代数式表示出阴影矩形的长宽是解决本题的关键．
【变式5-2】（2023·河北邯郸·二模）如图，两个三角形的面积分别是6和4，对应阴影部分的面积分别是m和n，则m﹣n等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【提示】设重合的空白部分面积为a，由题意知m+a=6n+a=4，两式相减求解即可．
【详解】解：设重合的空白部分面积为a
则由题意可知m+a=6n+a=4
两式相减得m−n=2
故选A．
【点睛】本题考查了求代数式的值．解题的关键在于根据三角形的面积列等式．
【变式5-3】（2023·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m= ．
【答案】39
【提示】设第一列中间的数为x，则三个数之和为16+4+x=20+x，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案．
【详解】解：如图，设第一列中间的数为x，则三个数之和为16+4+x=20+x，可得：
∴m=16+13+10=39，
故答案为：39
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键．
【变式5-4】（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ．
【答案】5
【提示】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=13c，c=35d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，则b=13c，
∴d=2b+c=53c，则c=35d，
∴4d+65d =26，
∴d=5，
∴正方形d的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
【变式5-5】（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)a+3
(2)36
【提示】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边=12×2a=a，
较长的直角边=2a+3，
∴小正方形的边长=2a+3−a=a+3；
（2）解：S小正方形=(a+3)2=a2+6a+9，
当a=3时，S小正方形=(3+3)2=36．
【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
【变式5-6】（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）三角形的一边长为2a+b，第二边比第一边长a+2b，第三边长为3a+3b．
(1)用代数式表示三角形的周长；
(2)当a=3，b=2时，求三角形的周长．
【答案】(1)
(2)38
【提示】（1）先求出第二边长，再利用三角形的周长公式列式计算即可得；
（2）将a=3，b=2代入计算即可得．
【详解】（1）解：由题意得：第二边长为，
则三角形的周长为；
（2）当a=3，b=2时，
三角形的周长为．
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题关键．
题型06 幂的基本运算
【例6】（2023·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a4=a8B．a4⋅a4=a16C．a44=a16D．
【答案】C
【提示】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项提示判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. a4⋅a4=a8，故该选项不正确，不符合题意；
C. a44=a16，故该选项正确，符合题意；
D. a8÷a4=a4，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键．
【变式6-1】（2023·湖北武汉·中考真题）计算2a23的结果是（ ）
A．B．C．D．8a6
【答案】D
【提示】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：2a23=23a23=8a6，
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．
【变式6-2】（2023·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．(−pq)3=p3q3B．x⋅x3+x2⋅x2=x8
C．25=±5D．a23=a6
【答案】D
【提示】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解．
【详解】解：A. (−pq)3=−p3q3，故该选项不正确，不符合题意；
B. x⋅x3+x2⋅x2=2x4，故该选项不正确，不符合题意；
C. 25=5，故该选项不正确，不符合题意；
D. a23=a6，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
【变式6-3】（2023·湖南·中考真题）计算12x32的结果正确的是（ ）
A．x6B．14x6C．D．
【答案】B
【提示】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．
【详解】解：12x32=122x32=14x6，
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键．
【变式6-4】（2023·江苏泰州·中考真题）若a≠0，下列计算正确的是（ ）
A．(−a)0=1B．a6÷a3=a2C．a−1=−aD．
【答案】A
【提示】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．a6÷a3=a3，故此选项不合题意；
C．a−1=1a，故此选项不合题意；
D．a6与a3无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式6-5】（2023·内蒙古·中考真题）下列各式计算结果为a5的是（ ）
A．a32B．a10÷a2C．D．
【答案】C
【提示】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则即可判断．
【详解】解：A、a32=a6，不符合题意；
B、a10÷a2=a8，不符合题意；
C、a4⋅a=a5，符合题意；
D、(−1)−1a5=−a5，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型07 幂的逆向运算
【例7】（2023·四川德阳·中考真题）已知3x=y，则3x+1=（ ）
A．yB．1+yC．3+yD．3y
【答案】D
【提示】利用同底数幂的乘法的逆运算可得3x+1=3x×3，再代入计算即可．
【详解】解：∵3x=y，
∴3x+1=3x×3=3y，
故选D
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“am+n=aman”是解本题的关键．
【变式7-1】（2023·江苏镇江·中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2x+2y)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（ ）

A．128B．64C．32D．16
【答案】A
【提示】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出2x，2y ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有(29−2x+2y)个球，29+2x−2x−2y=29−2y，乙袋中有(29−2y)个球，5+2x+2y−2y=5+2x，丙袋中有(5+2x)个球．
∵一共有29+29+5=63（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有63÷3=21（个）球，
∴5+2x=21，29−2y=21，
∴2x=16，2y=8，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
【变式7-2】（2023·湖南湘潭·模拟预测）若3m=4，9n=7，则3m−2n= ．
【答案】
【提示】逆运用同底数幂的除法法则，先把3m−2n写成3m÷32n的形式，再利用幂的乘方法则把32n写成9n|的形式后代入求值．
【详解】解：3m−2n=3m÷32n=3m÷32n=3m÷9n，
∵3m=4,9n=7，
∴3m−2n=47，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．
【变式7-3】（2023·河北·模拟预测）若43x=2021,47y=2021，则代数式xy与x+y之间关系是 ．
【答案】xy=x+y
【提示】由条件可得(43x)y=2021y,(47y)x=2021x,可得43xy⋅47xy=(43x)y×(47y)x=2021y×2021x=2021x+y,而43xy×47xy=43×47xy=2021xy,从而可得答案．
【详解】解：∵43x=2021,47y=2021，
∴(43x)y=2021y,(47y)x=2021x,
∴43xy⋅47xy=(43x)y×(47y)x=2021y×2021x=2021x+y,
而43xy×47xy=43×47xy=2021xy,
∴2021xy=2021x+y,
∴xy=x+y.
