广东省茂名市电白区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份广东省茂名市电白区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上．， 北京2022年冬奥会会徽， 代数式中x的取值范围是， 已知等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、试室号、班别、学校等信息；
2.请将答案正确填写在答题卡上．
一、选择题：本大题10大题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新来这里 全站资源一元不到！试卷。C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
3. 北京2022年冬奥会会徽（冬梦），是第24届冬季奥林匹克运动会使用的标志，主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志组成，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【详解】选项A、B、C均不能找到这样一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
4. 代数式中x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，求解即可．
【详解】解：由题意得：，解得：
故选：C．5. 已知：如图，，平分，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查平行线性质，角平分线的定义，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
6. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务．设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据60万只冰墩墩的实际生产天数比原计划生产天数少10天列方程即可；
【详解】解：原计划每天生产x万只，则实际每天生产（1+25%）x万只，由题意得：，
故选： D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系列方程是解题关键．
7. 在市中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的14名运动员的成绩如表所示：
则这些运动员成绩的中位数，众数分别为（ ）
A. 1.70，1.75B. 1.65，1.75C. 1.65，170D. 1.70，1.70
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．直接利用众数和中位数的概念求解可得答案．
【详解】解：由表可知数据1.75出现次数最多，
众数为1.75；
中位数为第7、8个数据的平均数，即中位数1.70，
故选：A
8. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6的扇形，这个圆锥的底面圆的直径为（ ）
A. B. C. 5D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图与底面圆之间的关系，求弧长；理解圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故选：C．
9. 如图，在矩形中，，，若是边的中点，连接，过点作于点，则的长为（ ）成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
3
2
3
4
1
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．首先根据题意可得，利用勾股定理解得的值，再证明，由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得．
故选：B．
10. 已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：
①；② ；③ ；④关于x的一元二次方程没有实数根；其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点坐标，根的判别式，抛物线的性质计算判断即可．
本题考查了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴；
∵对称轴在原点的右边，，
∴，
∵抛物线与y轴交点位于坐标轴上，
∴，
∴；
故①错误；
根据函数图象，得；
故②错误；
∵抛物线 与轴有两个交点，
∴，
∴，
故③正确；
∵二次函数的最小值为，
∴时，与二次函数无交点，
∴关于x的一元二次方程没有实数根，
故④正确；
故选A．二、填空题：本大题6小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解：______.
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
12. 已知x、y满足方程组，则________．
【答案】2022
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，代数式求值，利用加减消元法求出x，y的值，再代入求解即可．
【详解】解：，
得：，
将代入②得：，
则，
故答案为：2022．
13. 若点，在反比例函数（a为常数）的图象上，则________ （填“”或“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意得当时，随的增大而减小，进而可求解，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
当时，随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
14. 若+（b+2）2=0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为_________．
【答案】（-3，-2）．
【解析】
详解】试题解析：∵+（b+2）2=0，
∴a=3，b=-2；
∴点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（-3，-2）．
考点：1．关于x轴、y轴对称的点的坐标；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．
15. 一个角的余角比它的补角的还少，则这个角的度数为_________________．
【答案】##36度
【解析】
【分析】本题考查了余角、补角的定义以及一元一次方程的应用，设这个角的度数为，根据一个角的余角比它的补角的还少，列式进行计算作答即可．
【详解】解：设这个角的度数为，
∴依题意，得，
解得，
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，过点C作于点F，连接．面积的最小值为________．
【答案】【解析】
【分析】取得中点O，由，判断出F在以O为圆心，为直径的圆上，即可求解．
【详解】解：取得中点O，
∵
∴F在以O为圆心，为直径的圆上
∴F到的最小距离为
∴面积的最小值为
故答案为：8．
【点睛】本题考查了动点的轨迹问题，关键是根据，判断出F在以O为圆心，为直径的圆上．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分，
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简负整数指数幂，零次幂，算术平方根，正弦值，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：并将解集在数轴上表示．【答案】，数轴上表示见解析
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，市区学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角（）为，探测最小角（）为，若学校要求测温区域的宽度为2.80米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
