河北省邯郸市馆陶县陶山中学、留庄中学联考2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份河北省邯郸市馆陶县陶山中学、留庄中学联考2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共30页。试卷主要包含了 下列图形等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置.
3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效，答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.
4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑：答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题.
5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回；
一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1-6小题各3分，7-16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】
观察图像可知：
和中
∴光线b与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．
故选：B．试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。2. “的次来这里 全站资源一元不到！方与的积”的计算结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了代数式的列法及同底数幂乘法的运算能力，正确理解题意是解决此题的关键．
先根据题中表达的意义列出算式，再根据同底数幂乘法计算便可．
【详解】解：根据题意得，“的次方与的积”为：．
故选：A．
3. 装修师傅将一块矩形砖切割下一个角，数据如图，则图中所有角中最小角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由图可得最小的角为，先求出，再根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：，
，
图中所有角中最小角的度数为，
故选：C．
4. 用平方差公式分解因式：（__________），则横线上应填的代数式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行因式分解，即可获得答案．
【详解】解：，
所以，横线上应填的代数式是．
故选：C．
5. 若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法运算，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握二次根式的加法运算，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
由，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
故选：D．
6. 嘉淇准备从图中的纸片上选出六个小正方形进行涂色，再将涂色部分剪下折成正方体，他已经给部分小正方形涂好了颜色（阴影部分），还少一个小正方形没有涂色，则可选择的小正方形有（ ）
A. ①②⑤B. ②⑤C. ③④D. ①②④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方体的展开图．熟练掌握正方体的展开图包括，，，型是解题的关键．
根据正方体的展开图进行判断即可．
【详解】解：由题意知，可选择的小正方形有②和⑤，
故选：B．7. 在复习平行四边形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①如图1，作线段AC的垂直平分线，交AC于点O；②如图2，过点O作一条直线l（不过点A，C）再以点O为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点B，D，连接AB，BC，CD，AD．根据以上作法，不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可．
【详解】由题意得AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握判定定理是解题的关键．即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
8. 某种微生物的平均质量为克，用科学记数法表示为，则（ ）
A. B. 4.7C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用科学记数法表示绝对值小于的正数及代数式求值，一般形式为，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．根据科学记数法表示方法得出和的值，即可得答案．正确得出和的值是解题关键．
【详解】解：∵，用科学记数法表示，∴，，
∴．
故选：A．
9. 下列图形（图1和图2）不添加辅助线便可验证的是（ ）

A. 只有甲图B. 只有乙图
C. 甲、乙两图都可以D. 甲、乙两图都不可以
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短和三角形三边关系的应用，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键．
根据勾股定理及其逆定理应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形三边关系分析乙图，从而作出判断．
【详解】解：图1中，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴（垂线段最短），
即：，甲图可以验证
图2中，
根据三角形两边之和大于第三边可得，∴，即，乙图无法验证，
故选：A．
10. 如图，将量角器放在英语作业纸上（横线之间互相平行），其中两条线与量角器外图的交点分别为，，，，连接，．若，两点分别在量角器外圈的与的刻度处，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，记量角器中心为点O，连接，，，由已知条件可得出，由圆周角定理，即可得出．
【详解】解：记量角器中心为点O，连接，，，
∵，两点分别在量角器外圈的60°与30°的刻度处，
∴，
∴，
故选：D．
11. 为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（ ）