故答案为：xy=x+y.
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键．
【变式7-4】（2023·河南焦作·一模）已知2x=8，则2x−3的值为 ．
【答案】1
【提示】先逆用同底数幂相除，再将2x=8整体代入即可求解．
【详解】∵2x=8，
∴2x−3=2x÷23=8÷8=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆用，掌握同底数幂相除的运算法则是解答本题的关键．
题型08 幂的混合运算
【例8】（2023·浙江温州·中考真题）化简a4⋅(−a)3的结果是（ ）
A．a12B．C．D．−a7
【答案】D
【提示】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：a4⋅(−a)3=a4×−a3=−a7，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
【变式8-1】（2023·湖南常德·校考一模）计算：x23⋅x−3=（ ）
A．B．x3C．D．−x18
【答案】B
【提示】根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】解：x2×3−3=x3
故选B
【点睛】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方、同底数幂的乘法是解题的关键．
【变式8-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）a32÷a⋅a3+a2= ．
【答案】2a2
【提示】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可．
【详解】解：a32÷a⋅a3+a2=a6÷a2+a2=a2+a2=2a2故答案为：2a2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．

幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘.
题型09 整式的乘法
【例9】（2023·陕西·中考真题）计算：（ ）
A．3x4y5B．−3x4y5C．3x3y6D．−3x3y6
【答案】B
【提示】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【详解】解：6xy2⋅−12x3y3=6×−12x1+3y2+3=−3x4y5．故选：B．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式9-1】（2022·陕西西安·校考三模）计算：（3m﹣1）（m+5）．
【答案】3m2+14m−5
【提示】根据多项式与多项式相乘的法则计算．
【详解】解：原式=3m2+15m−m−5
=3m2+14m−5．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
【变式9-2】（2022·重庆·校联考一模）计算题
(1)3ab2−2ab⋅ab
(2)x−2yx2−xy+4y2
【答案】(1)3a2b3−2a2b2
(2)x3−3x2y+6xy2−8y3
【提示】（1）把多项式的每一项与单项式相乘，再合并即可求解；
（2）先用第一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再合并即可求解．
【详解】（1）3ab2−2ab⋅ab=3a2b3−2a2b2
（2）x−2yx2−xy+4y2
=x3−x2y+4xy2−2x2y+2xy2−8y3
=x3−3x2y+6xy2−8y3．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则是解题的
当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率.
关键．
题型10 整式的除法
【例10】（2023·江苏扬州·中考真题）若，则括号内应填的单项式是( )
A．aB．2aC．abD．2ab
【答案】A
【提示】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．
【详解】解：∵()⋅2a2b=2a3b，
∴（ ）=2a3b÷2a2b=a．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．
【变式10-1】（2023·山东青岛·中考真题）计算：8x3y÷2x2= ．
【答案】2xy
【提示】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：原式=8x3y÷4x2，故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【变式10-2】（2023·北京·模拟预测）计算：4x4−x3+23x2÷−2x2．
【答案】−2x2+12x−13
【提示】根据多项式除以单项式法则进行运算，即可求解．
【详解】解：4x4−x3+23x2÷−2x2=−2x2+12x−13
【点睛】本题考查了多项式除以单项式法则，熟练掌握和运用多项式除以单项式法则是解决本题的关键．
【变式10-3】（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．
【答案】A=m+6，解答过程补充完整为m2−6
【提示】利用m2+6m除以m可得A，再根据合并同类项法则补充解答过程即可．
【详解】解：观察第一步可知，A=m2+6m÷m，解得A=m+6，
将该例题的解答过程补充完整如下：m(m+6)−6(m+1)=m2+6m−6m−6=m2−6，故答案为：m2−6．
【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
题型11 利用乘法公式计算
【例11】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：x+2yx−2y−y3−4y．
【答案】x2−3y
【提示】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．
【详解】解：x+2yx−2y−y3−4y=x2−4y2−3y+4y2=x2−3y．
【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式11-1】（2023·青海西宁·中考真题）计算：(2a−3)2−(a+5)(a−5)．
【答案】3a2−12a+34
【提示】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；
【详解】解：原式=4a2−12a+9−a2−25
=4a2−12a+9−a2+25
=3a2−12a+34.