【答案】该设备的安装高度约为1.9米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，利用，，找出用表示的关系式，求解即可．掌握三角形中边角关系，锐角的正切与边的关系是解题关键．
【详解】解：根据题意可知：，在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴（米）．
答：该设备的安装高度约为1.9米．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
20. 光明中学根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）请根据以上信息补全条形统计图；
（3）该校共有2400名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）240名
【解析】
【分析】本题考查数据处理的应用，熟练掌握扇形统计图中各部分百分比的意义和性质、扇形统计图中部分与总体的关系、条形统计图的意义，根据样本数量估计总体数量的方法是解题关键．（1）根据被调查的喜欢课程人数12人，占比，可求出被调查总人数，再根据条形统计图中喜欢的人数除以总人数即可求解；
（2）根据扇形统计图类人数占比，乘以被调查总人数即可求解；
（3）根据样本中喜欢“思想方法”的学生人数占百分比，乘以学校总人数即可求解；
【小问1详解】
解： 被调查的喜欢课程人数12人，占比，
被调查的总人数为：（人），
，，
【小问2详解】
D类别人数为（人），
补全图形如下：
【小问3详解】
被调查的人中喜欢“思想方法”的人有6人，占比为，
该校共有2400名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数为：（名）
答：估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数有240名．
21. 某校运动会欲购买A，B两种奖品，若购买A种奖品1件和B种奖品2件，共需44元；若购买A种奖品3件和B种奖品1件，共需52元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1400元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的4倍，设购买A种奖品m件，购买费用为元，写出（元）与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围．
【答案】（1）A种奖品的单价为12元，B种奖品的单价为16元； （2）且m为整数
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质和运用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，根据“若购买A种奖品1件和B种奖品2件，共需44元；若购买A种奖品3件和B种奖品1件，共需52元”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据“总费用两种奖品的费用之和”列出一次函数的解析式；再根据“购买费用不超过1400元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的4倍”列出不等式组，即可求得自变量m的取值范围．
【小问1详解】
解：设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，
由题意可得：，
解得：，
答：A种奖品的单价为12元，B种奖品的单价为16元；
【小问2详解】
解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，
由题意可得，
，
∵购买费用不超过1400元，
∴，
解得，
又因为A种奖品的数量不大于B种奖品数量的4倍，
∴，
解得，
∴自变量m的取值范围．
∴且m为整数．
22. 如图，已知E为长方形纸片的边上一点，将纸片沿对折，点D的对应点恰好在线段上，若
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边：
（1）由折叠可知：，由矩形的性质可得，进而证明，得到，据此可证明．
（2）由矩形的性质得到，由折叠可知：，设，则，由勾股定理得：，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：由折叠可知：，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵四边形是长方形，
∴，
由折叠可知：，
∴，
在中，设，则，
由勾股定理得：，
解得， ∴的长是．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23. 如图，在中，，D是边上的一点，为直径的与边相切于点E，接并延长，与的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的切线应用，等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，准确运用相关知识是解题的关键．
（1）连接，根据已知条件求得，再根据得到，再证出即可得证；
（2）证明，利用求出半径，即可求；
【小问1详解】
证明：连接，
与边相切于点E，为的半径，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解： 和中，是公共角，，
，
，
设的半径是r，则有
，即
整理得，即，
解得，（舍去），
，
，又
由勾股定理得
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴交于，两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（3）如图，若点是该抛物线上一点，E是直线下方抛物线上的一动点，点E到直线的距离为d，求d的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为，连接交x轴于顶点P，此时的周长最小，用待定系数法求得直线的解析式，令，可得点P的横坐标，则问题得解；
（3）先求得点G的坐标，再用待定系数法求得直线的解析式；作的平行线，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作于点H当直线与抛物线相切时，点E到直线的距离最大，设直线的解析式为，将其与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由交点个数与方程的判别式的关系可得，从而可得n的值，最后由三角函数求得的值，即为所求的d的最大值．
【小问1详解】
解：∵二次函数与x轴交于，两点，
∴对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
将代入得：，
∴这个二次函数的解析式为；
【小问2详解】解：∵抛物线，
∴顶点D的坐标为，
把代入得，
点C的坐标为，
作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为，连接交x轴于顶点P，如图：
∵，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当F、P、D同一直线上时，最小，即最小，
∴此时的周长最小，
设直线的解析式为，将，分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点P的坐标为；
【小问3详解】
解：∵点是该抛物线上一点，∴，
∴点，
设直线的解析式为：，
将，分别代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为：，
作的平行线，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作于点H，如图：
当直线与抛物线相切时，点E到直线的距离最大，
∵，
∴．
设直线的解析式为，将其与抛物线解析式联立得：
∴，
整理得：，
当MN与抛物线相切时，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴点M的坐标为，
把代入得：，
∴点M的坐标为，
∴，
∴，
又因为点A坐标为，
∴，
∵，
∴．
∴d的最大值为：．
【点睛】本题属于二次函数综合题，综合考查二楼待定系数法求函数的解析式、轴对称问题及最值问题等知识点，数形结合并灵活运用转化思想是解题的关键．