A. 平均数变小，中位数变大B. 平均数不变，众数不变C. 平均数变大，中位数不变D. 平均数不变，众数变大
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出实成绩的中位数、众数、平均数，统计成绩的中位数、众数、平均数，进行比较即可得出答案．
【详解】所在小组真实成绩的中位数为95，没有众数，平均数为，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则统计成绩的中位数为95，众数为98，平均数为，
∴与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的中位数不变，众数改变，平均数变大．
故选：C．
【点睛】本题考查中位数，众数，平均数，熟练掌握求一组数据的中位数、众数、平均数是解题的关键．
12. 若为正整数，，则结果的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再结合的取值范围，即可求解，
本题考查了，分式的化简，一元一次不等式，解题的关键是：熟练掌握不等式的基本性质，将不等式变形．
【详解】解：，
∵为正整数，，
∴，则，
∴，
故选：A．
13. 如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．【详解】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵， ， ，
∴， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
14. 如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像，整数点的问题，解题的关键是要找到临界状态．
先找出矩形内部整数点共8个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围．
【详解】解：矩形内的整数点有，
∴当反比例函数图像经过点时，此时，
当反比例函数图像经过点时，此时，
∴时，图像下方有点，图像上方有，
故选：D．
15. 如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】的面积可以分为，，和，所以通过面积关系来列式计算，从而得到关于，的关系式，再有关系式来判断图象．本题主要考查了函数关系式及二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过面积关系推导出函数关系式．
【详解】解：如图：作，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴
∵，
，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴
∴
，
∴四边形是正方形，
设线段的长为，
，
连接，如图：
∵∴
∵四边形是正方形，
∴
∴
∵
∴
，
，
即，
∵，
∴开口向上，
当时，则，
即经过点，
故选：C
16. 如图，正六边形的边长为1，点从点出发沿运动至点，点是点关于直线对称的点.当点从点运动至的过程中，有如下结论：
结论Ⅰ：点沿直线从运动到.
结论Ⅱ：点到的距离的最小值是.
下列判断正确的是（ ）
A. 只有结论I正确B. 只有结论Ⅱ正确
C. 结论I、结论Ⅱ都正确D. 结论I、结论Ⅱ都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆、轴对称的性质、勾股定理.解直角三角形等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．
（1）如图，设是正六边形的中心，连接交于，解直角三角形求出，的运动轨迹是图中红色的弧线，由此即可判断结论Ⅰ；
（2）连接与弧交于点，此时最短，计算即可判断结论Ⅱ．
【详解】Ⅰ 如图， 设是正六边形的中心，连接交于，
在中，
，
，
，
∵点从点运动至过程中，，
∴点的运动轨迹是图中红色的弧线，
∴结论Ⅰ不正确；
Ⅱ连接与弧交于点，此时最短，
，结论Ⅱ正确；
故选B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18~19小题各4分，每空2分.把答案写在题中横线上）
17. 如图，数轴上的点表示数，若，则的一个整数值可能是__________．

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查数轴，解题关键是熟知当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
由题图可知，，写出一个符合条件的值即可．
【详解】解：由题图可知，，
若，
∴符合条件的的整数值可以为(答案不唯．
故答案为：(答案不唯一)．
18. 已知，．
（1）当，时，的值为__________；
（2）若无论取何值时，总成立，则的值为__________．
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减与有理数的混合运算；
（1）代入求值，然后按照有理数混合运算的运算顺序和计算法则进行计算；
（2）根据题意，合并同类项，再的系数为0，即可求解．
【详解】解：（1）当，时，
，故答案为：；
（2）
，
∵总成立，
∴，解得，
故答案为：3．
19. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接
（1）当与重合时，__________；
（2）若四边形为正方形，则__________
【答案】 ①. ##3.75 ②. ##1.5
【解析】
【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形和正方形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答．
（1）在中，根据勾股定理算出，在中，根据勾股定理算出，再根据勾股定理即可解答；
（2）连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得算出，，，在中，算出，即可求解；
【详解】（1）解：当与重合时，
，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
由勾股定理得：．
故答案为：．
（2）如图，连接，
当四边形为正方形时，，
，
，由勾股定理得：，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 甲、乙两名学生根据算式“”在“□”位置填一个数字，做填数比大小的游戏，且甲填的数字是.
（1）求甲所得算式的的值；
（2）若乙填数字是最小的自然数，比较甲、乙所得算式的值的大小.