【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键．
【变式11-2】（2023·天津·中考真题）计算的结果为 ．
【答案】1
【提示】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：7+67−6=(7)2−(6)2=7−6=1
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式11-3】（2023·江西·中考真题）计算：（a+1）2﹣a2= ．
【答案】2a+1
【详解】【提示】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．
【详解】（a+1）2﹣a2
=a2+2a+1﹣a2
=2a+1，
故答案为2a+1.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.

1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
题型12 通过对完全平方公式变形求值
【例12】（2022·山东滨州·中考真题）若m+n=10，mn=5，则的值为 ．
【答案】90
【提示】将变形得到m+n2−2mn，再把m+n=10，mn=5代入进行计算求解．
【详解】解：∵m+n=10，mn=5，
∴



=90．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．
【变式12-1】（2022·四川德阳·中考真题）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= ．
【答案】4
【提示】根据完全平方公式的运算即可.
【详解】∵x+y2=25，x−y2=9
∵x+y2+x−y2=4xy =16，
∴xy =4.
【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.
【变式12-2】（2023·广东云浮·一模）若a+b=3，，则ab等于（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
【答案】B
【详解】∵a+b=3，
∴（a+b）2=9
∴a2+2ab+b2=9
∵a2+b2=7
∴7+2ab=9，7+2ab=9
∴ab=1．
故选B．
【变式12-3】（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+1x＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣1x）2；(2)x4+1x4．
【答案】(1)5
(2)47
【提示】（1）由(x+1x)2＝、＝，进而得到(x+1x)2﹣4x•1x即可解答；
（2）由＝x2−2+1x2可得x2+1x2=7，又＝，进而得到x4+1x4＝﹣2即可解答．
【详解】（1）解：∵(x+1x)2＝
∴＝
＝
＝(x+1x)2﹣4x•1x
＝32﹣4
＝5．
（2）解：∵＝x2−2+1x2，
∴x2+1x2
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴x4+1x4
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题
乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形.
的关键．
题型13 乘法公式的几何验证
【例13】（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①a+b2=a2+2ab+b2 ②a−b2=a2−2ab+b2

③ ④(a−b)2=(a+b)2−4ab
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【提示】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
【变式13-1】（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．
(1)用含a，M的代数式表示A中能使用的面积___________；
(2)若，a−b=5，求A比B多出的使用面积．
【答案】(1)a2−M
(2)50
【提示】（1）利用正方形秧田A的面积减去不能使用的面积M即可得；
（2）先求出B中能使用的面积为b2−M，再求出A比B多出的使用面积为a2−b2，利用平方差公式求解即可得．
【详解】（1）解：A中能使用的面积为a2−M，
故答案为：a2−M．
（2）解：B中能使用的面积为b2−M，
则A比B多出的使用面积为a2−M−(b2−M)=a2−b2，
∵a+b=10，a−b=5，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=10×5=50，
答：A比B多出的使用面积为50．
【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．
【变式13-2】（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：a+b+cd=ad+bd+cd
公式②：a+bc+d=ac+ad+bc+bd
公式③：a−b2=a2−2ab+b2
公式④：a+b2=a2+2ab+b2
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式a+ba−b=a2−b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为．
①若E为边AC的中点，则S1S2的值为_______；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①，②，④，③
(2)证明见解析
(3)①2
②结论仍成立，理由见解析
【提示】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；
（2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明；
（3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可．
【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，
∴S矩形AKLC=S矩形DBFG=aa−b，
∵S矩形AKHD=S矩形AKLC+S矩形CLHD，
∴S矩形AKHD=S矩形DBFG+S矩形CLHD=S正方形BCEF−S正方形LEGH=a2−b2，
又∵S矩形AKHD=a+ba−b，
∴a+ba−b=a2−b2；
（3）解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，
设BD=a，
∴AD=BD=a，AH=HE=DG=12a，EG=CG=12a，FG=BG=32a，
∴S1=S△BFG+S△CEG=12×(32a)2+12×12a2=54a2，
S2=S△ABD+S△AEH=12a2+12×12a2=58a2，
∴S1S2=2；
故答案为：2；
②成立，证明如下：
由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
设BD=a，DG=b，
∴AD=BD=a，AH=HE=DG=b，EG=CG=a−b，FG=BG=a+b，
∴S1=S△BFG+S△CEG=12(a+b)2+12a−b2=a2+b2，
S2=S△ABD+S△AEH=12a2+12b2=12a2+b2，
∴S1S2=2仍成立．
【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键．

思路：利用求面积的两种方法（公式法与补割法），列式（公式法求面积=补割法求面积），化简求解.
考点四 整式化简求值（高频考点）
1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.