【答案】（1）
（2）甲所得算式的值小于乙所得算式的值
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的混合运算和有理数的大小比较：
（1）原式先计算乘法和乘方，再进行加减运算即可得到答案；
（2）原式代入最小的自然数后再计算出结果后与甲的结果进行比较即可
【小问1详解】
解：当□填时，
；
【小问2详解】
解：最小的自然数是0，
当□填0时，
，
甲所得算式的值小于乙所得算式的值
21. 春节期间的几部贺岁片热播，某影院打出如下票价信息：票价均为50元/张，
大年初一几个小伙伴一共带了250元去看一部电影．
（1）若共有四个小伙伴一起看电影，且买完四张票后还剩74元，小伙伴们选择的是哪一场电影？
（2）250元钱最多可以几个人一起观影？
【答案】（1）他们看的场次打了折，即他们看的场次是下午场
（2）250元钱最多可以6个人一起观影
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式得实际应用，一元一次方程的实际应用：
（1）设他们看的场次的实际票价为元，根据买完四张票后还剩74元列出方程求出实际票价，再根据原票价为50元即可求出折扣，进而得到结论；
（2）设共有人一起观影，若要观影人数最多，应选择上午场，打8折的票价，据此列出不等式求解即可.
【小问1详解】
解：设他们看的场次的实际票价为元．
根据题意得．
解得，．
他们看的场次打了折，即他们看的场次是下午场；
【小问2详解】
解：原价为元
设共有人一起观影，
若要观影人数最多，应选择上午场，打8折的票价，
根据题意可得，解得．
为整数，
最大为6，即250元钱最多可以6个人一起观影．
22. 嘉嘉的书桌上有一个双排三孔插座（如图）、卧室卫需要连插座的设备有台式电脑、两部手机、台灯、笔记本电脑，其中第1排第2列的插孔已经插上台式电脑的插头．

（1）嘉嘉准备给其中的一部手机充电，则其充电器随机插在第1排第3列的概率为___________；
（2）若嘉嘉只能使用第2排的四个插孔同时给笔记本电脑和台灯供电，请用列表或画树状图的方法计算两种电器的电源插头插在相邻的两个插孔的概率．
【答案】（1）
（2）（两个插孔相邻）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数再找出两个插头插在不相邻插座的结果数，然后根据概率公式计算．
【小问1详解】
解：嘉嘉随机选择一个插座插入其充电器随机插在第1排第3列的概率
故答案为：．
【小问2详解】
设第2排的四个插孔从左至右分别为，，，，同时随机选取2个插孔，画树状图如下：

第2排的四个插孔从左至右分别为，，，，同时随机选取2个插孔，共有12个等可能结果：，，，，，，，，，，，，
其中两个插孔相邻的是，，，，，，共6个结果．
（两个插孔相邻）．
23. 如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点.
（1）求点的坐标；
（2）点是直线上一点，求当时，点的坐标；
（3）若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围.
【答案】（1）点的坐标为
（2）或点
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的旋转是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可；
（2）先求出点A的坐标，然后设点，根据列方程解题即可；
（3）利用数形结合，分和两种情况，利用直线旋转进行解题即可．
小问1详解】
解：将点代入，得，解得.
.
解方程组，解得.
点的坐标为；
【小问2详解】
直线与轴的交点，设点，.
当时，有或，解得或.
则点或点；
【小问3详解】
解：由题可知直线是绕原点旋转的直线，
当时，直线自开始逆时针旋转，设与的交点为点N，当N的坐标为时，，
∴此时的取值范围为；
当时，直线自开始顺时针旋转到时，均满足题意，即，
∴此时的取值范围为；综上所述的取值范围为．
24. 如图1，一款卷纸纸巾盒的底部平放在桌面上，背面紧靠与桌面垂直的墙壁，盒盖由和水平盖组成，于点，已知，，点是所在圆的圆心，总与所在圆相切，，，三点共线．
（1）当卷纸纸巾盒的开口闭合时（如图1），求：
①的长；
②的长；
（2）纸卷底面的直径为，将其刚好能放入纸巾盒，如图2，求此时纸巾盒盖子张开的角度大小及，两点在竖直方向上的高度差．（参考数据：取，取，取）
【答案】（1）①；②
（2） ； 高度差为
【解析】
【分析】（1）①如图1，过点作于点，则四边形为矩形，，，（），由勾股定理计算求解即可；
②如图1，连接并延长交于，由总与所在圆相切，可得，则四边形为矩形，（），设，则，证明，则，即，可求，由，可得，则，，根据，求解作答即可；
（2）如图2，连接，过点作的延长线于，由题意知，与相切，则，，，由，可得，则，即纸巾盒盖子张开的角度大小为，可求，，，即，计算求解即可．
【小问1详解】
①解；如图1，过点作于点，则四边形为矩形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为；
②解：如图1，连接并延长交于，
∵总与所在圆相切，
∴，则四边形为矩形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的长为；
【小问2详解】解：如图2，连接，过点作的延长线于，
∵纸卷底面刚好能放入纸巾盒，
∴与相切，
由题意知，，，
∴，
∴，即，
∴，即纸巾盒盖子张开的角度大小为，
∴，
∴，
∴，即，
∴（），
∴纸巾盒盖子张开的角度大小为；，两点在竖直方向上的高度差为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，正弦，弧长，切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理，正弦，弧长，切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：
s/m
…
9
12
15
18
21
…
h/m
…
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…
（1）根据表中数据预测足球落地时，s= m；
（2）求h关于s 的函数解析式；
（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
【答案】（1）30 （2）
（3）①守门员不能成功防守；说明见解析；②守门员的最小速度为m/s
【解析】
【分析】（1）由函数图象顶点坐标信息可得答案；
（2）由数据表得抛物线顶点（15，5），设解析式为，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（3）①设守门员到达足球正下方的时间为t s．由题意得15t=20+2.5t，解得t=，再计算足球此时的高度即可；②由题意判断：当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．再求解此时足球飞行的水平距离s=27m，可得足球的飞行时间，从而可得答案．
【小问1详解】
解：由函数图象信息可得：顶点坐标为：
所以预测足球落地时，
故答案为：30
【小问2详解】
解：由数据表得抛物线顶点（15，5），
故设解析式为，把（12，4.8）代入得
所以解析式为．
【小问3详解】
解：设守门员到达足球正下方的时间为t s．
①由题意得15t=20+2.5t，解得t=，即s=24 m，
把s=24代入解析式得，而，
所以守门员不能成功防守．
②当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．
所以把h=1.8代入解析式得：
解得：s=27或s=3（不合题意舍去）
所以足球飞行时间，守门员跑动距离为（m），
所以守门员速度为m/s．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
26. 如图1，在矩形中，，，连接对角线.
（1）以点为旋转中心，按顺时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，.
①连接，当点落在线段上时，如图2，求证：；
②当点落在边上时，如图3，求的值及的长；
（2）点在边上（不与，重合），以为边，作矩形（点，，，按逆时针顺序排列），且矩形矩形，如图4，设.
①当矩形的一个顶点落在射线上时，求的值；
②直接写出点与点距离的最小值.【答案】（1）①见解析；② ；
（2）①或；②16
【解析】
【分析】（1）①由旋转可知，，当点落在线段上时，，进而证明，即可得证；
②当点落在边上时，在中，根据得出，则，进而求得，即可求解．
（2）①当点落在射线上时，过点作，交延长线于点，过点作于点，证明，，根据相似三角形的性质，即可求解；当点落在射线上时，过点作于点，过点作于点，过点作于点，同理即可求解；
②依题意，点运动过程中，一直存在，所以点沿与平行的直线运动，且两平行线之间的距离为16，当点运动到延长线上时，点与点的距离达到最小值，为16即可求解．
【小问1详解】
证明：①由旋转可知，，
当点落线段上时，，
在和中，
，
；
②当点落在边上时，在中，
，
，
，
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；【小问2详解】
①当点落在射线上时，
如图1，过点作，交延长线于点，过点作于点，
又
，
，
，
，
，，
又
，
，
，，
，
，
；
当点落在射线上时，
如图2，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
同理可得，
，
，
，，
又，
，
，，，，
，
解得，
，；
②点运动过程中，
如图1，
一直存在，
，且的长度保持不变，
所以点沿与平行的直线运动，且两平行线之间的距离为16，
当点运动到延长线上时，点与点的距离达到最小值，为16．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，解直角三角形，相似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．