③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．
例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0
②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
6.利用“无关”求值：
①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；
②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．
8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号．
9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．
10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母．
13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．
题型01 整式化简-直接代入法
【例1】（2022·广西梧州·中考真题）若x=1，则3x−2= ．
【答案】1
【提示】将x=1代入代数式求解即可．
【详解】解：∵x=1，
∴3x−2=3×1−2=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算．
【变式1-1】已知a是最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c在数轴上对应的点到原点的距离是6，求的值．
【答案】7或−5
【分析】先根据最小正整数、绝对值最小的有理数以及到原点的距离可确定a、b、c的值，然后代入计算即可．
【详解】解：因为a是最小的正整数，所以a=1；
因为b是绝对值最小的有理数，
所以b=0；
因为c到原点的距离是6，
所以c=±6；
当c=6时，a−b+c=7；
当c=−6时，．
【点睛】本题主要考查了有理数的相关概念、代数式求值等知识点，牢记最小正整数是1、绝对值最小的数是0及绝对值的意义成为解答本题的关键．
题型02 整式化简-间接代入法
【例2】（2022·山东济宁·中考真题）已知a=2+5，b=2−5，求代数式a2b+ab2 的值．
【答案】－4
【提示】先将代数式因式分解，再代入求值．
【详解】=(2+5)(2−5)(2+5+2−5)=−1×4=−4.
故代数式的值为−4．
【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．
【变式2-1】（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中a=−3,b=13．
【答案】，24
【提示】先展开，合并同类项，后代入计算即可．
【详解】=a2−9b2+a2−6ab+9b2
当a=−3,b=13时，原式=2×−32−6×−3×13=24．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
【变式2-2】（2021·广西河池·中考真题）先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1)，其中x=2021．
【答案】x+1，2022
【提示】观察式子，先因式分解，再化简，最后代入字母的值求解即可
【详解】(x+1)2−x(x+1)=(x+1)(x+1−x)=x+1
当x=2021时，
原式=2021+1=2022
【点睛】本题考查了整式的化简求值，因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
题型03 整式化简-整体代入法
【例3】（2023·山东枣庄·中考真题）若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b的值为 ．
【答案】2019
【提示】将x=3代入方程，得到3a−b=2，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，
∴a⋅32−3b=6，即：3a−b=2，
∴2023−6a+2b=2023−23a−b=2023−2×2=2023−4；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
【变式3-1】（2023·湖北十堰·中考真题）若x+y=3，y=2，则x2y+xy2的值是 ．
【答案】6
【提示】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：x2y+xy2=xyx+y，
∵x+y=3，y=2，
∴x=1，
∴原式=1×2×3=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．
【变式3-2】（2023·四川成都·中考真题）若3ab−3b2−2=0，则代数式1−2ab−b2a2÷a−ba2b，的值为 ．
【答案】
【提示】根据分式的化简法则，将代数式化简可得ab−b2，再将3ab−3b2−2=0变形，即可得到答案．
【详解】解：1−2ab−b2a2÷a−ba2b，
=a2−2ab+b2a2×a2ba−b，
=a−b2a2×a2ba−b，
=ab−b2，
∵3ab−3b2−2=0，
∴3ab−3b2=2，
∴ab−b2=23，
故原式的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
【变式3-3】（2023·四川凉山·中考真题）已知x2−2x−1=0，则的值等于 ．
【答案】2023
【提示】把x2−2x−1=0化为：代入降次，再把x2−2x=1代入求值即可．
【详解】解：由x2−2x−1=0得：，x2−2x=1，
=3x2x+1−10x2+5x+2027=6x2+3x−10x2+5x+2027=−4x2+8x+2027=−4x2−2x+2027=−4×1+2027=2023，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．
题型04 整式化简-赋值法
【例4】（2023·广东江门·一模）化简：，若x是−1≤x≤2的整数，请选择一个合适的数求代数式的值．
【答案】xx+1，当x=2时，原式=23
【提示】根据分式混合运算的法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出x的值，代入计算即可．
【详解】=x2xx−1−1xx−1×x2x2+2x+1=x2−1xx−1×x2x2+2x+1=x+1x−1xx−1×x2x+12=xx+1
∵x是−1≤x≤2的整数，且x≠0,±1，
∴，
则原式=xx+1=22+1=23．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和法则进行化简，而根据分式有意义的条件选择x的值是易错点．
【变式4-1】（2022·江苏苏州·校考模拟预测）先化简，再求值：
（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣2．
（2）先化简（1+2x−3）÷，再从﹣1，0，1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】（1）﹣2ab，4；（2），当x＝0 时，原式＝﹣3，当x＝2 时，原式＝﹣．
【提示】（1）原式利用多项式除以单项式，平方差公式计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）原式＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2＝﹣2ab，
当a＝1，b＝﹣2时，
原式＝4；
（2）原式＝x−3+2x−3•(x−3)2(x+1)(x−1)
＝x−1x−3•(x−3)2(x+1)(x−1)
＝，
∵x的值从﹣1，0，1，2，3中选取，又要使原分式有意义，
∴x可取0，2，
∴当x＝0 时，原式＝﹣3，
当x＝2 时，原式＝﹣．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，整式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行运算.
题型05 整式化简-隐含条件求值
【例5】（2023·湖南衡阳·校联考二模）已知单项式2a4b−2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n= ．
【答案】3
【提示】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵单项式2a4b−2m+7与3a2mbn+2是同类项，
∴2m=4，n+2=-2m+7，
解得：m=2，n=1，
则m+n=2+1=3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点．
【变式5-1】（2022·四川绵阳·校联考一模）若多项式xy|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn= ．
【答案】0或8
【提示】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：∵多项式xy|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
∴n−2=0，1+|m−n|=3，
∴n=2，|m−n|=2，
∴m−n=2或n−m=2，
∴m=4或m=0，
∴mn=0或8．
故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
【变式5-2】若7的整数部分是a，的小数部分是b，求ab+5b的值．
【答案】143−21
【分析】先根据2<7<3得出a=2，再根据3<12<4，得出b=23−3，再代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵4<7<9，
∴4<7<9，
∴2<7<3，
7的整数部分是a，
∴a=2，
∵9<12<16，
∴9<12<16，
∴3<12<4，
∵的小数部分是b，
∴b=12−3=23−3，
∴ab+5b=2×23−3+523−3=143−21．
【点睛】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，根据题意计算得出a、b的值是解此题的关键．
【变式5-3】（2023·四川成都·一模）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则a+b= ．
【答案】0，2，4
【提示】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，
又∵|a−2022|≥0，
①当|a−2022|=0，b+2022=2时，
∴a=2022，b=−2018
∴a+b=2022−2018=4
②当|a−2022|=1，b+2022=1时，
∴a=2023或a=2021，b=−2021
∴a+b=2023−2021=2或a+b=2021−2021=0
③当|a−2022|=2，b+2022=0时，
∴a=2024或a=2020，b=−2022
∴a+b=2024−2022=2或a+b=2020−2022=2
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
题型06 整式化简-利用“无关”求值
【例6】若(x2+mx+n)(x2−3x+1)的展开式中不含和x3项，求：
(1)m、n 的值．
(2)求(m+n)(m2−mn+n2)的值．
【答案】(1)m=3，n=8
(2)539
【提示】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含和x3项，列方程求出m与n的值即可，
（2）把m与n的值代入m+nm2−mn+n2求值．
【详解】（1）(x2+mx+n)(x2−3x+1)=x4−3x3+x2+mx3−3mx2+mx+nx2−3nx+n=x4+m−3x3+n−3m+1x2+m−3nx+n
∵原式展开式中不含x3项和项，
∴m−3=0,n−3m+1=0
解得m=3，n=8．
（2）m+nm2−mn+n2=m3−m2n+mn2+m2n−mn2+n3=m3+n3
当m=3，n=8时，
原式=33+83=27+512=539
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出关于m、n的方程是解此题的关键．
【变式6-1】已知多项式M=x2+5x-a，N=-x+2，P=x3+3x2+5，且M·N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．
【答案】-10
【提示】先用x，a表示出M·N+P的值，然后根据“且M·N+P的值与x的取值无关”来确定a的取值．
【详解】M•N+P=（x2+5x-a）（-x+2）+（x3+3x2+5），
=-x3+2x2-5x2+10x+ax-2a+x3+3x2+5，
=（10+a）x-2a+5，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴10+a=0，即a=-10．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，合并同类项法则，“值与x的取值无关，就是x的系数等于0”，把握住题目的关键语是解题的关键．
【变式6-2】有这样一道题：计算13x2−3x2+3xy−35y2+83x2+3xy+25y2的值，其中x=−12，y=2．甲同学把“x=−12”错抄成了“x=12”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？
【答案】见解析．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
【详解】解：13x2−3x2+3xy−35y2+83x2+3xy+25y2
=13x2−3x2−3xy+35y2+83x2+3xy+25y2
=y2，
结果与x的取值无关，故甲同学把“x=−12”错抄成了“x=12”，但他计算的结果也是正确的．
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型07 整式化简-配方法
【例7】已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值．
【答案】7．
【详解】
解：因为a2+b2+2a-4b+5=0，
∴（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0,即（a+1）2+（b-2）2=0，
∴a+1=0且b-2=0，
∴a=-1且b=2，
∴原式=2×（-1）2+4×2-3=7．
【变式7-1】已知x2−2x+y2+8y+17=0，求(x+y)2的值．
【答案】9
【分析】利用配方法将x2−2x+y2+8y+17=0变为(x−1)2+(y+4)2=0，根据非负数的性质得到x=1,y=−4，最后求出答案．
【详解】解：∵x2−2x+y2+8y+17=0
∴(x2−2x+1)+(y2+8y+16)=0，
∴(x−1)2+(y+4)2=0
∴x−1=0,y+4=0，
∴x=1,y=−4，
∴(x+y)2=(1−4)2=9．
【点睛】本题考查了配方法的应用以及代数式求值，关键在于将已知方程的左侧进行正确的配方．
题型08 整式化简-平方法
【例8】（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）已知x+1x=6，则x2+1x2=（ ）
A．38B．36C．34D．32
【答案】C
【提示】把x+1x=6两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．
【详解】解：把x+1x=6两边平方得：（x+1x）2=x2+1x2+2=36，
则x2+1x2=34，
故选C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
【变式8-1】已知x+y=7且xy=12，则当x【答案】
【分析】利用分式的加减运算法则与完全平方公式把原式化为：(x+y)2−4xyx2y2，再整体代入求值，再利用平方根的含义可得答案.
【详解】解：因为x+y=7，xy=12，
所以1x−1y2=y−xxy2=(x−y)2x2y2
=(x+y)2−4xyx2y2=72−4×12122=1144，
又因为x0，
所以1x−1y=112，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键.
题型09 整式化简-特殊值法
【例9】若(2−x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则a0+a22−a1+a32的值为 ．
【答案】1
【分析】把x=1代入已知计算得到a0+a1+a2+a3=(2−1)3；把x=−1代入已知计算得到a0−a1+a2−a3=(2+1)3；再利用平方差公式即可求解．
【详解】解：由(2−x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，
若令x=1，则a0+a1+a2+a3=(2−1)3；
若令x=−1，则a0−a1+a2−a3=(2+1)3，
所以a0+a22−a1+a32=a0+a2+a1+a3a0+a2−a1−a3=(2−1)3(2+1)3=[(2−1)(2+1)]3=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了代数式求值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
【变式9-1】已知实数a，b满足a⋅b=1，那么1a2+1+1b2+1的值为（ ）
A．14B．12C．1D．2
【答案】C
【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．
【详解】方法一（平方法）：解：∵a•b=1，∴a2b2=ab2=1，∴=a2+b2+21+b2+a2+1=1．故选：C．
方法二（特殊值法）：解：∵a•b=1，所以令a=1，b=1，带入代数式中得原式=12+12=1
．故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值， 妥题的关键是利用a•b=1，把a•b=1代入通分的式子就可得到，分子分母相等的一个分式，所以可求出答案是1．
题型10 整式化简-设参法
【例10】（2023·广东湛江·校考一模）已知a2=b3=c4≠0,则a+bc的值为( )
A．45B．54C．2D．12
【答案】B
【详解】试题解析：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k．
所以a+bc=2k+3k4k=54，
故选B．
【变式10-1】（2023·上海·一模）已知ab=23，那么代数式b−aa+b的值是 ．
【答案】15/0.2
【提示】已知ab=23，则设a=2k，b=3k，把a和b的值代入代数式b−aa+b化简即可．
【详解】解：∵ab=23，
设a=2k，b=3kk≠0，
∴
故答案为：15．
【点睛】本题考查了比例的性质，根据已知设出a=2k，b=3k是解题的关键．
题型11 整式化简-利用根与系数关系求值
【例11】（2023·江西九江·校考一模）已知a，b是一元二次方程x2−2x−1=0的两个实数根，则a+b+ab的值为 ．
【答案】1
【提示】根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=−1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得a+b=2，ab=−1，
所以a+b+ab=2+−1=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根，则x1+x2=−ba,x1x2=ca．
【变式11-1】（2023·河北衡水·三模）已知x1，x2是关于x的方程的两实数根，且x1+x2=−2，x1⋅x2=1，则a的值为 ，ba的值是 ．
【答案】 2 14/0.25
【提示】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程的两实数根，
∴，x1⋅x2=−2b，
∵x1+x2=−2，x1⋅x2=1，
∴a=2,−2b=1，
即，
∴ba=−122=14．
故答案为：2；14
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，则x1+x2=−ba，是解题的关键．
【变式11-2】（2023·云南临沧·三模）已知一元二次方程x2−5x−6=0的两根分别为a，b，则1a+1b的值为（ ）
A．−16B．16C．56D．−56
【答案】D
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=5，ab=−6，然后对1a+1b变形后整体代入计算即可解答．
【详解】解：∵一元二次方程x2−5x−6=0的两根分别为a，b，
∴a+b=5，ab=−6，
∴1a+1b=a+bab=5−6=−56．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2，那么x1+x2=−ba，x1x2=ca．
题型12 整式化简-消元法求值
【例12】如果ab=2，则a2−ab+b2a2+b2= ( )
A．45B．1C．35D．2
【答案】C
【详解】由题意可知，a=2b，因此a2−ab+b2a2+b2=4b2−2b2+b24b2+b2=3b25b2=35，故选C
【变式12-1】若a+2b=9c，a−2b=5c，则2a2+3b2+7c2a2−4b2+9c2= ．
【答案】2
【分析】结合题意，通过求解二元一次方程组，分别的a、b和c的关系式；再通过分式性质运算，即可得到答案．
【详解】∵a+2b=9ca−2b=5c，∴a=7cb=c∴2(7c)2+3c2+7c2(7c)2−4c2+9c2=108c254c2=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、合并同类项、分式、代数式的性质，从而完成求解．
题型13 整式化简-倒数法求值
【例13】若22y2+3y+7的值为14，则14y2+6y−1的值为( )．
A．1B．－1C．-17D．15
【答案】A
【详解】解:设3x2+4x=y ，∵ 的值为14 , ∴2y+7=14,计算得出y=1, ∴16x2+8x−1=11×2−1=1.所以A选项是正确的.
点睛：本题主要考查了计算分式的值，设3x2+4x=y是解题关键，注意整体代入思想的运用.
【变式13-1】已知xx2+1=13，求x2x4+1的值．
【答案】17
【分析】由xx2+1=13可得x≠0，再取倒数可得：x2+1x=3，即x+1x=3，再求解原代数式的倒数x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2,从而可得答案.
【详解】解：由xx2+1=13知x≠0，
所以x2+1x=3，即x+1x=3．
所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7．
故x2x4+1的值为17．
【点睛】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握x2+1x2=x+1x2−2是解题的关键.
考点五 因式分解
1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.
4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
题型01 判断因式分解
【例1】（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．(a+3)2=a2+6a+9B．a2−4a+4=aa−4+4
C．D．
【答案】C
【提示】根据因式分解的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、(a+3)2=a2+6a+9，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、a2−4a+4=aa−4+4，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、因为a−2a+4=a2+2a−8≠a2−2a−8，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
【变式1-1】（2022·湖南永州·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay=ax+y+1B．3a+3b=3a+b
C．a2+4a+4=a+42D．a2+b=aa+b
【答案】B
【提示】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．
【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误；
B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确；
C、a2+4a+4=a+22，选项计算错误；
D、a2+b不能进行因式分解，选项计算错误；
故选：B．
【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
题型02 选用合适的方法因式分解
【例2】（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【答案】B
【提示】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：
=(2k+3+2k)(2k+3−2k)
=3(4k+3)，
3(4k+3)能被3整除，
∴的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a2−b2=(a−b)(a+b)通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．
【变式2-1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：x2+xy−xz−yz= ．
【答案】
【提示】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：x2+xy−xz−yz=xx+y−zx+y=x+yx−z，
故答案为：x+yx−z．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式2-2】（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解：xy−1+41−y= ．
【答案】(y−1)(x−4)
【提示】将整式变形含有公因式(y−1)，提取即可．
【详解】解：=x(y−1)−4(y−1)
故答案为：(y−1)(x−4)．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．
【变式2-3】（2022·四川内江·中考真题）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【提示】首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．
【详解】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．
【变式2-4】（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）因式分解：4x2−y2+2y−1= ．
【答案】(2x+y−1)(2x−y+1)
【提示】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可.
【详解】解：4x2−y2+2y−1=4x2−y2−2y+1=4x2−y−12=(2x+y−1)(2x−y+1)
故答案为：(2x+y−1)(2x−y+1)
【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键.

因式分解的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法．因式分解的一般步骤：
题型03 与因式分解有关的探究题
【例3】（2023·河北石家庄·二模）嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下提示：
(1)通过计算验证258能否被3整除；
(2)用嘉淇的方法证明4374能被3整除；
(3)设abcd是一个四位数．a，b，c，d分别为对应数位上的数字，请论证“若a+b+c+d能被3整除，则这个数可以被3整除”．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【提示】（1）根据整数的除法计算即可；
（2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论；
（3）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论．
【详解】（1）解：∵258÷3=86
∴258能被3整除；
（2）4374=4×1000+3×100+7×10+4=4×999+1+3×99+1+7×9+1+4=4×999+4+3×99+3+7×9+7+4=4×999+3×99+7×9+4+3+7+4=3×4×333+3×33+7×3+3×6
∵4×333+3×33+7×3为整数，6为整数，
∴3×4×333+3×33+7×3能被3整除，3×6能被3整除，
∴4374能被3整除．
（3）证明：abcd=1000a+100b+10c+d=999+1a+99+1b+9+1c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d
=3333a+33b+3c+a+b+c+d，
∵3333a+33b+3c能被3整除，
∴若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；
【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键．
【变式3-1】（2023·河北衡水·二模）发现两个相邻奇数中，较大奇数与较小奇数的平方差一定是8的倍数．
验证计算52−32的值，并求这个值是8的几倍．
探究设“发现”中较小的奇数为2n+1,请论证“发现”中的结论正确．
【答案】2；见解析
【提示】求出52−32=16=2×8,即可得出结果．
设“发现”中较小的奇数为2n+1,则最大的数为2n+3,n为正整数，由平方差公式得出2n+32−2n+12=2n+3+2n+12n+3−2n−1=8n+1即可得出．
【详解】解：52−32=16=2×8,
故52−32的值是8的2倍．
探究设“发现”中较小的奇数为2n+1,则最大的数为2n+3,n为正整数．
∴2n+32−2n+12=2n+3+2n+12n+3−2n−1=8n+1,
∵8n+18=n+1,且n为正整数，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用以及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【变式3-2】（2023·河北张家口·校考模拟预测）问题情景：将下列完全平方式进行因式分解，将结果直接写在横线上．
x2+2x+1=(x+1)2；4x2−4x+1=(2x−1)2；9x2−30x+25=__________；
探究发现：观察以上多项式，发现：22=4×1×1；(−4)2=4×4×1；(−30)2=4×9×25；
归纳猜想：若多项式ax2+bx+c(a>0,c>0)是完全平方式，则a，b，c之间存在的数量关系为；
验证结论：嘉琪验证归纳猜想中的结论的过程如下，请补全嘉琪的验证过程；
ax2+bx+c(a>0,c>0)
=ax2+bax+c
=a(x+__________)2+__________
∵ax2+bx+c是完全平方式，
∴__________，即．
解决问题：
①若多项式(n+1)x2−(2n+6)x+(n+6)是一个完全平方式，求n的值；
②若多项式9y2+4加上一个含字母y的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单项式．
【答案】问题情境：3x−52；
验证结论：b2a；c−b24a（或）；c−b24a=0（或4ac−b2=0）
解决问题：①n=3；②12y，−12y或8116y4
【提示】问题情境：根据完全平方公式分解因式即可；
验证结论：利用配方法进行验证即可；
解决问题：①利用题目中得出的结论列出关于n的方程，解方程即可；
②分两种情况进行讨论，写出所有满足条件的单项式即可．
【详解】解：问题情境：9x2−30x+25=3x2−2×5×3x+52=3x−52，
故答案为：3x−52．
验证结论：ax2+bx+c(a>0,c>0)=ax2+bax+c=ax2+bax+b24a+c−b24a=ax+b2a2+c−b24a
∵ax2+bx+c是完全平方式，
∴c−b24a=0，即．
故答案为：b2a；c−b24a（或）；c−b24a=0（或4ac−b2=0）；
解决问题：①∵多项式(n+1)x2−(2n+6)x+(n+6)是一个完全平方式，
∴−2n+62=4n+1n+6，
解得：n=3；
②当添加的含字母y的单项式为中间项时，
∵9y2±12y+4=3y±22，
∴此时需要添加的单项式为12y或−12y；
当添加的含字母y的单项式为平方项时，
∵8116y4+9y2+4=94y2+22，
∴此时需要添加的单项式为8116y4；
综上提示可知，需要添加的含y的单项式为12y，−12y或8116y4．
【点睛】本题主要考查了应用完全平方公式分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，a2±2ab+b2=a±b2．
【变式3-3】（2023·河北石家庄·三模）【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？”
（1）【解决问题】计算：32−1=______；52−1=______；72−1=______；以上计算结果均______（填“是”或“不是”）8的倍数；
（2）设奇数为2n+1（n为整数），请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论；
（3）【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是______的倍数．
【答案】（1）8，24，48，是；（2）见解析；（3）2
【提示】（1）计算出结果，即可得出结论；
（2）设这个奇数为2n+1，计算2n+12−1的结果即可；
（3）设这个奇数为2n+1，计算2n+12+1的结果即可．
【详解】解：（1）32−1=8；52−1=24；72−1=48；
8=8×1；24=8×3；48=8×6；
所以，以上计算结果均是8的倍数；
故答案为：8，24，48，是；
（2）设这个奇数为2n+1，
则有2n+12−1=2n2n+2=4nn+1，
又因为n，n+1为两个连续整数，
故其中必有一个是2的倍数，
所以，2n+12−1能被8整除；
（3）设这个奇数为2n+1，
则有2n+12+1=22n2+2n+1，
所以，任意奇数的平方加上1后都一定是2的倍数．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
考点要求
新课标要求
命题预测
代数式的相关概念
借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；
能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；
中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大.
因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向.
整式的相关概念
理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)
整式的运算
能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算
整式化简求值
灵活运用多种方法化简代数式
因式分解
能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)

判断依据
次数
系数与项数
整式
单项式
①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母
所有字母指数的和
系数：单项式中不为零的数字因数
多项式
几个单项式的和
次数最高项的次数
项数：多项式中所含单项式的个数
整式的
加减
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
合并同类项
把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.
添（去）括号法则
括号外是“+”，添(去) 括号不变号，
括号外是“-”，添(去) 括号都变号.
整式的加减法则
几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.
整式的乘除
运算步骤说明
补充说明及注意事项
单项式乘单项式
①将单项式系数相乘作为积的系数;
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式;
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.
1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 .
单项式乘多项式
①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；
②再把所得的积相加.
1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式
2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同.
多项式乘多项式
①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，
②再把所得的积相加．
运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
单项式除单项式
①将单项式系数相除作为商的系数；
②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变.

多项式除单项式
①先把这个多项式的每一项除以这个单项式；
②再把所得的商相加

【例题】先去括号，再合并同类项：2A−3B
解：原式=4x−6−9x−15=________________
16
7
4
16
1
3+x
x
13
7
4
6+x
10
例先去括号，再合并同类项：m（A）−6(m+1)．
解：m（A）−6(m+1)=m2+6m−6m−6= ．
嘉淇的提示：
258=2×100+5×10+8=2×99+1+5×9+1+8
=2×99+2+5×9+5+8=2×99+5×9+2+5+8
=32×33+5×3+3×5
∵2×33+5×3为整数，5为整数，
∴32×33+5×3能被3整除，3×5能被3整除，∴258能被3整除．